第三章 静 电 场 §3.1  静电场的基本方程 §3.2  电位,电位梯度和电位方程 §3.3  电介质中的电场 §3.4  静电场的边界条件 §3.5  导体系的电容 §3.6  静电场的能量、能量密度和电场力

§3.1 静电场的基本方程 微分形式: 积分形式: 一、真空中静电场的散度, 高斯定理 §3.1 静电场的基本方程 微分形式: 积分形式: 一、真空中静电场的散度, 高斯定理 真空中的高斯定理可表述为: 真空中的电场强度的闭合面积分等于面内所包围电荷总电量与ε0的比值, 其数学表示式为

意义：场中任一点上电场强度E的散度等于该点的体电荷密度与真空中介电常数的比值 真空中高斯定理的微分形式 意义：场中任一点上电场强度E的散度等于该点的体电荷密度与真空中介电常数的比值 散度与场源的关系

例 3.1 设有二块无限大带电平行平面, 面上分别带有均匀电荷, 上极板电荷密度是-ρs(C/m2), 下极板为+ρs(C/m2), 两极板间距离为d(m), 如图3 - 3所示。试求平行板内、外各点的电场强度E。 图 3 - 3 平行导体板间的电场 ［解］

例 3.2 设有一电荷均匀分布的无限长细直导线, 线密度是ρl(C/m)。试求空间各点的电场强度E。 故求得两极板间电场强度 例 3.2 设有一电荷均匀分布的无限长细直导线, 线密度是ρl(C/m)。试求空间各点的电场强度E。 图 3 - 4 用高斯定理计算细直导线的E

二、静电场的旋度, 守恒定理 静电场本身满足能量守恒特性, 因为在电荷分布稳定情况下, 它没有提供能量的机构, 能量状态是恒定的, 这个特性称为静电场守恒定理。 微分形式： 意义：说明任何静电荷产生的电场, 其电场强度矢量E的旋度恒等于零, 静电场是无旋场。 静电场的电力线不可能是闭合曲线。

§3.2 电位, 电位梯度和电位方程 一、电位 电场力作功与路径无关 结论：静电场中电场力作的功与路径无关, 只取决于始点和终点的位置, 所以静电场是保守场, 也称位场。 从A点到B点的电位差：

设B点为参考点P, 令其电位为零, 则 电荷在等位面上移动时, 电场既不对电荷作功, 亦不会获得能量, 即 图 3 - 6 同轴线和带状线的等位面与电力线图

例 3.4 试求点电荷、体电荷、面电荷和线电荷产生的电场中的电位分布。 ［解］ (1) 单个点电荷q的电场中任一点的电位:

若令RP→∞, 则 图 3 - 7 求单个点电荷电场的电位

(2) n个点电荷电场中的电位: 应用叠加原理, 对每个点电荷计算电位, 且均取无穷远处为参考点, 则可得 (3) 体、 面、 线电荷场中的电位: 同样利用叠加原理, 可得 ; 体电荷: 面电荷: 线电荷:

二、电位梯度 图 3 - 11 求电位梯度

设在静电场中沿任一方向l, 将单位正电荷从等位面φA移动一很小距离dl至等位面φB上的一点, 如图3 - 11所示, 则单位正电荷在前后位置上的电位降为 即 因为电场强度矢量与等位面正交, 所以等位面上任一点的场强只有法向分量。 因此当l沿等位面的法线方向取向时, 则得到

上式为电位φ沿法线方向的变化率, 该方向也是变化率最大的方向。根据第一章, 我们已经知道大小等于 , 沿 获得最大增量的方向的矢量, 称为标量函数φ的梯度, 记为grad φ或▽φ, 因此

例 3 – 8 试求电偶极子电场的电场强度与电位。 图 3 - 12 电偶极子

［解］采用球坐标系, 设原点在电偶极子的中心, 并让z轴与电偶极子轴重合。我们先求远离电偶极子任一点P(r, θ, φ)的电位, 再由E=-▽φ求电场强度。 设电位参考点在无限远处, 则P点的电位等于+q和-q在该点电位之和, 表示式为 利用余弦定理可得

