{ |x|>a § 3.1 一维无限深势阱 一、一维无限深势阱和方势阱 一维问题的实际背景是平面型固体器件例如“超晶格”， § 3.1 一维无限深势阱 一、一维无限深势阱和方势阱 一维问题的实际背景是平面型固体器件例如“超晶格”， 以及从高维问题约化下来的一维问题。 一维无限深势阱的势能函数是： { |x|＜a; |x|≥a . U(x)= +∞ 在势阱外，必有： |x|>a

在势阱内，满足方程: 显然E必须>0，所以记 那么方程变成： 它的一般解是：

所以， 这三段的解必须在 x=±a 处衔接起来。在势能有无限大跳跃的地方，衔接条件只有 本身的连续性。所以现在 因而， 有两种情形的解： （1） 所以，

(偶宇称) (2) 所以， （奇宇称）

二者合起来可写为： 波函数的归一化是： 所以， （与n无关） 最后，波函数是：

§ 3.2线性谐振子 一维量子谐振子问题 在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题，它是物体在势（或势场）的稳定平衡位置附近作小振动这类常见问题的普遍概括。在量子力学中，情况很类似。一维量子谐振子问题也是个基本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒子在势场稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概括，而且更是将来场量子化的基础。 众所周知，当粒子在势场的平衡位置附近作小振动时，势场V(x) 总可作泰勒展开并只取到最低阶不为零的项。设平衡位置x0=0，并选取能量尺度的原点使V（0）=0，则 这里，含V ′(0) 的一次项由于平衡位置V ′(0)=0而消失，

也由于是稳定振动而有V′ (0)＞0。除非振动的幅度较大，否则不必考虑展开式中非简谐的高阶项。这类问题的物理例子比如，原子核内核子（质子或中子）的简谐振动、原子和分子的简谐振动、固体晶格上原子的简谐振动、甚至一个多自由度系统在其平衡态附近的小涨落小振动，在通过引入简正坐标后也可以化为一系列退耦的一维振子之和，即可近似为线性谐振动的迭加。 一. 方程的化简 线性谐振子的势能函数是： 其中ω是谐振子的固有圆频率。所以薛定谔方程是： 在方程中做如下的无量纲化变换：

则方程变成： 当ξ→±∞时，方程变为： 我们发现它有近似解： 但是 应该舍去。 所以再进行变换：

λ=2n+1 n=0,1,2,3… 可得关于H(ξ)的如下方程： 二. Hermitian多项式 可以用级数法求解H(ξ)的方程，结果发现：只要H(ξ)是“真”无穷级数，那么在x→±∞的时候H(ξ)就→ eξ² ,仍然使ψ(ξ)发散。能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止” 或“退化”为多项式，而这就要求只能取一些特殊的值。 设要求H(ξ)是ξ的n次多项式，那么就必须让 λ=2n+1 n=0,1,2,3… 这样，我们首先得到了能量本征值： 现在H(ξ)的方程成为：

而不难验证下面的函数正满足这个方程: 它称为n次Hermitian多项式。 头五个Hermitian多项式是: 三. 线性谐振子的能级和波函数 1.我们把线性谐振子的能级和波函数总结如下。能级是：

Nn是归一化常数，利用特殊积分 对应的波函数是： 可得 2.讨论 (1) 能级是等间隔的 ；(2)零点能是 ；(3)能级的宇称偶奇相间，基态是偶宇称,即ψn(-x)=(-1)ψn(x) (4)ψn(x)有n个节点。 n 四.几率分布: 在经典力学中,在ξ到ξ+dξ之间的区域内找到质点的几率ω (ξ) dξ与质点在此区域内逗留的时间dt成

比例: T是振动周期。因此有 即几率密度与质点的速度成反比。对于经典的线性谐振子，ξ= a sin(ωt+δ ) ,在ξ点的速度为 所以几率密度与 成比例。

§3.3势垒贯穿 一、方势垒 U(x) 1.方势垒是： U0 0 a x 其特点是： (1)对于势阱，波函数在无穷远处趋于零，能谱是分立的。但对于势垒，波函数在无穷远处不为零。下面将看到，粒子能量可取任意值。 (2)按照经典力学观点，若E<U0 ,则粒子不能进入势垒,在x=0处全被弹回；若 E> U0, 则粒子将穿过势垒运动。 但从量子力学的观点，由于粒子的波动性，此问题将与波 透过一层介质相似，总有一部分波穿过势垒，而有一部分波被反射回去。因此，讨论的重点是反射和透射系数。

