1 函数的微分 微分的定义 微分的几何意义 基本初等函数 的微分公式与 微分的运算法则 微分在近似计算中的应用 微分的近似计算 误差估计 基本初等函数的微分公式 和、差、积、商的微分法则 复合函数的微分法则.

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第二章 导数与微分 主讲人:张少强 Tianjin Normal University 计算机与信息工程学院.
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高等数学( XJD ) 第二章 导数与微分 返回 高等数学( XAUAT ) 高等数学( XJD ) 求导法则 基本公式 导 数 导 数 微 分微 分 微 分微 分 求导方法 高阶导数 微分法则 导数与微分关系图导数与微分关系图.
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、微分公式及微分法则 四、微分在近似计算中的应用 五、小结 思考题.
第一节 不定积分的概念及其 计算法概述 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质及简单计算 四、小结.
第五节 函数的微分 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运算 法则 四、微分形式不变性 五、微分在近似计算中的应用 六、小结.
第二章 导数与微分 习题课 主要内容 典型例题 测验题. 求 导 法 则求 导 法 则 求 导 法 则求 导 法 则 基本公式 导 数 导 数 微 分微 分 微 分微 分 高阶导数 高阶微分 一、主要内容.
目录 上页 下页 返回 结束 习题课 一、导数和微分的概念及应用 二、导数和微分的求法 导数与微分 第二章.
一、问题的提出 实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量. 再例如, 既容易计算又是较好的近似值 问题 : 这个线性函数 ( 改变量的主要部分 ) 是否 所有函数的改变量都有 ? 它是什么 ? 如何求 ?
第四节 复合函数求导 法则及其应用 一、复合函数求导法则 二、初等函数的求导问题 三、一阶微分的形式不变性 四、隐函数的导数 五、对数求导法 六、参数形式的函数的求导公式.
第三章 微积分学的创始人 : 德国数学家 Leibniz 微分学 导数描述函数变化快慢 --- 变化率 --- 切线 斜率 --- 相对误差 微分 描述函数变化程度 --- 函数值的增量 --- 绝对误差 都是描述物质运动的工具 ( 从微观上研究函数 ) 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家 Fermat.
1 主要内容 : 1. 微分的概念. 2. 微分的几何意义. 3. 微分的运算 4. 微分在近似计算中的应用 2.5 微分.
一、问题提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、 微分的求解 六、 微分的应用 七、 小结.
1 大学数学教研室 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分 2016年8月19日4时39分.
2.8 函数的微分 1 微分的定义 2 微分的几何意义 3 微分公式与微分运算法则 4 微分在近似计算中的应用.
第八章 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个方程所确定的隐函数 及其导数 隐函数的微分法.
第七节 函数的微分 一 、微分 概念 二、微分的几何意义 三、 基本初等函数的微分公 式与 微分运算法则 四 、小结.
1 第二节 微 分 § 微分概念 § 微分公式和运算法则 § 高阶微分 § 微分在近似计算中的应用举例 误差估计.
§5 微分. 是 x 的函数. 如果给边长 x 一个增量 的线性部分 和 的高阶部分 ( ) 2. 因 一、微分的概念 由两部分组成 : S = x 2 先考察一个具体问题. 设一边长为 x 的正方形, 相应地正方形面积的增量 它的面积.
§3.1 导数引例 一、瞬时速度问题 一物体作直线变速运动,走过的距离 S 与时间 t 的关 系为 极限 存在, 该极限就是物体在.
第三章 导数与微分 第二节 求导法则 第三节 微分及其在近似计算中的应用 微分及其在近似计算中的应用 第一节 导数的概念.
第 4 章 不定积分 4.1 不定积分的概念与基本积分公式 4.2 换元积分法 4.3 分部积分法.
复习 1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法 极坐标方程求导 转化 成立的条件?
一、会求多元复合函数一阶偏导数 多元复合函数的求导公式 学习要求: 二、了解全微分形式的不变性.
2.6 隐函数微分法 第二章 第二章 二、高阶导数 一、隐式定义的函数 三、可微函数的有理幂. 一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数, 由 表示的函数, 称为显函数. 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数, 但此隐函数不能显化. 函数为隐函数. 则称此 隐函数求导方法.
第十二章 第二节 一元函数 y = f (x) 的微分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对二元函数的全增量是否也有类似这样的性质? 全微分.
5.4 微 分 一、微分概念 二、微分的运算法则与公式 三、微分在近似计算上的应用. 引例 一块正方形金属片受热后其边长 x 由 x 0 变到 x 0  x  考查此薄片的面积 A 的改变情况  因为 A  x 2  所以金属片面 积的改变量为  A  (x 0 
高等数学 B ( 1 ) 微分概念及计算. 高等数学 B ( 1 ) 一、微分的概念 在许多实际问题中,我们不仅要知道由自变量 引起的函数变化的快慢程度问题,而且还要了解 函数在某一点当自变量取一个微小改变 量 △ x 时,函数取的相应的改变量 △ y 的大小, 计算△ y 的精确值一般比较繁。先看下面的问题.
