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专题探究精讲 导数的几何意义 题型特点：对导数的几何意义考查，最常见的问题就是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系，以平行或垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，以及与曲线的切线相关的计算题．考查的题型以选择题、填空题为主．

知识方法：函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率为f′(x0)，相应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

例1

【解】 (1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为 y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32.

解之得，x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13 解之得，x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．

利用导数研究函数的单调区间 题型特点：该题型主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性，并经常与分类讨论，数形结合等思想方法的考查融为一体．在高考命题中，三种类型均有可能出现，若以选择题或填空题的形式出现，难度则以中低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主．

知识方法：应用导数求函数的单调区间的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (4)确定并指出函数的单调增区间、减区间． 特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连结．

例2

利用导数研究函数的极值和最值 题型特点：极值问题在高考中主要以解答题的形式出现，属中档题目，它作为工具性知识能解决诸如最值、不等式证明问题，随着对数学应用能力要求的加强，这方面的命题将有所增加． 知识方法： 1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．

若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点． 2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．

特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．

例3

(2)x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：

利用导数解不等式恒成立问题 题型特点：这类问题多以解答题形式出现，难度较大，命题时与不等式、函数性质结合，目的考查导数的应用． 知识方法：利用导数研究某些函数的单调性与最值，可以解决一些不等式证明及不等式恒成立问题，如利用“f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a”和“f(x)＞a⇔f(x)min＞a”的思想解题．

例4 设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2处取得极值．若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．

当x∈(0,1)时，f′(x)>0； 当x∈(1,2)时，f′(x)<0； 当x∈(2,3)时，f′(x)>0 当x∈(0,1)时，f′(x)>0； 当x∈(1,2)时，f′(x)<0； 当x∈(2,3)时，f′(x)>0. 所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c. 又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c. 则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c. 因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立， 所以9＋8c<c2， 解得c<－1或c>9. 因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．

导数在实际中的应用问题 题型特点：运用导数的性质解决最优化问题是高考考查的重点、热点内容．在高考命题中多以解答题形式出现，难度一般为中等偏难题目． 知识方法：利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题： (1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的值应舍去．

(2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值． 某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)；成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)．又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)． (1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)； (提示：利润＝产值－成本) 例5

(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ (3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？ 【解】 (1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N*，且1≤x≤20)； MP(x)＝P(x＋1)－P(x) ＝－30x2＋60x＋3275(x∈N*，且1≤x≤19)． (2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240 ＝－30(x－12)(x＋9)．

∵x＞0，∴P′(x)＝0时，x＝12. ∴当0＜x＜12时，P′(x)＞0； 当x＞12时，P′(x)＜0， ∴x＝12时，P(x)有最大值． 即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．

(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275 ＝－30(x－1)2＋3305(x∈N (3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275 ＝－30(x－1)2＋3305(x∈N*，且1≤x≤19)． 所以，当x≥1时，MP(x)单调递减， 所以，单调减区间为[1,19]，且x∈N*. MP(x)是减函数的实际意义，随着产量的增加，每艘利润与前一艘利润比较，利润在减少．

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