3.微观粒子的波动性 1920年法国物理学家德布罗意开始思考量子物理，他认为：“如果光具有类似粒子的行为，那么电子的行为为什么不能与波类似呢？”1924年在他的博士论文中提出了电子具有波动性的论点，并将描述光子的方程用于电子。 论文的审查者并不相信电子会伴随着波，他们认为这仅是一个数学游戏。德布罗意的导师朗之万将论文寄给了爱因斯坦，爱因斯坦意识到了物质波的存在，他将消息传到了哥根庭（实验物理系所在地）。1927年由戴维孙——革末和汤姆孙分别用实验证实。

例：计算电子的波长 设电子的动能为 Ek ，则有： 波长远小于可见光波长，一般光学器件无法观察到波动现象，利用晶体的晶格做光栅（0.1nm），才能观察到电子的波动效应。

现代实验证实：中子、质子、原子均由干涉现象。原子的粒子性显而易见，下图为用隧道扫描显微镜移动原子组成的文字 I B M。 但在1991年由Mylnek 和 Camal 成功的进行了原子的双缝衍射。 对宏观物体： 不显波性。

二. 量子客体状态的描述——波函数 1.量子——不可再分解的最小单元 例： 能量子：hν 电子电量 e 在量子物理中，量子客体既具有波动性，又具有粒子性，如何描述其状态、规律。 2. 量子客体的图像——波或粒子 光（电）子双缝干涉实验： 经典的波：无论波强如何，屏幕上同时形成干涉明暗条纹，服从相干波的叠加。

若光源很弱，为单光（电）子发射，则其干涉图像的形成见图： 在短暂时间内，光（电）子在屏幕上留下的斑点分布似乎是随机的、无规则的，随着时间的延长，则

逐渐形成了明暗相间的干涉条纹。显然光（电）子的波动性与经典的波动性是明显不同的，经典的干涉是场的叠加，相位的差别决定了干涉明暗，量子客体的干涉是量子在空间的几率分布决定了干涉明暗。因此不能将量子视为经典的波。 量子客体是否是经典的粒子？ 将双缝遮住一缝，则干涉图像消失了，这个干涉图像是不可能从两个只有单缝存在所记录的图像的叠加中得到的。仅当双缝同时开着时，才有干涉。因此，每个光子或电子必定以某种方式，独个的计及到开着双缝还是单缝，如果它们是不可分割的粒子，他们如何做到这一点？从粒子角度来看，每个粒子只能从一个缝穿过，它如何知道另一个缝的开

启情况？科学家们大胆的假设：量子粒子的路线在空间具有不确定性，即粒子在空间的路线可维持无数多条，每一条路线的变化，都将对粒子行为产生影响。假设有一位持怀疑态度的科学家，要在双缝的前方各放置一个探测器，以便预先确定一个电（光）子的运行轨迹，这样一来，他就可以在不让电（光）子“知道”的情况下突然关闭一条缝，这样是否可以得到双缝干涉的图像呢？答案是否定的，当精确的测定了电（光）子的运动轨迹后，电子的运动受到了如此之大的扰动，以至干涉图像倔强的消失了。因此量子粒子绝非经典粒子，位置、运动方程、轨迹等经典概念已失去意义，量子粒子可以同时出现在所有可能的地方。

例：测不准关系，表示了量子粒子的非经典粒子性，轨道概念已失去意义。以电子单缝衍射为例，见图 x 单缝宽度为d，衍射的中央明纹的半角宽度与入射波长、单缝宽度的关系为： d θ y 电子束 衍射条纹的强度主要集中在中央明纹区域，从粒子性来看，电子主要落在中央明纹区域。分析电子衍射过程中动量与坐标的变化： 进入狭缝前：电子的坐标为任意，动量为：

进入狭缝后，x 坐标出现了限制，只有位于狭缝的电子才能通过，动量在 x 方向上也出现了分量。 电子束 d θ x y 假设电子全落在中央明纹区域，则在第一级暗纹处px为最大。可见狭缝对电子的运动产生了两个方面的影响，一是将电子的坐标限制在缝宽的范围内，二是使电子动量的方向发生改变，Δpx 也有一定的变化范围。这两个作用是共生的，既不可能不限制电子的坐标而使电子的动量发生变化，也不可能限制电子的坐标而避免其动量的变化。

对于每一个处在狭缝处的电子，只能知道其 x 坐标与 px 的取值范围，所以我们说，电子的 x 坐标与动量的 x 分量 分别有一个不确定量 Δx与Δpx 。显然： 电子束 d θ x y 由： 得：

上式仅考虑中央明纹，更为严格的讨论可得： 上式称为海森堡测不准关系（不确定关系），由海森堡在1927年提出，它可表述为：粒子在某方向上的坐标测不准量与该方向上的动量分量的测不准量的乘积必不小于普朗克恒量。 海森堡测不准关系是表明，不可能同时对粒子的坐标和动量进行准确的测量，精确的得到某一个量的信息，将会丢失另一个量的信息。对于量子客体，谈论它在同一时刻的精确位置与精确动量是毫无意义的，所以轨道的概念也是毫无意义的，所谓轨道是建立在有同时确定的位置与动量的基础上的。

测不准关系是量子客体波粒二象性的深刻反映，是物质本身固有性质决定的，而不是由于仪器或是测量方法的缺陷造成的。在微观世界里存在一种内在的模糊性，只要我们企图同时测量两个不相容的可观察量，这种模糊性就会显示出来。在日常生活中，我们确信，严格的因果定律指引弹丸打到靶上，我们不会怀疑弹丸到达靶时，其着靶点是一连续曲线的终点，曲线的起点在枪口处。但对量子客体就不同了，我们能够识别出发点与到达点，但并非总能推断出有一条连接它们的确定路线。 在量子力学中，能量与时间也存在类似的不确定关系式，若以 ΔE 与Δt 分别表示能量与时间的不确定度，则有：