因为r>>2l, 故将r1、r2用二项式定理展开, 并略去高阶小项, 得 所以

取矢量Pe, 其大小等于乘积q2l, 方向由-q指向+q, 该矢量称为电偶极子的电矩, 单位C·m, 简称偶极矩, 即 于是得到 偶极子的电场强度可在球坐标系中对上式求梯度得到

图 3 - 13 电偶极子电力线与等位线分布图

三、电位方程 称为电位的泊松(Poisson)方程。 如果介质中无自由电荷存在, 即ρv=0, 则 上式称为电位的拉普拉斯(Laplace)方程。

§ 3.3 电介质中的电场 电介质的极化现象： 这种在外加电场作用下，分子的电偶极矩将增大或发生转向的现象称为电介质的极化现象。 为了计算电介质内所有电偶极子产生的宏观电场, 我们用极化强度P来表示电介质的极化程度, 其表示式为 式中ΣPe是体积元ΔV内偶极矩的矢量和, P是一个矢量函数, 它的方向取决于ΣPe, 大小是单位体积内的电偶极矩。

- - - - - - 电介质的极化过程 + - + ± + + F + E0 E0 E0 + E0 + E0 无极分子的位移极化 有极分子的转向极化

图 3 - 14 计算束缚电荷的电场

A点的电位是 因此, 整个电介质中偶极矩在A点的电位为

可改写为

体积分中的(-▽′·P) 相当于一种体电荷密度; 面积分中的 相当于一种面电荷密度。显然这是电介质受了电场影响而产生的束缚电荷。 我们定义 ; 束缚体电荷密度 束缚面电荷密度

二、电介质中的高斯定理 电介质中高斯定理的微分形式应改写为 (3 - 29)

矢量(ε0E+P)的散度仅与自由电荷有关, 称该矢量为电通密度(或称电位移矢量), 其单位为C/m2(库/米2), 用D表示, 即 (3 - 30) 式(3 - 29)可表示为 (3 - 31) 将式(3 - 31)两边在任一体积V内积分, 并应用高斯公式, 则得 或

三、D与E的关系, 介电常数 实验证明, 在这类电介质中, 极化强度矢量P与电介质中的合成电场强度成正比, 它们的关系是 (3 - 33) 上式中xe称为电介质的极化率, 是无量纲的常数, 其大小取决于电介质的性质。将式(3 - 33)代入式(3 - 30)得 上式中

例 3.9 设有两块很大的平行导体板, 板间距离为d, 且d比平板的长和宽均小得很多。两板接上直流电压源U, 充电后又断开电源; 然后在两板间插入一块均匀介质板, 其相对介电常数εr=9。假设介质板的厚度比d 略小一点, 留下一空气隙, 如图3 - 15所示。 试求: (1) 放入介质板前后, 平行板间各点的电场强度; (2) 介质板表面的束缚面电荷密度, 和介质板内的束缚体电荷密度。

(a) 插入介质板前的电场; (b) 插入介质板后的电场 图 3 - 15 两平行导体板间的电场 (a) 插入介质板前的电场; (b) 插入介质板后的电场

［解］ 因为两板间距离d远小于平板的尺寸, 所以可以忽略边缘效应, 认为板间的电场是均匀的, 方向与极板垂直。   (1) 加入介质板前的电场强度为 (即方向从正极板指向负极板) 设两极板上自由电荷面密度分别为ρs和-ρs, 根据高斯定理, 作一柱形高斯面, 如图3 -15(a)中虚线所示, 上下侧面与极板平行, ΔS是其面积, 所以

因而得 加入介质板后的电场: 因为充电后电源已被切断, 所以极板上的自由电荷密度保持不变。 用上面同样的方法作高斯面, 并用高斯定理求得 所以空气间隙中的电场强度为 (与未加介质板前相同) 介质中的电场强度为 (是未加介质板前场强的1/9)

(2) 介质中的极化强度

结论：如果考虑束缚电荷存在, 则两板间的全部空间(包含介质空间)都视为空气(εr=1)。 两层束缚面电荷在空气间隙部分产生的电场为零, 所以空气间隙的电场与未加介质板前相同。而在介质板所在区域内, 电场是两层自由电荷和两层束缚面电荷产生场的叠加, 它们产生的电场相反, 即

