第十一章 行波法与达朗贝尔公式 11.1 二阶线性偏微分方程的行波解 通解法中有一种特殊的解法―行波法, 即以自变量的线 第十一章 行波法与达朗贝尔公式 11.1 二阶线性偏微分方程的行波解 通解法中有一种特殊的解法―行波法, 即以自变量的线 性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方程类型的求解十分有效.

1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程 为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的 简单二阶线性偏微分方程 (11.1.1) 方程中的系数 为实常数． （说明：这里我们用了小写字母 表示它是实常数，而不是 的函数）

假设方程的行波解具有下列形式 (11.1.2) 代入方程即得 需要求方程的非零解，故 (11.1.3)

(i) ，对应于双曲型方程，式（11.1.3） 有两个不同的实根 ，则 (11.1.4) (ii) ，对应于抛物型方程，式（11.1.3） 有相等的实根 ，则 (11.1.5)

(iii) ，对应于椭圆型方程，式（11.1.3） 有两个虚根 ，则 (11.1.6) 2. 更为一般的含实常系数的偏微分方程 如果方程具有更一般的形式 (11.1.7)

其中 均为实常数．我们可以令 (11.1.8) 代入方程（11.1.7）得 (11.1.9) 双曲型，上述方程有两个不同的实根 ，则

(11.1.10) 抛物型，上述方程有相等的实根 ，则 (11.1.11) （注明：上式中的第二项乘以 是为了保证两根线性独立）

双曲型，上述方程有两个共轭虚根 则 (11.1.12)

11．2 达朗贝尔公式 11.2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式 本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式. 设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为

容易得知偏微分方程的判别式 ，该方程为 双曲型． 由 　　　 泛定方程（11.2.1）的通解为 (11.2.4) 其中 是任意两个连续二次可微函数．我们使用初始条件

（注：本问题由于涉及无界弦问题，故没有边界条件，只有 初始条件） 即（11.2.2）和(11.2.3)式可确定 函数． （注：本问题由于涉及无界弦问题，故没有边界条件，只有 初始条件） 由初始条件得到 (11.2.5) (11.2.6)

将上式积分得到 (11.2.7) 其中 均为常数．其中c可以通过上式令 代入确定，即为 由式(11.2.5)和(11.2.7)联立求解得到

(11.2.8) 代入(11.2.4)得到定解问题的解 (11.2.9) 当函数 是二次连续函数，函数 是一次连续

可微的函数时，(11. 2. 9)式即为无界弦自由振动定解问题的解，表达式(11. 2. 9)称为达朗贝尔(D. Alembert)公式 11.3 达朗贝尔公式的应用 为了加深对达朗贝尔公式的理解，让我们来讨论达朗贝尔 公式的应用.

11.3.1.齐次偏微分方程求解 齐次方程类型主要讨论自由振动问题, 即没有强迫力作用， 故泛定方程是齐次的. 可以直接利用达朗贝尔公式求解. 例11.3.1 已知初始速度为零，初始位移如图11.1所示的无界 弦振动，求此振动过程中的位移. 【解】根据达朗贝尔公式， 初始速度

，而初始位移 只在区间 上不为零，且在 处达到最大值 ，如 图11.1所示，得到定解问题：

根据达朗贝尔公式（11.2.9）即得位移为 例11.3.2 设初始位移为零即 ，而且初速度 也只在区间 上不为零 （11.3.1）

的无界弦振动，求此振动过程的位移分布. 【解】由达朗贝尔公式（11.2.9）得 (11.3.2) 根据(11.3.1)得 （11.3.3）

这里 指的是（图11.1）的曲线。 由公式(11.3.2), 可作出 和 两个图形，让它们以速度 分别向左、右两个方向 移动，两者的和就描画出各个时刻的波形，由此即得出位移分布

11.3.2 非齐次偏微分方程的求解 1. 纯强迫振动定解问题 冲量原理法求解 欲求解纯强迫力（即指仅有强迫力，而初始条件为齐次的） 1. 纯强迫振动定解问题 冲量原理法求解 欲求解纯强迫力（即指仅有强迫力，而初始条件为齐次的） 所引起振动的定解问题： (11.3.4)

根据其物理意义，该定解问题可以等效于求解一系列前后相继的瞬时冲量 所引起的振动 (11.3.5) 的解 的叠加. 而这种用瞬时冲量的叠加

例11.3.3 求解定解问题 代替持续作用力来解决定解问题的方法称为冲量原理法. 这样纯强迫振动定解问题 (11.3.4)的解为 (11.3.6) 例11.3.3 求解定解问题

【解】由公式(11.4.20)有 2 一般的强迫振动的定解问题 对于一般的情形，则振动方程非齐次，且初始条件也非 齐次.即为下列定解问题

(11.3.7) 按照叠加原理可令其解为 使 满足自由振动定解问题 (11.3.8)

使 满足纯强迫振动定解问题(11.3.7). 故 为由自由振动定解问题的达朗贝尔解(11.2.9)， 为纯强迫振动的解(11.3.6)式. 故 (11.3.7)对于其它任何的线性定解问题，均可采用类似于上面 的方法，将之分解为若干个易于求解的定解问题，然后求得 它的解.

11.4 定解问题的适定性验证 定解问题来自于实际，它的解也应该回到实际中去. 为此，应当要求定解问题满足：（１）有解，（２）其解是唯一的,（３）解是稳定的．解的存在性和唯一性这两个要求明白懂．至于第三个要求即稳定性说的是：如果定界条件的数值有微的改变，解的数值也只作细微的改变．

现在以达朗贝尔解为例，验证其解的适定性． 1．如果 （即 具有二阶连续导数，以 ，不难直接验证它确实满足定解问 表示）， 题的泛定方程和初始条件．即解是存在的． 2. 在推导达朗贝尔公式的过程中，没有对所求解的 作过任何假定和限制，凡满足泛定方程和初始条件的解必可 表为达朗贝尔公式(11.2.9)．即解是唯一的．

3. 证明达朗贝尔解（11.2.9）的稳定性.