第六章 机械振动和机械波 鄢小卿 yanxq01@nankai.edu.cn 物理学院5教315室 电话：23499981
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§6.1 简谐振动 1.1 简谐振动的描述 1.2 简谐振动的矢量图表示法 1.3 简谐振动的动力学方程 1.4 两个简谐振动的实例 §6.1 简谐振动 1.1 简谐振动的描述 1.2 简谐振动的矢量图表示法 1.3 简谐振动的动力学方程 1.4 两个简谐振动的实例 1.5 简谐振动的能量 作业：P176 6-2; P177 6- 4, 6- 5，6-7； P178 6-13
非周期性振动—在 T时间内运动状态不能完全重复。 §6.1 简谐振动 人类生活在振动的世界里。振动在力学、声学、电磁学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。 1.1 简谐振动的描述 振动的一般概念 心脏跳动 什么叫振动—物体在同一路径的一定 位置附近作重复往返运动称为机械振动。 特点： 有平衡点，且具有重复性。 周期性振动—在 T时间内运动状态能完全重复。 非周期性振动—在 T时间内运动状态不能完全重复。
机械振动分类 按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。 按产生振动原因分：自由、受迫、自激、参变振动。 按自由度分：单自由度系统、多自由度系统振动。 按振动位移分：角振动、线振动。 按系统参数特征分：线性、非线性振动。 其中简谐振动是最基本的，存在于许多物理现象中。 复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。
结论： 简谐振动 简谐振动的运动学描述 以弹簧振子为例 系统的位移按 的规律运动，其中 由系统自身决定。 的规律运动，其中 由系统自身决定。 结论： 简谐振动——凡是以时间的正弦或余弦函数 表示的运动都是简谐振动。
广义振动：物理量在中心值附近周期性变化。 实际上，任何一个稍微偏离平衡状态的稳定系统，都可看成简谐振子。对于物理学中的许多问题，谐振子都可以作为一个近似的或相当精确的模型。 晶格点阵
简谐振动的周期和频率、振幅 叫做周期，每隔T 时间运动完全重复 称为振动频率，单位时间内振动的次数。 称为角频率（或圆频率） 简谐振动的周期和频率、振幅 叫做周期，每隔T 时间运动完全重复 称为振动频率，单位时间内振动的次数。 称为角频率（或圆频率） 即单位时间内相位的变化值
简谐振动的相位、初相位、振幅 振幅， 振动中最大位移量 相位； 角频率 相同的运动状态对应 相位差为 的整数倍。 相位差为 的整数倍。 简谐振动除用余弦函数形式表达外，还可以用正弦函数表达。
两个同频率简谐振动的相位差： 0 20超前10 0 20落后10 =（2n1） 反相 =2n 同相
1.2 简谐振动的矢量图表示法 复平面上任意一点对应一个 矢量，因此，可用一个旋转 矢量来描述简谐振动。 是模为 A，幅角为 的矢量。 1.2 简谐振动的矢量图表示法 复平面上任意一点对应一个 矢量，因此，可用一个旋转 矢量来描述简谐振动。 是模为 A，幅角为 的矢量。 它以角频率 ，从初始幅角 出发绕原点匀速旋转。 矢量作圆周运动，而投影点作简谐振动。
旋转矢量图法的用途: 我们也可以用一个复数 表达简谐振动： 振幅是复数的模，相位为复数的幅角。 位移 是复数的实部。 我们也可以用一个复数 表达简谐振动： 振幅是复数的模，相位为复数的幅角。 位移 是复数的实部。 旋转矢量图法的用途: 1、利用旋转矢量制作振动曲线； 2、已知振动曲线或初始条件求初相； 3、比较两振动的位相差。
结论 1.3 简谐振动的动力学方程 简谐振动的动力学方程 弹性力 其解： 质点所受的外力与对平衡位置的位移成正比 1.3 简谐振动的动力学方程 简谐振动的动力学方程 弹性力 其解： 结论 质点所受的外力与对平衡位置的位移成正比 且反向，或质点的势能与位移（角位移）的 平方成正比的运动，就是简谐振动。这种振 动系统称为谐振子。 形成简谐振动的两个条件是弹性力和惯性。
