第七章 多元函数微积分 第一节 空间解析几何简介 第二节 多元函数的基本概念 第三节 偏导数和全微分 第四节 多元复合函数求导法则 《 高等数学》 河北机电职业技术学院 第七章 多元函数微积分 第一节 空间解析几何简介 第二节 多元函数的基本概念 第三节 偏导数和全微分 第四节 多元复合函数求导法则 第五节 隐函数的求导法则
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 第六节 多元函数的极值 第七节 二重积分的概念和性质 第八节 二重积分的计算 第九节 对坐标的曲线积分
第一节 空间解析几何简介 空间解析几何: 用代数方法讨论空间图形 《 高等数学》 先修知识：向量代数 后续知识：多元微积分 河北机电职业技术学院 第一节 空间解析几何简介 空间解析几何: 用代数方法讨论空间图形 先修知识：向量代数 后续知识：多元微积分
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 主要内容: 一、空间直角坐标系 二、空间两点间的距离 三、空间曲面及其方程 四、二次曲面
基本要求: 重点: 《 高等数学》 河北机电职业技术学院 了解空间直角坐标系，空间点的坐标； 掌握空间两点间的距离公式 了解空间曲面（平面）方程的概念，由平面 及常见曲面方程作出其图形 重点: 由平面及常见曲面方程作出其图形
空间直角坐标系：数(数组)与形(空间图形) 结合的工具 《 高等数学》 河北机电职业技术学院 一、空间直角坐标系 空间直角坐标系：数(数组)与形(空间图形) 结合的工具 z y O x
每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面： 《 高等数学》 河北机电职业技术学院 z z xoy平面 y y x x yoz平面 z xoz平面
三个坐标平面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限： 《 高等数学》 河北机电职业技术学院 三个坐标平面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限： z Ⅲ Ⅱ y Ⅳ o Ⅰ Ⅵ Ⅴ Ⅶ Ⅷ x
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 z R ) , ( z y x P z y N O y x M ' P′ x
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 一 一 对 应 空间点 有序实数组
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 例1、建立空间直角坐标系，并作出下列点：
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 二、空间两点间的距离公式
三、空间曲面及其方程 《 高等数学》 1、曲面方程的概念 S 河北机电职业技术学院 曲面S与方程 F(x , y , z) = 0 关系： o x y z S 曲面S:空间满足一定条件的动点的轨迹.
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《 高等数学》 河北机电职业技术学院 利用平面方程研究平面: 设平面的一般方程为 （1）A≠0，B≠0，C≠0，D≠0 平面不过原点，在 x轴、y轴、z轴、上的截距分别为 -D/A、-D/B、-D/C. 令-D/A=a、-D/B=b、-D/C=c，则有
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 上式称为平面的截距式方程 平面与三坐标轴的交点分别为 z P(a , 0 , 0)、Q(0 , b , 0)、 R(0 , 0 , c) 其中a 、 b 、 c均不为零． o x y z R(0 , 0 , c) Q(0 , b , 0) P(a , 0 , 0)
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 z （2） A≠0，B≠0， C≠0，D = 0 平面过原点 o （3）A、B、C中有一个为零 x y z （2） A≠0，B≠0， C≠0，D = 0 平面过原点 （3）A、B、C中有一个为零 A = 0，平面方程为 By+Cz+D = 0 平面平行于x轴 o x y z
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 B = 0 , 平面方程为 z Ax+Cz+D = 0 平面平行于y 轴 C = 0 , 平面方程为 Ax+By+D = 0 平面平行于z 轴 o x y z o x y z
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 （4）A、B、C中有两个为零 z A = 0， B = 0 , 平面方程为 Cz+D = 0 Ax+D = 0 平面与x 轴垂直 o x y z o x y z
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 A = 0， C = 0 , 平面方程为 By+D = 0 z 平面与y 轴垂直 (5) z = 0，xOy平面； x = 0，yOz平面； y = 0，xOz平面。 o x y z
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 z O x y 1 z O x y 2 A B C 2 6 3 z O x y z O x y 1
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 练习：作出下列平面的图形 1、 2、 3、 4、 5、 6、 （1） （2）
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 （3） （4） （5） （6）
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 3、柱面 L C 要求：掌握母线平行于坐标轴的柱面方程
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 z O x y M M
《 高等数学》 （2）母线平行于坐标轴的柱面方程 河北机电职业技术学院 І、 F(x , y ) = 0 准线C: xOy 平面上的曲线F(x, y) = 0 母线与z 轴平行； Ⅱ、G(x , z) = 0 准线C: xOz 平面上的曲线G(x, z) = 0 母线与y 轴平行； Ⅲ、H( y , z) = 0 准线C: yOz 平面上的曲线H(y, z) = 0 母线与x 轴平行.