例：已知电子沿 x 方向运动，速度为200m/s，速度的不准确度为0.01%，求测量电子 x 坐标所能达到的最小不准确度Δx 。 解： 原子的线度为 10-10 m，电子则更小，对于6mm的不准确度已超过电子本身线度的百亿倍，显然用轨道来描述电子使毫无意义的。

若将电子换为子弹，则结果如何。 对于如此小的不准确度，目前任何仪器也无法测出，所以对宏观物体仍可使用经典概念。

3.描述量子状态——波函数 ψ（x t） 电子具有干涉现象，从波的角度必定是相干波叠加的结果， 可用波函数(类似于波动方程)来描述电子。由于量子客体具有波粒二相性， 波函数 ψ（x t）应可从粒子性与波动性两个方面描述量子客体。讨论上例，从粒子性角度，电子在空间出现的几率不同，可用几率描述电子的行为。 明纹 → 几率大， 暗纹 → 几率小 光强大 → 几率大， 光强小 → 几率小 几率 ∝ 光强 ∝ 波函数的平方 波函数一般为复数，几率 p ( x t ) ∝│ψ│2

Ψ(x t) 描述波动状态。 │ψ│2 描述粒子在空间的几率分布。 4.薛定谔方程 薛定谔：生于1887年，1910年获博士学位，1921年任苏黎士大学物理学教授。20世纪20年代中期，当时的哥根庭小组使量子理论越来越抽象化，切断了它与我们熟悉的物理思想的关系。薛定谔则努力恢复容易理解的物理概念，提出用波函数来描述量子客体，并建立了著名的薛定谔方程。 薛定谔方程—描述量子客体状态的波函数ψ（x t）所满足的微分方程，它可描述量子客体的运动规律。其在量子力学中的地位与牛顿定律在经典力学中的

地位相当。薛定谔方程不能用任何逻辑推理的方法加以证明，它的正确性只能靠实践来检验。几十年来，大量的实验事实证明了薛定谔方程实际应用的正确性。 作为一个实用工具，薛定谔方程取得了巨大的成功，但在指导人们认识、理解量子物理的基本问题上却并未取得突破，有科学家如此评论：尽管量子力学就像菜单一样对很多有趣的问题非常实用，并在这方面取得了巨大进展，然而我们与几十年前（上世纪20年代）对量子物理的基本问题的理解相比，并没有多少长进，作为一个实用工具，薛定谔方程的巨大成功已经阻碍了人们对这个工具如何和为什么有效做深入的思考。

5.薛定谔方程的应用—— 一维势阱中的粒子 设质量为 m 的粒子，只能在 0 < x < a 的区域中自由运动，其势能分布为： 势能曲线： ∞ V(x) 金属中电子受原子中的正电荷吸引电子的势能曲线即与此类似。 a

粒子的薛定谔方程： 粒子总能量 方程的解： 式中 A、B 为待定常数，可由边界条件确定。 当 x = 0 ψ(0) = 0 ∴ B = 0 当 x = a ψ(a) = 0 有：ka = nπ

粒子的定态波函数： 粒子的能量： ∵ ka = nπ n = 1 ，2 ，3 … 讨论： 1. 粒子的能量只能取分离值，量子化由解方程自然得来，无需假设。n 称为能量量子数。n 取不同值时，粒子对应不同的能量，n 为 1 时，粒子能量为最小，称为零点能，但并不为零。这在经典物理中也是无法解释的，按经典物理粒子可以静止，能量可以为零。

2.粒子的概率分布： 能量为 En 的粒子在 x →x + dx 内被发现的概率为： 经典观点：粒子在阱中做匀速直线运动，各处出现的概率相同。量子理论：粒子在阱中的概率不同，有些位置概率为零。 位置概率密度分布曲线： n = 3 a/3 2a/3 n = 2 n = 1 a/2 x

方势垒的穿透，隧道效应 例：两块金属间夹一层极薄的绝缘层，势能曲线如图： x V(x) V0 设粒子在区域 1，能量为 E。 E 若：E < V0 ，按经典物理观点，则粒子无法穿越势垒，而解薛定谔方程，可得 2、3区域的波函数为： 1 2 3 说明在 2、3区域粒子出现的几率均不为零，这是粒子波动性的结果，已为大量的实验所证实。

扫描隧道显微镜 （ STM） 原理：隧道效应。 结构原理图： 金属针 电子仪器 计算机 金属片样品 将一个只有几个埃的精密立体金属针放在金属片样品之上，形成两个电极，在针与金属片之间加上近 1 伏的电压，由于针与金属片之间隔着不导电的空气或电介质，所以不会产生电流。这好比电子在两个电极之间遇到势垒不能飞跃。

金属针在样品表面扫描，见图： 当针尖与样品表面相距只有几个埃时，由于隧道效应，电子将有一定的数目进入探针，形成隧道电流，其电流的大小取决于针尖与样品的距离、样品表面性质和结构等因素。 用针尖对样品进行连续平行线方式的扫描，用电子反馈线路控制隧道电流恒定，记录间距的变化，或以间距稳定的方式记录隧道电流的变化，经计算机处理，即可获得样品表面原子级分辨的图像。 性能：1.分辨率高，横向：0.1nm 纵向：0.01nm 2.处理简单，无需切片。 3.无辐射损伤 （电镜需外源电子束照射）

4.结构简单。无需附有高真空和高压设备。 5.适用范围广，可在常温常压空气中、溶液中使用。