第五章 函数 函数也叫映射，交换，是数学中的一个基本概念，在高数中，函数的概念是从变量的角度提出来的，这种函数一般是连续或间断连续的函数，这里将连续函数的概念推广到离散量的讨论，即将函数看作一种特殊的二元关系。

5.1 函数的基本概念 定义5.1：设f是集合A到B的关系，如果对每个x A，都存在唯一y B，使得<x，y> f，则称关系f为A到B的函数(Function)，记为f:A→B。当<x，y> f时，正常记为y=f(x)，x称为自变量，y为x在f下的函数值。 (1)dom f=A，称为函数的定义域； (2)ran f B，称为函数的值域，ran f也可记为f(A)，为A在f下的像； (3) ； (4)|f|=|A|； (5)f(x)仅表示一个变值，f表示一个集合， ∴

5.1 函数的基本概念 例5-1：判断下图的关系是否是函数：

5.1 函数的基本概念 例5-2：设A={a，b}，B={1,2}，则A×B={<a,1>，<a,2>，<b,1>，<b,2>}，此时A到B的不同关系有16个；A到B的不同的函数有4个； (1)A×B的任何一个子集，都是A到B的关系，因此，从A到B的不同的关系有 个，但从A到B的不同的函数却只有 个； (2)每个函数的基数为|A|，但关系的基数可以为0一直到|A|×|B|； (3)每个函数的第一个元素一定互不相同； (4)将A到B的一切函数构成的集合记为

5.2 函数的性质 定义5.2：设f是从集合A到B的函数： (1)对 ，则称f为从A到B的单射(Injection)； (2)若ran f=B，则称f为A到B的满射(Surjection); (3)若f既是单射，又是满射，则称f为从A到B的双射(Bijection)或一一映射； (4)若A=B，则称f为A上的函数，当A上的函数f是双射，称f为变换(Transform)。 (1)f是单射的必要条件为|A|≤|B|，(2)f为满射的必要条件为|B|≤|A|，(3)f为双射的必要条件为|A|=|B|。

5.2 函数的性质 例5-3：确定下列关系哪些是函数，若是函数，是否是单射，满射，双射。 (1)设A=B=R， (2) 解：(1) ：R到R的函数， ：R到R的双射函数， ：不是R到R的函数， ：R到R的单射函数， ：不是R到R的函数； (2)f为 到R的双射函数。

5.2 函数的性质 例5-4：设<A, ≤>是偏序集，对 ，证(1)f是A到ρ(A)的单射函数，且(2) 证明：(1) ①：若a，b存在偏序关系，不妨设a ≤b，由于“≤”是反对称的， ，从而 ，而“≤”自反， ∴ b ≤b，即

5.2 函数的性质 ②若a，b不存在偏序关系，则 ，从而 ，而“≤”自反，即 ∴f是A到ρ(A)的单射； (2) 由传递性，有y ≤b, 定理5.1：设A，B是有限集合，且|A|=|B|，f是A到B的函数，则f是单射当且仅当f是满射。

5.2 函数的性质 证明：必要性：设f是单射，f是A到f(A)的满射， ∴f是A到f(A)的双射，因此|A|=|f(A)|，由于| f(A)|=|B|，且 ，得f(A)=B， ∴f是A到B的满射； 充分性：设f是满射， 由于f是A到B的满射，∴f也是 到B的满射，故 即f是A到B的单射。

5.3 函数的复合运算 定义5.3：常函数，恒等函数，单调函数，特征函数，自然映射。 定理5.2：设F，G是函数，则FοG也是函数，且满足：(1) (2)

5.3 函数的复合运算 例5-5：设f:R→R，g:R→R，h:R→R，满足 有关关系运算的一切定理都可推广到函数中来。 定理5.3：设f:A→B，g:B→C，(1)如果f，g满射，则fοg:A→C满射；(2)若f，g单射，则fοg:A→C单射；(3)若f，g双射，则fοg:A→C双射。

5.3 函数的复合运算 定理5.4：设f:A→B，g:B→C，则fοg:A→C，(1)若fοg:A→C满射，则g满射；(2)若fοg:A→C单射，则f单射；(3)若fοg:A→C双射，则g满射，f单射。

5.4 函数的逆运算 定理5.5：若f:A→B是双射的，则f的逆关系 是B到A的双射。

5.4 函数的逆运算 只有双射函数的逆关系才是函数，其它函数的逆关系都不是函数。 定理5.6：设f:A→B，双射，则 定义5.5：设f:A→B，双射，则 为f的逆函数或反函数(Inverse Function)。 例5-6：设f:R→R满足

5.5 置换 定义5.6：设A是有限集合，A={ }，从A到A的双射函数称为A上的置换或排列，记为P:A→A，n称为置换的阶(Order)。n阶置换P:A→A常表示为： (1) (2)P的逆函数 称为逆置换； (3)两个置换的复合就是将它们作为函数求复合函数。

5.5 置换 假设P:A→A为n阶置换， A={ }，对 考虑序列 ，由于{ }是有限集，则存在最小正整数 ，使得 其中 互不相同。 其中 互不相同。 称为阶 的一个循环。 当 时，至少有一个 ，不包含在 中； 对 重复 相同的过程，可得

5.5 置换 若 的循环与 的循环没有相同的元素时，称它们不相交； 继续这个过程， A={ }可以被分成若干子集，这些子集组成不同的循环 若 的循环与 的循环没有相同的元素时，称它们不相交； 继续这个过程， A={ }可以被分成若干子集，这些子集组成不同的循环 把它们写在一起，称为置换的积(Product)。 例5-7：

5.5 置换 解：a的循环为 ，即(a，h，c，b，g)； d的循环为 ，即(d，f)； e的循环为(e)。 置换P被分成不相交的循环的积为(a，h，c，b，g) (d，f) (e)。