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 x y O z y O x z y O x z
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 z 例如：抛物柱面 y - x2 = 0 准线C: xOy 平面上的抛物线 y - x2 = 0 圆柱面 x2 +z2= 1 准线C: xOz 平面上的圆 x2 +z2= 1 母线平行于y 轴
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 4、旋转曲面 C C L C 绕 旋转一周 L L
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 (1) 设yO z 平面上的曲线C :F(y, z) = 0，绕z 轴旋 转一周，问曲面方程怎样表示？ 取C上的一个点Ｍ1(0, y1, z1)， 那么有 F(y1, z1) = 0 当C绕轴旋转时，点Ｍ1旋转到 点Ｍ(x, y, z) ．这时有 z = z1 C：
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 因此 ,yOz 平面上的曲线C :F(y, z) = 0绕 z 轴旋 转一周而成的旋转曲面方程为 同理可得,曲线C:F(y, z) = 0绕 y 轴旋转所成的旋转曲 面方程为
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 同学们可以写出另外几种情形：
小结：旋转面（坐标面内的曲线绕坐标轴旋转而成） 《 高等数学》 河北机电职业技术学院 小结：旋转面（坐标面内的曲线绕坐标轴旋转而成） 方程的特点： 1、形如 由曲线 或 绕 轴旋转而成 2、形如 由曲线 或 绕 轴旋转而成 3、形如 由曲线 或 绕 轴旋转而成
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 z x y O
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 练习： 1、建立下列曲面的方程 （1） 绕 轴： 绕 轴： （2） 绕 轴： 绕 轴：
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 （3） （4）
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 2、下列曲面是否旋转面？若是，如何产生？试作出 其旋转面的图形： （2） （1） （4） （3） 2、下列曲面是否旋转面？若是，如何产生？试作出 其旋转面的图形： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 参考答案： （2） （3）
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 （5）
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 （6）
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 （7）
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 （8）
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 （9）
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 （10）
四、 二次曲面 《 高等数学》 河北机电职业技术学院
《 高等数学》 分析曲面形状的方法－－平行截面法： 河北机电职业技术学院 用坐标面及平行于坐标面的平面去截曲面，考察其交线（即截痕）的形状，通过截痕形状研究曲面的性状. 图形特性： （1）关于坐标面，坐标轴以及坐标原点对称； （2）完全包含在一个以原点为中心的长方体 |x | ≤a, |y |≤b, |z |≤c内； （3）截痕：与三个坐标面的交线是椭圆
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 与平面z = z1(| z1|≤c)的交线也是椭圆
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 类似地，与平面 的交线仍是椭圆． 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化． （4）特例 类似地，与平面 的交线仍是椭圆． 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化． （4）特例 a = b 时为旋转椭球面 由xOz平面上的椭圆 绕z轴旋转而成 .
a = b = c 时为球心在原点O，半径为a的球面. 《 高等数学》 河北机电职业技术学院 a = b = c 时为球心在原点O，半径为a的球面.
《 高等数学》 ２、抛物面 河北机电职业技术学院 （1）椭圆抛物面 截痕: 考察(p> 0 , q > 0) •与平面z = 0相截于原点（椭圆抛物面的顶点）； •与平面z = z1（ z1 > 0）的截痕是椭圆
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 与坐标面y = 0的截痕是抛物线 与平面y = y1的截痕也是抛物线 与平面 x = 0及x = x1的截痕也是抛线。 z x y O
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 特别地 p = q 时为旋转抛物面 (由xOz面上的抛物线 x2 = 2pz 绕它的对称轴 z 轴旋 转而成的) •与平面z = z1（ z1 > 0）的截痕是圆
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 ３、双曲面 （1）单叶双曲面 截痕： 与平面z = z1的交线是椭圆
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 与平面 的交线是双曲线 O y x z
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 （2）双叶双曲面 截痕： x y o z
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 ４、双曲抛物面（马鞍面）
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 练习 作出由下列曲面或平面所围成的几何体： 1、 2、 3、 4、
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 第二节 多元函数的基本概念 主要内容 一、多元函数 二、二元函数的极限与连续性
基本要求 重点 《 高等数学》 河北机电职业技术学院 理解平面区域的有关概念； 理解多元函数的概念及二元函数的几何表示，掌握二元函数的定义域及其几何表示； 了解二元函数极限的思想；了解二元函数的连续性 重点 二元函数的概念、定义域，平面区域的有关概念
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 一、多元函数 1.实例分析
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 １．二元函数的定义
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《 高等数学》 河北机电职业技术学院 O 2 a y x = +
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 y O x
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 x O 1 3 y
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 2.二元函数的几何表示 y x z O X Y M D P
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 x y z O =1 -
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 z 2 y x + = O
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 y x z R O
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 二、二元函数的极限与连续性 1. 二元函数的极限
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《 高等数学》 河北机电职业技术学院 第三节 偏导数和全微分 主要内容 一、偏导数 二、高阶偏导数 三、全微分
基本要求 重点 《 高等数学》 河北机电职业技术学院 理解偏导数的概念，掌握偏导数的求法； 理解高阶偏导数的概念并掌握求法； 了解多元函数全微分的概念，掌握计算方法 重点 多元函数偏导数和全微分的运算
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 一、 偏导数
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《 高等数学》 河北机电职业技术学院 二、 高阶偏导数
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《 高等数学》 河北机电职业技术学院 三、 全微分 1、全微分的定义
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第四节 多元复合函数求导法则 基本要求 重点 《 高等数学》 河北机电职业技术学院 理解多元复合函数的概念； 掌握求多元复合函数偏导数的链导法则，并会求多元复合函数（包括抽象函数）的偏导数。 重点 多元复合函数偏导数的链导法则
