第二节 第十二章 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 *四、绝对收敛级数的性质.

Slides:



Advertisements
Similar presentations
第一节 不定积分的概念及其 计算法概述 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质及简单计算 四、小结.
Advertisements

目录 上页 下页 返回 结束 习题课 一、导数和微分的概念及应用 二、导数和微分的求法 导数与微分 第二章.
函数与极限 导数与微分 微分中值定理与导数的应用 不定积分 定积分及其应用 级数. 二、 连续与间断 一、 函数 三、 极限 函数与极限.
第八章 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个方程所确定的隐函数 及其导数 隐函数的微分法.
2.6 隐函数微分法 第二章 第二章 二、高阶导数 一、隐式定义的函数 三、可微函数的有理幂. 一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数, 由 表示的函数, 称为显函数. 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数, 但此隐函数不能显化. 函数为隐函数. 则称此 隐函数求导方法.
§4.2 第一换元积分法 课件制作 秦立春 引 例 第一换元积分法. §4.2 第一换元积分法 课件制作 秦立春 以上三式说明:积分公式中积分变可以是任意的字母公式仍然成立.
第二节 换元积分法 一、第一类换元积分 法(凑微分法) 二、第二类换元积分法. 问题 解决方法 利用复合函数,设置中间变量. 过程令 一、第一类换元积分法(凑微分法)
全微分 教学目的:全微分的有关概念和意义 教学重点:全微分的计算和应用 教学难点:全微分应用于近似计算.
第三节 微分 3.1 、微分的概念 3.2 、微分的计算 3.3 、微分的应用. 一、问题的提出 实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量.
8.1 不定积分的概念和基本积分公式  原函数和不定积分  基本积分公式表  不定积分的线性运算法则 第八章 不定积分.
练一练: 在数轴上画出表示下列各数的点, 并指出这些点相互间的关系: -6 , 6 , -3 , 3 , -1.5, 1.5.
8.4 幂级数 主要内容: 1. 函数项级数的概念 2.幂级数及其收敛域 3、幂级数的运算性质 4、泰勒级数.
第三章 函数逼近 — 最佳平方逼近.
复变函数 第2讲 本文件可从网址 上下载 (单击ppt讲义后选择‘复变函数'子目录)
德国心理学家艾宾浩斯最早对遗忘进行 了系统研究,遗忘在学习之后立即开始,而 且遗忘的过程最初进行的很快,以后渐趋缓
第四章 解析函数 的级数展开.
第二节 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第十二章
《高等数学》(理学) 常数项级数的概念 袁安锋
常用逻辑用语复习课 李娟.
数学分析 江西财经大学 统计学院 2012级 密码: sxfx2012
例题 教学目的: 微积分基本公式 教学重点: 牛顿----莱布尼兹公式 教学难点: 变上限积分的性质与应用.
高等数学电子教案 第五章 定积分 第三节 微积分基本定理.
第五节 微积分基本公式 、变速直线运动中位置函数与速度 函数的联系 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式.
一、原函数与不定积分 二、不定积分的几何意义 三、基本积分公式及积分法则 四、牛顿—莱布尼兹公式 五、小结
第二节 微积分基本公式 1、问题的提出 2、积分上限函数及其导数 3、牛顿—莱布尼茨公式 4、小结.
数 学 分 析 第九章 定积分 第二节 微积分学基本公式 主讲:师建国.
定积分的换元法 和分部积分法 换元公式 分部积分公式 小结 1/24.
第5章 定积分及其应用 基本要求 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法
第十八章 含参变量的反常积分 教学目标: 1°使学生掌握含参变量反常积分概念; 2°使学生学会用定义证明含参变量反常积分收敛性。