如果将此问题推广到三维，显然它是散射问题。 二、方势垒的穿透 (1)E>U0 的情况： 薛定谔方程为 则其解为

这里 ， 。考虑到时间 因子 ，因此 代表向右运动的 波数为K的平面波， 则是向左运动的平面波。在I、II两个区域内存在向左运动的反射波。而在III区中则只存在向右运动的透射波，不存在向左运动的反射波。 利用在X=± a边界上波函数及其导数连续的边界条件，得

由此可得 易得到入射波、透射波和反射波的几率流密度为：

透射系数与反射系数为： (2)E<U0的情况： 此时方程为： 其中， 。在粒子从左方入射时有：

让 和 在 x=0 和 x=a 处连续,我们得到4个方程，从中可以解出B、C、F、G对A的比。结果是： 所以反射系数和透射系数分别是：

讨论： （1）R+D=1，即是几率守恒。 （2）在E<U0时D≠0,这是经典 力学不能解释的，称为量子隧道效应，或势垒贯穿。 （3）如果条件 >>1成立（相当于E很小）,则

式中 D0是常数，它的数量级接近于1。由此很容易看出，透射 系数随势垒的加宽或加高而减小。 对势垒高 度（U0）、宽度（a）和粒子能量（E）非常敏感。应用：隧道 二极管、扫描隧道显微镜、电子冷发射。 （4）对于任意形状的势垒U（x）: 右图所示为一任意形状的势垒，我们 可以把这个势垒看作是许多方形势垒 组成的，每个方形势垒宽为dx,高为 U(x)。能量为E的粒子在x=a处射入势垒U(x),在x=b处射出,即U(a)=U(b)=E。 U(x) E 0 a dx b x

由式 可得粒子贯穿每个方形势垒的透射系数为： 贯穿势垒U(x)的透射系数应等于贯穿所有这些方形势垒的透射 系数之积，即 粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为隧道 效应。

§3.4一维周期势、能带 证明： 周期势： 一、 Floquet定理： 在周期场中，薛定谔方程的能量本征函数有且仅有两个独立的解Ψ1和Ψ2 ，并满足下列性质： 证明： 若Ψ(x)为薛定谔方程的能量本征函数,则Ψ(x+a)应为方程对应于同一能量的解的本征函数。 设U1(X)、U2(X)为薛定谔方程的独立能量本征函数，因二次方程只有两个独立的解，故有：

3.设Ψ(x)为周期场中同一能量的任意解:

由此可求出λ的两个根 λ1λ2，并求出两组A、B，使 二、Bloch定理周期性势场中的波函数可以写为如下形式： 其中是 周期函数： 这种形式的波函数称为Bloch波。它可以看作是周期函数Φk(x) 调制的平面波exp(iKx) ，所以称为Bloch波数。注意，与平面波的波数不同，Bloch波数没有的绝对意义，而且粒子的能量和的关系也不是 。

三、 周期性势场中的能带结构 周期性势场的最重要的特征就是其中的能量允许值构成能 带，它兼有离散谱和连续谱的特征。我们用一个例子来说明。 Kronig-Penney模型。这个模型中的周期性势场是方势阱 -势垒。在第一个周期（0<x<a）中， 其它地方的U(X)按周期性条件外推。能量E选择为0<E<U0。记 那么方程是：

所以在0<x<a中， 在其它周期内的解可以借助于Floquet定理得出，例如在a<x<2a 中，

（1）能级是量子化的，En∝n 。E1最低但不等 于0，这个状态称为基态，E1称为零点能。 (2)波函数是驻波。 二、分析： （1）能级是量子化的，En∝n 。E1最低但不等 于0，这个状态称为基态，E1称为零点能。 (2)波函数是驻波。 (3)态的宇称是偶奇相间，基态为偶宇称。 (4)波函数的节点数为n-1。 2