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 z u x y
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《 高等数学》 河北机电职业技术学院 z u v w x y
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《 高等数学》 河北机电职业技术学院 基本要求 理解多元隐函数的概念； 掌握求多元复合函数偏导数的运算方法。 重点 多元隐函数偏导数运算
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《 高等数学》 河北机电职业技术学院 思考题：
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 第六节 多元函数的极值 一、多元函数的极值 二、二元函数的最大值与最小值 三、条件极值
基本要求 重点 《 高等数学》 河北机电职业技术学院 理解多元函极值数的概念； 掌握二元函数极值的求法（限于两个偏导数存在的条件下）。 掌握多元函数最大值和最小值的求法及其实际应用。 重点 二元函数极值的求法； 实际问题中多元函数的最大值和最小值，条件极值。
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 一、多元函数的极值
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 O x y z x y z 1 O
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《 高等数学》 河北机电职业技术学院 y x z O
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《 高等数学》 河北机电职业技术学院 二、二元函数的最大值与最小值
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《 高等数学》 河北机电职业技术学院 O y x 4 = +
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《 高等数学》 河北机电职业技术学院 x y z
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《 高等数学》 河北机电职业技术学院 三、条件极值
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第七节 二重积分的概念与性质 基本要求 重点 《 高等数学》 河北机电职业技术学院 理解二重积分的概念和几何意义； 了解二重积分的基本性质。 第七节 二重积分的概念与性质 基本要求 理解二重积分的概念和几何意义； 了解二重积分的基本性质。 重点 二重积分的概念和几何意义
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 一、二重积分的概念
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 x z O y D
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《 高等数学》 河北机电职业技术学院 2．二重积分的概念
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《 高等数学》 河北机电职业技术学院 3．二重积分的性质
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第八节 二重积分的计算 基本要求： 重点： 《 高等数学》 主要内容 一、利用直角坐标计算 二、利用极坐标计算 三、二重积分应用举例 河北机电职业技术学院 第八节 二重积分的计算 主要内容 一、利用直角坐标计算 二、利用极坐标计算 三、二重积分应用举例 基本要求： 会计算较简单的二重积分 重点： 二重积分的计算
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 一、利用直角坐标计算二重积分 y x O a b D (a) （ｂ）
《 高等数学》 河北机电职业技术学院
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 上式也可简记为
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 O y x ) ( 2 = 1 c d D ②
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 化二重积分为累次积分时,需注意以下几点： （1）累次积分的下限必须小于上限; O y x D Ⅱ Ⅰ Ⅲ D Ⅱ （1）累次积分的下限必须小于上限;
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 O y x D 1
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 O y x D 2 = + 1 - ) , ( A 4 B
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 O y x D
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 注：此题若选择另一种积分次序较烦琐，读者不妨一试。
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 注：此题若选择另一种积分次序，会出现“积不出来”的积分。
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 二、利用极坐标系计算二重积分 1. 极坐标系下的面积元素 O x s d q r
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 2.极坐标系下化二重积分为累次积分 x ) ( q r = (a) (b) O x q ) ( r = 1 q r = 2 O x q ) ( r = (a) (b)
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 y x O q D cos 2 R r =
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《 高等数学》 河北机电职业技术学院 2 y x 1 O
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 x y O D 4 z
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《 高等数学》 河北机电职业技术学院 思考题:
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 三、 二重积分应用举例
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 2、求立体的体积 主要依据：二重积分的几何意义，如例8 解 如图所示
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 3、求平面薄板的质量
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第九节 对坐标的曲线积分 《 高等数学》 一、概念及性质 二、对坐标的曲线积分的计算 三、格林公式及其应用 四、曲线积分与路径无关的条件 河北机电职业技术学院 第九节 对坐标的曲线积分 一、概念及性质 二、对坐标的曲线积分的计算 三、格林公式及其应用 四、曲线积分与路径无关的条件
基本要求 重点 《 高等数学》 河北机电职业技术学院 了解对坐标的曲线积分的概念； 掌握对坐标的曲线积分的计算； 了解格林公式，理解曲线积分与路径无关的条件 并会应用其计算曲线积分。 重点 曲线积分的计算
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 第四节 对坐标的曲线积分 一、概念及性质 O d x y i M A B 1 - l
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 2. 定义
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 3.性质
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 二、对坐标的曲线积分的计算
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《 高等数学》 河北机电职业技术学院 O x y A(a,0) B(0,b)
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《 高等数学》 河北机电职业技术学院 O x y A (1,0) B (1,1)
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三、 格林（Green）公式及其应用 《 高等数学》 1、格林公式 区域D的边界曲线L的正方向：当观察者沿L的某个 河北机电职业技术学院
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 2 3 x y = y=x O
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 x y L D O A B
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 四、平面上曲线积分与路径无关的条件
《 高等数学》 河北机电职业技术学院 x O y A B D 1 C 2
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《 高等数学》 河北机电职业技术学院 再见