第二节 第十二章 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 *四、绝对收敛级数的性质

一、正项级数及其审敛法 若 则称 为正项级数 . 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 证: “ ” 故有界. 若 收敛 , 证: “ ” 故有界. 若 收敛 , “ ” ∴部分和数列 单调递增, 又已知 有界, 故 收敛 , 从而 也收敛.

定理2 (比较审敛法) 设 是两个正项级数, 且存在 对一切 有 (常数 k > 0 ), (1) 若强级数 收敛 , 则弱级数 也收敛 ; (2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 . 证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 设对一切 都有 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有

(1) 若强级数 收敛, 则有 因此对一切 有 由定理 1 可知, 弱级数 也收敛 . (2) 若弱级数 发散, 则有 因此 这说明强级数 也发散 .

例1. 讨论 p 级数 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 因为对一切 而调和级数 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 发散 .

因为当 时, 故 2) 若 考虑强级数 的部分和 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .

调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 对一切

例2. 证明级数 发散 . 证: 因为 发散 而级数 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .

定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数 满足 则有 (1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,

(1) 当0 < l <∞时, 由定理 2 可知 同时收敛或同时发散 ; (2) 当l = 0时, 由定理2 知 若 收敛 , (3) 当l = ∞时, 即 由定理2可知, 若 发散 ,

是两个正项级数, (1) 当 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 且 收敛时, 也收敛 ; (3) 当 且 发散时, 也发散 . 注: 1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较. 对正项级数 可得如下结论 : 2) 特别取

的敛散性 . 例3. 判别级数 ～ 解: 根据比较审敛法的极限形式知 例4. 判别级数 的敛散性. ～ 解: 根据比较审敛法的极限形式知

定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) 设 为正项级数, 且 则 (1) 当 时, 级数收敛 ; (2) 当 或 时, 级数发散 . 证: (1) 收敛 , 由比较审敛法可知

(2) 当 时 从而 因此 所以级数发散. 说明: 当 时,级数可能收敛也可能发散. 例如, p – 级数 级数收敛 ; 但 级数发散 .

例5. 讨论级数 的敛散性 . 解: 根据定理4可知: 级数收敛 ; 级数发散 ;

*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 为正项 级数, 且 则 证明提示: 对任意给定的正数  即 分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.

说明 : 时 , 级数可能收敛也可能发散 . 例如 , p – 级数 级数收敛 ; 但 级数发散 .

例6. 证明级数 收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近 似代替和 S 时所产生的误差 . 解: 由定理5可知该级数收敛 . 令 则所求误差为

二 、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件: 则级数 收敛 , 且其和 其余项满足

证: 是单调递增有界数列, 故 又 故级数收敛于S, 且

用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 收敛 收敛 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 发散 收敛 收敛

三、绝对收敛与条件收敛 定义: 对任意项级数 若 收敛 , 则称原级 数 绝对收敛 ； 若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 条件收敛 . 例如 ： 为条件收敛 . 均为绝对收敛.

定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: 设 收敛 , 令 显然 且 根据比较审敛法 收敛, 收敛 也收敛

例7. 证明下列级数绝对收敛 : 证: (1) 而 收敛 , 收敛 因此 绝对收敛 .

(2) 令 收敛, 因此 绝对收敛. 小结

*四、绝对收敛级数的性质 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. (P263 定理9) *定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 ) 设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛, 其和为 (P265 定理10) (证明见 P263～P266) 说明: 绝对收敛级数有类似有限项和的性质, 但条件收敛级数不具有这两条性质.

内容小结 2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤 必要条件 发 散 不满足 满足 比较审敛法 比值审敛法 不定 部分和极限 积分判别法 发 散 不满足 满足 比较审敛法 比值审敛法 不定 部分和极限 用它法判别 积分判别法 根值审敛法 收 敛 发 散

3. 任意项级数审敛法 概念: 为收敛级数 绝对收敛 条件收敛 Leibniz判别法: 则交错级数 收敛

思考与练习 设正项级数 收敛, 能否推出 收敛 ? 提示: 由比较判敛法可知 收敛 . 注意: 反之不成立. 例如, 收敛 , 发散 .

作业 P266 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (3), (4) ; *3 (1), (2) ; 2 (2), (3), (4) ; *3 (1), (2) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3), (5) 第三节

备用题 1. 判别级数的敛散性: 不是 p–级数 解: (1) 发散 , 故原级数发散 . (2) 发散 , 故原级数发散 .

C 2. 则级数 (A) 发散 ; (B) 绝对收敛; (C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定. 分析: ∴ (B) 错 ; 又