第三节 函数的求导法则 一 函数的四则运算的微分法则 二 反函数的微分法则 三 复合函数的微分法则及微分 形式不变性 四 微分法小结.
第三节 格林公式及其应用(2) 一、曲线积分与路径无关的定义 二、曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分的求积 四、小结.
§5 微分及其应用 一、微分的概念 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量..
第二章 导数与微分 第二节 函数的微分法 一、导数的四则运算 二、复合函数的微分法.
2-7、函数的微分 教学要求 教学要点.
§5 微分及其应用 一、微分的概念 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量..
第5章 §5.3 定积分的积分法 换元积分法 不定积分 分部积分法 换元积分法 定积分 分部积分法.
第二章 矩阵(matrix) 第8次课.
§1 幂 级 数 一、幂级数的收敛区间 二、幂级数的性质
项目四 无穷级数 学习任务一:  数项级数的概念和性质 一、数项级数及其收敛性 二、数项级数的基本性质 三、数项级数收敛的必要条件.
第十一章 无穷级数 返回.
计算机数学基础 主讲老师: 邓辉文.
§2 求导法则 2.1 求导数的四则运算法则 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和例题 .
第一章 函数 函数 — 研究对象—第一章 分析基础 极限 — 研究方法—第二章 连续 — 研究桥梁—第二章.
第一章 函数与极限.
第九章 数项级数 §9.1 级数的收敛性 §9.2 正项级数 §9.3 一般项级数.
5.2 常用统计分布 一、常见分布 二、概率分布的分位数 三、小结.
复习.
正切函数的图象和性质 周期函数定义: 一般地,对于函数 (x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有
第16讲 相似矩阵与方阵的对角化 主要内容: 1.相似矩阵 2. 方阵的对角化.
§8.3 不变因子 一、行列式因子 二、不变因子.
§6.7 子空间的直和 一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和.
1.设A和B是集合,证明:A=B当且仅当A∩B=A∪B
第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、基本积分表 四、不定积分的性质 五、小结 思考题.
第三章 函数的微分学 第二节 导数的四则运算法则 一、导数的四则运算 二、偏导数的求法.
4) 若A可逆,则 也可逆, 证明: 所以.
第4课时 绝对值.
2.2矩阵的代数运算.
第15讲 特征值与特征向量的性质 主要内容:特征值与特征向量的性质.
第二节 函数的极限 一、函数极限的定义 二、函数极限的性质 三、小结 思考题.
正弦、余弦函数的性质 华容一中 伍立华 2017年2月24日.
§2 方阵的特征值与特征向量.
第六部分 级数 但稍加思考可能发现, 应该应如何计算诸如sin15、e2、ln2等这些值的?这时, 借助于级数加以讨论是最好的方法之一.
第三节 函数的微分 3.1 微分的概念 3.2 微分的计算 3.3 微分的应用.
第六模块 无穷级数 第五节 函数的幂级数展开 一、 麦克劳林 (Maclaurin) 公式 二、 直接展开法 三、 间接展开法.
定义5 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的矩阵,
第四节 向量的乘积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积.
第四章 函数的 积分学 第七节 定积分的换元积分法     与分部积分法 一、定积分的换元积分法 二、定积分的分部积分法.
第三节 数量积 向量积 混合积 一、向量的数量积 二、向量的向量积 三、向量的混合积 四、小结 思考题.
三角 三角 三角 函数 余弦函数的图象和性质.
§3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 l1 // l2 l1 ⊥ l2 k1与k2 满足什么关系?
Presentation transcript:

