第一章 三 角 函 数 1.5 正弦函数的图像与性质

前面我们借助单位圆学习了正弦函数y=sin x的基本性质，下面画出正弦函数的图像，然后借助正弦函数的图像，进一步研究它的性质. 温故知新 前面我们借助单位圆学习了正弦函数y=sin x的基本性质，下面画出正弦函数的图像，然后借助正弦函数的图像，进一步研究它的性质.

新知探究 探究点1 正弦函数y=sinx的图像 1.用描点法作出函数图像的主要步骤是怎样的？ (1) 列表. (2) 描点.按上表值作图. - (3) 连线.

2. 函数 图像的几何作法 作法: (1)等分. (2)作正弦线. (3)平移. (4)连线.

3.正弦曲线 因为终边相同的角的三角函数值相同， 所以y=sinx的图像在 … 与y=sinx,x∈[0,2π]的图像相同. 正弦函数的图像叫作正弦曲线.

图像的最高点 与x轴的交点 图像的最低点 O 4.五点作图法 点不在多，五个就行 简图作法 1 - -1 O 与x轴的交点 -1 - 图像的最低点 简图作法 (1)列表(列出对图像形状起关键作用的五点坐标). (2)描点(定出五个关键点). (3)连线(用光滑的曲线顺次连接五个点).

归纳小结 思考 “五点法”作图有何优、缺点? 提示: “五点法”就是列表描点法中的一种.它的优点是抓住关键点、迅速画出图像的主要特征;缺点是图像的精度不高.

新知探究 探究点2 正弦函数y=sinx的性质 y=1 y=-1 观察正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图像. y x 想一想： 1.我们经常研究的函数性质有哪些？ 2.正弦函数的图像有什么特点？ 3.你能从中得到正弦函数的哪些性质？

1.定义域 正弦函数 y=sinx的定义域为R 2.值域 从正弦函数的图像可以看出，正弦曲线夹在两条平行线y=1和y=-1之间，所以值域为[-1,1] 当x∈A时，函数取得最大值1，反之，若函数取得最大值1时，x∈A. 当x∈B时，函数取得最小值-1，反之，若函数取得最小值-1时，x∈B.

3 周期性 由正弦函数图像可以看出，当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现，即正弦函数是周期函数，它的最小正周期是2π. 由于正弦函数具有周期性，为了研究问题方便，我们可以选取任意一个x值，讨论区间[x,x+ 2π]上的函数的性质，然后延拓到整个定义域上.

4 单调性 思考1：观察正弦函数y=sinx(x∈R)的图像，能找出正弦函数的单调区间吗？ 选取区间 ，可知 在区间

单调性 在每一个区间__________________ 上是增加的； 上是减少的.

根据诱导公式sin(-x)=sin x，可知正弦函数是奇函数 5 奇偶性 观察正弦函数的图像，可以看到 图像关于原点对称，奇函数关于原点对称. y 1 O x -1 根据诱导公式sin(-x)=sin x，可知正弦函数是奇函数

. . . . . 典例解析 x y=sinx 1 -1 y=-sinx y 1 x -1 解：列表 x y=sinx 1 -1 y=-sinx y y= -sinx, x [0, ] . 1 . . . O x . -1

例2.用五点法画出y=1+sinx在区间[0,2π]上的简图. 解：列表 x 1 -1 2 y=sinx y=1+sinx

. y 2 . . . 1 . O  2 x -1 [0,2π] x sinx, y Î =

x 0 1 0 -1 0 -1 0 -1 -2 -1 例3 利用五点法画出函数y=sinx-1的简图,并根据图像讨论它的性质. 解：列表： y=sinx 0 1 0 -1 0 y=sinx-1 -1 0 -1 -2 -1

画出简图： y 2 1 O .  2 x . . . -1 . -2 y=sinx-1

函数 y=sinx-1 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 最值 R [-2,0] 既不是奇函数也不是偶函数 2π

B 当堂达标 1.下列函数中，奇函数是( ) A.y=|sin x| B.y=-2sin x C. D.y=1+sin x 1.下列函数中，奇函数是( ) A.y=|sin x| B.y=-2sin x C. D.y=1+sin x B [0，2] 2.函数y=sinx+|sinx|的值域是_______．

3.求函数 的最大值及取得最大值时自变量x的集合. 解：

. . . . . x 2x y=sin2x 1 -1 y= sin2x O 4.用五点法画出y=sin2x一个周期的简图. y 1 x 解： x 2x y=sin2x 1 -1 y . 1 y= sin2x . . . O x . -1

1.会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图像. 2.掌握正弦函数图像的“五点作图法”. 3.会利用“五点作图法”画一些简单函数 的图像. 课堂小结 1.会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图像. 2.掌握正弦函数图像的“五点作图法”. 3.会利用“五点作图法”画一些简单函数 的图像. 4.掌握正弦函数的性质。

作 业 　　不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步。