九年级上册 第二十二章 二次函数 二次函数 的 图象和性质 北京市中关村中学 杨爱青
温故知新 1.研究一次函数的顺序： 概念 图象和性质 应用性质 从特殊到一般 2.如何研究二次函数的性质呢？ 或
新知探究 从解析式研究图象和性质 (1)x的取值范围： 全体实数； (2)y的取值范围： (3)x取一对相反数时，函数值相等（对称性）； (4)x=0时，y有最小值， y的最小值为0； (5)当x>0时，y随着x的增大而增大； 当x<0时，y 随着x的增大而减小； (6)图象位于第一、二象限和原点； (7)图象第一象限部分是直线还是曲线？
新知探究 第一象限部分 的性质 示意图猜想 1.图象关于y轴对称； 2.图象有最低点（0,0）； 3.在y轴左侧，y随着x的增大而减小； O y x 1.图象关于y轴对称； 2.图象有最低点（0,0）； 3.在y轴左侧，y随着x的增大而减小； 在y轴右侧，y随着x的增大而增大. 取特殊点 时 ， ， y的增长速度先慢后快.
新知探究 描点法画 y=x2 的图象 从表格分析图象和性质 （1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表： x … -2 -1 1 2 1 2 4 y … … ①图象关于y轴对称； ②图象有最低点（0,0）； ③在y轴左侧，y随着x的增大而减小； 在y轴右侧，y随着x的增大而增大.
新知探究 （2）描点 y=x2 你能从图象 分析性质吗？ （3）用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y= x2 的图象. o x 10 8 6 （2）描点 y=x2 10 你能从图象 分析性质吗？ 8 6 4 2 1 -2 o （3）用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y= x2 的图象. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x
新知探究 抛物线： 二次函数的图象都是抛物线． 二次函数y= x2 的图象形状类似于投篮或掷铅球时球 在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条 曲线叫抛物线y= x2 . 抛物线： 二次函数的图象都是抛物线． 一般地，二次函数 的图象叫做抛物线 ．
新知探究 对称轴、顶点、最低点、最高点 对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点. 这条抛物线关于 y轴对称，y轴 是它的对称轴.
新知探究 抛物线 y=x2在x轴上方(除顶点外)，顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展; 当x=0时,函数 y的值最小，最小值是0. 在对称轴左侧（或x <0时) ，y随着x的增大而减小； 在对称轴右侧（或x >0时) ，y随着x的增大而增大.
合作交流 在同一坐标系中,画出下列函数的图象: 并比较它们的相同点与不同点.
归纳性质 归纳: 抛物线y=ax2的图象和性质 1.开口方向： 当a>0时,开口向上； 当a<0时,开口向下. 2.对称轴是直线x=0 (y轴), 3. 顶点是原点(0，0).
归纳性质 4.最值： 当a>0时，函数有最小值， 且当x＝0时，ymin＝0； 当a<0时，函数有最大值， 且当x＝0时，ymax＝0. 5.增减性：
应用性质 例1 (1)抛物线 y=8x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧, y随着x的增大而增大；在 侧,y随着x的增大而减小,当 x= 时,函数 y的值最 ,最 值是 ,抛物线y=8x2在x轴 的 方(除顶点外). （0，0） y轴 y轴右 y轴左 小 小 上
应用性质 (2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的 , 下 增大而增大 增大而减小 大 大 ≠
应用性质 例2 已知二次函数 （1）当m取何值时，它的图象开口向下； （2）当x>0时，y随x的增大而增大，求函数关系式. 例2 已知二次函数 （1）当m取何值时，它的图象开口向下； （2）当x>0时，y随x的增大而增大，求函数关系式. 解：（1）由题意得， 解得， （2）由题意得， 解得， ∴
巩固练习 教科书32页练习，增加一问： 分别说出函数的增减性.
反思提升 1.从函数解析式、表格、图象研究函数图象和性质的几个方面： 自变量取值范围，函数值取值范围，对称性， 最值，增减性等. 自变量取值范围，函数值取值范围，对称性， 最值，增减性等. 2.二次函数y =ax2的图象和性质. 3.数形结合──图象和性质密不可分. 由图象想性质、由性质想图象.