数学上能严格证明它的唯一可能解 是二阶微分方程解的积分常数， 可以从初始条件决定 简谐振动的速度和加速度： 称为速度振幅；速度比位移的相位超前 称为加速度振幅； 加速度比位移的相位超前（或落后）
二阶微分方程的初始条件决定振幅和初相位 已知 式中 是初始的位移， 是初速度。 由此可得出：
由初始条件求解振动方程 1.找平衡位置; 2.偏离后求合力(力矩); 3.由力学规律列方程; 4.写为标准形式. j值取舍：
例1. 重物m悬挂在弹簧k的下端，求振动圆频率。 解：平衡位置: o x 偏离x:
弹簧并联 x 弹簧串联 k1 x O k2 平衡位置O，偏离x， 有 x= x1+x2 及 k1x1= k2x2= kx 解得等效劲度系数
1.4 两个简谐振动的实例 单摆 当 时 结论 在角位移很小的时候，单摆的 振动是简谐振动。角频率 、振 动的周期分别为：
复摆（物理摆） 为m绕O点转动的转动惯量。 当 时 总结：复摆的角谐振动方程：
总结： 复摆的角谐振动方程： 单摆的角谐振动方程： 振动的角频率、周期完全由振动 系统本身来决定。
例2：已知图中ω0=17.5/s,t=0时右偏0.1m, v0=2.4m/s, 方向向左，求振动方程。 o x 解：1.选右为正方向, x0=0.1m, v0=-2.4m/s 振动方程: 2.若选向左为正方向，则 x0=-0.1m, v0=2.4 m/s 振动方程: 与坐标有关！
1.5 简谐振动的能量 简谐振动的动能： 以水平的弹簧振子为例 简谐振动的势能：
简谐振动的总能量： 弹性力是保守力, 总机械能守恒，即总能量不随时间变化。
求出动能的时间平均值: 求出势能的时间平均值:
结论： 简谐振动的特点 * 弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且等于 总机械能的一半 * 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比 * 振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还反映 了振动系统总能量的大小及振动的强度。 这些结论同样适用于任何简谐振动。 简谐振动的特点 动力学方程： 振动方程: 机械能守恒:
§6.1 简谐振动 1.1 简谐振动的描述 1.2 简谐振动的矢量图表示法 1.3 简谐振动的动力学方程 1.4 两个简谐振动的实例 §6.1 简谐振动 1.1 简谐振动的描述 1.2 简谐振动的矢量图表示法 1.3 简谐振动的动力学方程 1.4 两个简谐振动的实例 1.5 简谐振动的能量 作业：P176 6-2; P177 6- 4, 6- 5，6-7； P178 6-13
附录一：线性微分方程 解的存在和唯一性定理 [解的存在和唯一性定理] 如果a0(x)，a1(x)，…, an(x)和R(x)在区间(x0-, x0+) (>0)内连续,且a0(x)≠0,那么对任意给定的初始条件: 上述方程存在唯一解:
附录二： 二阶齐次常系数微分方程的通解 其中，p和q为常数，y为x的函数（ ） 设r1和r2分别为方程： 的两个根
微分方程 的通解 1、 （实数） 2、 （实数） 3、 ，
习题6-3：边长 、密度 的木 块浮在大水槽的表面上，今把木块完全压入水 中，然后放手，如不计水对木块的阻力，问木 块将如何运动？ 解：选水面上一点O为坐标原点；平衡时，木块浮在 水面，木块上Q点与O 重合。其顶部至水面距 离为 。 木块的运动是平动，所以 可用它上面任一点来描述， 现在我们选Q点来描述木 块的运动。Q不一定是质 心，但整体的平动可用Q 作代表点。
由题意： 设木块横截面积为S， 根据阿基米德定律, 平衡时： 任一时刻 OQ =x，木块受力 有重力和浮力不相等，其合 力为做简谐振动的恢复力， 称为准弹性力。
设质心与Q的距离为 , 质心的位置 。 其动力学方程即为质心的运动方程： 将质心坐标代入可知从 质心运动过渡到刚体上 任一点平动是等价的。 木块简谐振动 的动力学方程：
得木块的运动方程： 其中固有角频率： 由初始条件：将木块完全压入水中 所以： 舍去：