§ 3.4 静电场的边界条件 静电场的边界条件是研究物理量D、E、φ在媒质交界面上各自满足的关系。 与交变电磁场相同, 由静电场基本方程的积分形式, 即∮S D·ds=Q; 和∮lE·dl=0,推导出两种不同媒质交界面的边界条件。为使导出的边界条件不受所取的坐标系的限制, 可将D、E在交界面上分成两个相互垂直的分量, 即垂直于交界面的法向分量(下标以n表示)和平行于交界面的切向分量(下标以t表示), 即

一、D与E 满足的边界条件 或 式中,ρs为交界面上自由面电荷密度, 单位为C/m2。该式表示, 若两种媒质交界面上有自由电荷, 则D的法向分量不连续。 (1) 如果第二媒质是导体, 第一媒质是电介质。因为静电场中导体内部电场为零, 变为

(2) 如果交界面的两侧都是电介质, 且分界面上没有自由电荷, 即ρs=0, 则式(3 - 37)改写为 上式也可写为 而当ε1≠ε2时, E的法向分量不连续, 不连续的原因是交界面上有束缚面电荷密度。 在各向同性介质中 所以交界面上总的束缚电荷密度为 , 再根据D=ε0E+P可得P1n=D1n-ε0E1n, P2n=D2n-ε0E2n, 因为D1n=D2n, 所以ρs’=ε0(E1n-E2n), 于是

根据静电场中E沿任意闭合路径的环量恒等于零这一概念, 沿交界面作一矩形闭合路径, 可以推得 可改写为 上两式相除, 得 电场方向在交界面上的曲折

二、电位φ满足的边界条件 根据静电场的无旋性∮lE·dl=0, 在交界面两侧取一封闭矩形, h趋近于零, 如图3 - 18所示。 图 3 - 18 推导电位的边界条件

当电场强度E沿封闭矩形ABCD积分, 可得 当h→0时, C与B趋于同一点P, 取作为参考点,∫APE1·dl1=φA为介质1中边界面处的电位, 所以 得 或

因为 所以边界条件D1n-D2n=ρs可改写为 对两种介质的交界面, 则有

§3.5 导体系的电容 一、双导体的电容 定义: 二导体带有等量异性 电荷时, 电量与两导体间电 位差之比, 即 §3.5 导体系的电容 一、双导体的电容 定义: 二导体带有等量异性 电荷时, 电量与两导体间电 位差之比, 即 电容可用来储存能量(energy-storage elements)，并能将储存的能量释放回电路。 电容无法自行产生能量，故称被动元件(passive elements)。 电容是根据电场现象制造的电路元件，将能量储存于电场。

例 3.14 设无限长同轴线内外导体间充满介电常数为ε (F/m)的均匀电介质, 且内导体半径为a (m), 外导体的内半径为b (m), 如图3 - 21所示。试求同轴线单位长度的电容。 解题步骤： 1、求解内外导体间的电场 2、求解内外导体间的电位差 3、求解同轴线单位长度的电容 图 3 - 21 同轴线

解:设内外导体单位长度的带电量分别为+ρl和-ρl (C/m)。 用高斯定理可求得内外导体间的电场强度 注：此处引用例3.2 结论 见47页 则两导体间的电位差 同轴线单位长度电容

例3.15 设一无限长平行双导线置于空气中(介电常数为ε0), 两导体的半径均为a (m), 且它们轴线间的距离为d (m), 如图3 - 22所示。试求: (1)在两线间距离较远的情况下, 求单位长度的电容; (2)在两线间距离较近的情况下, 求单位长度的电容。 ［解］(1) 由题意, 二线间距离较远(即2a<<d), 可以近似认为两导体表面的电荷彼此无影响, 并分别集中在两导体的轴线上, 形成两条线电荷, 建立的场为平行平面场。因为静电场中导体是等位体, 故取图(a)中M、N两点求出电位差就是两导线间的电位差。