第二节 第十二章 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 *四、绝对收敛级数的性质

一、正项级数及其审敛法 若 则称 为正项级数 . 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 证: “ ” 故有界. 若 收敛 , 证: “ ” 故有界. 若 收敛 , “ ” ∴部分和数列 单调递增, 又已知 有界, 故 收敛 , 从而 也收敛.

定理2 (比较审敛法) 设 是两个正项级数, 且存在 对一切 有 (常数 k > 0 ), (1) 若强级数 收敛 , 则弱级数 也收敛 ; (2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 . 证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 设对一切 都有 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有

(1) 若强级数 收敛, 则有 因此对一切 有 由定理 1 可知, 弱级数 也收敛 . (2) 若弱级数 发散, 则有 因此 这说明强级数 也发散 .

例1. 讨论 p 级数 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 因为对一切 而调和级数 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 发散 .

因为当 时, 故 2) 若 考虑强级数 的部分和 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .

调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 对一切

例2. 证明级数 发散 . 证: 因为 发散 而级数 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .

定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数 满足 则有 (1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,

(1) 当0 < l <∞时, 由定理 2 可知 同时收敛或同时发散 ; (2) 当l = 0时, 由定理2 知 若 收敛 , (3) 当l = ∞时, 即 由定理2可知, 若 发散 ,

是两个正项级数, (1) 当 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 且 收敛时, 也收敛 ; (3) 当 且 发散时, 也发散 . 注: 1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较. 对正项级数 可得如下结论 : 2) 特别取

的敛散性 . 例3. 判别级数 ~ 解: 根据比较审敛法的极限形式知 例4. 判别级数 的敛散性. ~ 解: 根据比较审敛法的极限形式知

定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) 设 为正项级数, 且 则 (1) 当 时, 级数收敛 ; (2) 当 或 时, 级数发散 . 证: (1) 收敛 , 由比较审敛法可知

(2) 当 时 从而 因此 所以级数发散. 说明: 当 时,级数可能收敛也可能发散. 例如, p – 级数 级数收敛 ; 但 级数发散 .

例5. 讨论级数 的敛散性 . 解: 根据定理4可知: 级数收敛 ; 级数发散 ;

*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 为正项 级数, 且 则 证明提示: 对任意给定的正数  即 分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.

说明 : 时 , 级数可能收敛也可能发散 . 例如 , p – 级数 级数收敛 ; 但 级数发散 .

例6. 证明级数 收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近 似代替和 S 时所产生的误差 . 解: 由定理5可知该级数收敛 . 令 则所求误差为

二 、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件: 则级数 收敛 , 且其和 其余项满足

证: 是单调递增有界数列, 故 又 故级数收敛于S, 且

用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 收敛 收敛 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 发散 收敛 收敛

三、绝对收敛与条件收敛 定义: 对任意项级数 若 收敛 , 则称原级 数 绝对收敛 ; 若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 条件收敛 . 例如 : 为条件收敛 . 均为绝对收敛.

定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: 设 收敛 , 令 显然 且 根据比较审敛法 收敛, 收敛 也收敛

例7. 证明下列级数绝对收敛 : 证: (1) 而 收敛 , 收敛 因此 绝对收敛 .

(2) 令 收敛, 因此 绝对收敛. 小结

*四、绝对收敛级数的性质 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. (P263 定理9) *定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 ) 设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛, 其和为 (P265 定理10) (证明见 P263~P266) 说明: 绝对收敛级数有类似有限项和的性质, 但条件收敛级数不具有这两条性质.

内容小结 2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤 必要条件 发 散 不满足 满足 比较审敛法 比值审敛法 不定 部分和极限 积分判别法 发 散 不满足 满足 比较审敛法 比值审敛法 不定 部分和极限 用它法判别 积分判别法 根值审敛法 收 敛 发 散

3. 任意项级数审敛法 概念: 为收敛级数 绝对收敛 条件收敛 Leibniz判别法: 则交错级数 收敛

思考与练习 设正项级数 收敛, 能否推出 收敛 ? 提示: 由比较判敛法可知 收敛 . 注意: 反之不成立. 例如, 收敛 , 发散 .

作业 P266 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (3), (4) ; *3 (1), (2) ; 2 (2), (3), (4) ; *3 (1), (2) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3), (5) 第三节

备用题 1. 判别级数的敛散性: 不是 p–级数 解: (1) 发散 , 故原级数发散 . (2) 发散 , 故原级数发散 .

C 2. 则级数 (A) 发散 ; (B) 绝对收敛; (C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定. 分析: ∴ (B) 错 ; 又