第4章 刚体转动 猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，为什么会这样呢？

§4-1 刚体的定轴转动 力矩 转动 转动惯量 一.刚体的平动 刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行 — 刚体平动 §4-1 刚体的定轴转动 力矩 转动 转动惯量 一.刚体的平动 刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行 — 刚体平动 平动的特点 (1) 刚体中各质点的运动情况相同 (2) 刚体的平动可归结为质点运动

一大型回转类“观览圆盘”如图所示。圆盘的半径R=25 m，供人乘坐的吊箱高度L=2 m。若大圆盘绕水平轴均速转动，转速为0.1 r/min。 例 求 吊箱底部A点的轨迹及A点的速度和加速度的大小。 解 吊箱平动

刚体的平动和绕定轴转动是刚体的两种最简单最基本运动 二.刚体绕定轴转动 刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动 z 转轴固定不动 — 定轴转动 刚体的平动和绕定轴转动是刚体的两种最简单最基本运动 1. 描述 刚体绕定轴转动的角量 I  角坐标 角速度 P II 角加速度 M

任意点都绕同一轴作圆周运动, 且 ， 都相同 P r'  O θ 当 与质点的匀加速直线运动公式相象 z ω, 2. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度 任意点都绕同一轴作圆周运动, 且 ， 都相同 P r'  O θ 刚体 × 参考方向 基点O 瞬时轴 定轴

速度与角速度的矢量关系式 z ω, 加速度与角加速度的矢量关系式 P r'  O θ 刚体 参考方向 × 基点O 瞬时轴 定轴

• • • • ？ 三. 力矩 力 改变质点的运动状态 质点获得加速度 刚体获得角加速度 改变刚体的转动状态 力 F 对z 轴的力矩 h 力矩取决于力的大小、方向和作用点  A • 在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向

讨论 (1) 力对点的力矩 O . (2) 力对定轴力矩的矢量形式 h A  力矩的方向由右螺旋法则确定 (3)力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影，等于该力对该轴 的力矩

• y  x O x dx 已知棒长 L ,质量 M ，在摩擦系数为  的桌面转动 (如图) 例 L M 求 摩擦力对y轴的力矩 解 根据力矩 dx • 在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算 例如 T T' T T'

四. 刚体对定轴的转动定律 当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动 实验证明 当存在 M 时， 与 M 成正比，而与J 成反比 在国际单位中 k = 1 刚体的转动定律 作用在刚体上所有的外力对 定轴 z 轴的力矩的代数和 刚体对 z 轴 的转动惯量 讨论 (1) M 正比于  ，力矩越大，刚体的  越大 (2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同 (3) 与牛顿定律比较：

• 理论推证  取一质量元 O 切线方向 对固定轴的力矩 对所有质元 合外力矩 M 合内力矩 = 0 刚体的转动惯量 J

• 五. 转动惯量 定义式 质量不连续分布 质量连续分布 计算转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置 (1) J 与刚体的总质量有关 例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量 z M L O x dx

(2) J 与质量分布有关 dl m 例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量 R O 例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 R m dr r O

六. 平行轴定理及垂直轴定理 (3) J 与转轴的位置有关 z z L M L M O x x O dx dx z' z 1. 平行轴定理 :刚体绕任意轴的转动惯量 L C :刚体绕通过质心的轴 :两轴间垂直距离

z y x 例 均匀细棒的转动惯量 M L 2. (薄板)垂直轴定理 x,y轴在薄板内； z 轴垂直薄板。 例如求对圆盘的一条直径的转动惯量 例 均匀细棒的转动惯量 M L z x y 2. (薄板)垂直轴定理 x,y轴在薄板内； z 轴垂直薄板。 例如求对圆盘的一条直径的转动惯量 y x z 圆盘 R C m 已知

七. 转动定律的应用举例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦不计， (见图) 例 求 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速 解 (1) 两者区别 (2)

一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置 例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置 m l x 求 它由此下摆  角时的  O  解 取一质元 C dm 重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩

圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止 例   R 求 到圆盘静止所需时间 解 取一质元 摩擦力矩 由转动定律

例 一个刚体系统，如图所示， 已知，转动惯量 ，现有一水平力作用于距轴为 l' 处 求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。 解 例 一个刚体系统，如图所示， 已知，转动惯量 ，现有一水平力作用于距轴为 l' 处 求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。 解 设轴对棒的作用力为 N 由转动定律 由质心运动定理 质点系 打击中心 质心运动定理与转动定律联用