设两导线单位长度的带电量分别为+ρl、-ρl(C/m)。 所以 单位长度双导线的电容是

图 3 - 22 平行双导线

(2) 如果两导体间的距离较近, 导体表面的电荷分布要受邻近导体的影响, 因而失去轴对称关系。若先找出电荷分布再计算电场非常困难, 所以设想用两根带电荷的平行细线来等效真正的表面电荷而保持导体表面的边界条件不变(第五章讨论的唯一性定理, 将说明边界条件不变, 原来问题的解也不变)。设两导体表面单位长度总的带电量为+ρl、-ρl(C/m), 由于异号电荷相互吸引, 两导体的内侧较外侧电荷密集, 故两平行细线电荷偏离原来轴线, 相互靠近, 令它们与坐标中心o的距离分别为h, 如图3 - 22(b)所示。

(1) 求解二带电细线位置h: ; 根据例3.6, 两带电平行细线空间任意点P的电位是 导体是等位体, 表面是等位面, 在二维平面场中只需找出上述位函数等位线的轨迹, 即能满足边界条件。 等位线轨迹为

整理后得 式中

图 3 - 23 平行双导线等位线图

所以 令x0=d/2, R=a, 即可得两细线电荷位置:

两导体表面的电位为

(2) 求单位长度电容: 当2a<<d 时,

(3) 平行双导线外空间任一点的电位: 设二导体的电位差为U12=U, 则 所以

当2a<<d 时,

二、多导体的电容 图 3 - 24 多导体的部分电容

图 3 - 25 考虑地面影响的双导线部分电容

§3.6 静电场的能量、能量密度和电场力 一、静电场的能量 假定有N个带电体，它们的电量分别为q1、q2、······qn，其电位分别为φ1 、 φ2、 ······ φn。 qn q2 q1 φ1 φ2 φ3 假定，每个带电体的电量都由零开始，按照相同的比例同时增加到终值。 例如：在其间的某时刻电量分别为αq1、 αq2、······ αqn，其电位分别为αφ1 、 αφ2、 ······ αφn。 α的取值范围为0～1。

第i个带电体上再增加d(αqi)电量，外力要克服电场力作功。 αqn αq2 αq1 αφ1 αφ2 αφ3 αqn αq2 αq1+ d(αq) αq2+ d(αq) αq1+ d(αq) N个带电体上都增加d(αqi)电量 克服电场力作功： 电场增加的能量

结论：每个带电导体电量从零充电到最终值时, 电场总的储能为 单位：C·V=J n个带电体系统电场的总能量。 推广：电荷连续分布 体电荷所在点电位 面电荷所在点电位

例如, 在两个导体极板构成的电容器中, 经外电源充电后, 最终极板上的电量分别为+Q与-Q 对应电位分别为φ1和φ2, 则该电容器储存的电场能量是 φ1 φ2

二、能量密度 有电场的空间都有电场能量 由高斯定理 第一项与第三项互相抵消

意义：整个有电场的空间, 表示能量存在于电场中。 空间任一点的能量密度： 单位为J/m3 简单媒质中

三、 电场力 含石英磷酸盐矿 振动传输 高压直流源 硫酸盐矿 石英 图 3 - 28 分离不同颗粒状材料原理图

虚位移法求带电导体所受电场力 思路： x △x 假设在电场力F的作用下，受力导体有一个位移dx，从而电场力作功F·dx； +Q +Q +Q +Q +Q 因这个位移会引起电场强度的改变，这样电场能量就要产生一个增量dWe； –Q ε0 根据能量守恒定律 电场力作功+场能增量之和=外源供给带电系统的能量dWb

1.电荷不变 如果虚位移过程中，各个导体的电荷量不变，就意味着各导体都不连接外源，此时外源对系统作功dWb为零，即 2. 电位不变 如果在虚位移的过程中，各个导体的电位不变， 就意味着每个导体都和恒压电源相连接。此时，当导体的相对位置改变时， 每个电源因要向导体输送电荷而作功。设各导体的电位分别为φ1、φ2、…、φn，各导体的电荷增量分别为dq1、dq2、…、dqn， 则电源作功为

总结：电场力可由虚位移法计算 或

x 例：若平板电容器极板面积为A，间距为x，电极之间的电压为U，求极板间的作用力。 解 ： +Q 当电位不变时，第二个极板受力为 –Q ε0 当电荷不变时 将能量表达式改写为