§5 微分. 一 问题的提出 1 面积问题 设有一边长为 的正方形 2 自由落体问题 二 微分的定义 1 定义.
2.5 函数的微分 一、问题的提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、微分的求法 六、小结.
§1 导数的概念 §1 导数的概念 §2 求导法则 §2 求导法则 §3 参变量函数的导数 §3 参变量函数的导数 §4 高阶导数 §4 高阶导数 §5 微分§5 微分.
§1 导数的概念 §2 求导法则 §3 参变量函数的导数 §4 高阶导数 §5 微分. 第五章 导数与微分.
第 2 章 导数与微分 1.1 导数的概念 1.2 导数的运算 1.3 微分 结束 前页 结束 后页 引出导数概念的实例 例 1 平面曲线的切线斜率 曲线 的图像如图所示, 在曲线上任取两点 和 ,作割线 ,割线的斜率为 2.1 导数的概念.
第二章 导数与微分 一. 内 容 要 点 二. 重 点 难 点 三. 主 要 内 容 四. 例 题与习题.
§1. 导数的概念 1. 什么是导数(值)?如何表示? 2. 导数的几何意义? 3. 函数可导与连续的关系?(了解) §2. 导数的基本运算法则 反函数的求导法则? §3. 导数的基本公式.
第二章 导数与微分. 二、 微分的几何意义 三、微分在近似计算中的应用 一、 微分的定义 2.3 微 分.
全微分 教学目的:全微分的有关概念和意义 教学重点:全微分的计算和应用 教学难点:全微分应用于近似计算.
2.3 函数的微分. 四川财经职业学院 课前复习 高阶导数的定义和计算方法。 作业解析:
第三节 微分 3.1 、微分的概念 3.2 、微分的计算 3.3 、微分的应用. 一、问题的提出 实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量.
第二讲:连续、导数、微分 1 函数的连续性 2 导数的概念 3 函数微分 (1) (2) (3)
第二章 导数与微分 项目三 高阶导数 项目二 函数的求导方法 项目一 导数的概念 模块一 导数. 项目一 导数的概念 一、 导数的定义 二、 可导与连续的关系 三、 基本初等函数的导数.
第二节 微积分基本定理 一、积分上限函数及其导数 二、积分上限函数求导法则 三、微积分基本公式.
恰当方程(全微分方程) 一、概念 二、全微分方程的解法.
一、原函数与不定积分 二、不定积分的几何意义 三、基本积分公式及积分法则 四、牛顿—莱布尼兹公式 五、小结
第四章 函数的积分学 第六节 微积分的基本公式 一、变上限定积分 二、微积分的基本公式.
§5.3 定积分的换元法 和分部积分法 一、 定积分的换元法 二、 定积分的分部积分法 三、 小结、作业.
第5章 定积分及其应用 基本要求 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法
第三节 函数的求导法则 一 函数的四则运算的微分法则 二 反函数的微分法则 三 复合函数的微分法则及微分 形式不变性 四 微分法小结.
高等数学 第三十四讲 函数的微分 主讲教师:陈殿友 总课时: 128.
第五节 函数的微分 一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用 第二章
3.8 复合函数的导数 [法则4] 如果函数y=f(u)对u可导,函数u=g(x)对x可导,
§5 微分及其应用 一、微分的概念 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量..
第二章 导数与微分 第二节 函数的微分法 一、导数的四则运算 二、复合函数的微分法.
全 微 分 欧阳顺湘 北京师范大学珠海分校
第三章 导数与微分 习 题 课 主要内容 典型例题.
2-7、函数的微分 教学要求 教学要点.
§5 微分及其应用 一、微分的概念 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量..
第五节 函数的微分 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运算 法则 四、微分在近似计算中的应用 返回.
第三章 导数与微分 第一节 导数的概念 第二节 求导法则 第三节 微分及其在近似计算中的应用.
§3 微分及其运算 一、微分的定义 二、基本初等函数的微分公式与 微分运算法则.
全国高校数学微课程教学设计竞赛 知识点名称: 导数的定义.
导数的基本运算.
§2 求导法则 2.1 求导数的四则运算法则 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和例题 .
Math2-4 内容预告 授 课 内 容 取对数求导法 导数基本公式 高阶导数 同学们好 现在开始上课 Math2-4.
第五节 第二章 函数的微分 一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 *四、微分在估计误差中的应用.
第一章 函数与极限.
第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、基本积分表 四、不定积分的性质 五、小结 思考题.
第三章 函数的微分学 第二节 导数的四则运算法则 一、导数的四则运算 二、偏导数的求法.
学习任务三 偏导数 结合一元函数的导数学习二元函数的偏导数是非常有用的. 要求了解二元函数的偏导数的定义, 掌握二元函数偏导数的计算.
2019/5/20 第三节 高阶导数 1.
第三节 函数的微分 3.1 微分的概念 3.2 微分的计算 3.3 微分的应用.
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1 函数的微分 微分的定义 微分的几何意义 基本初等函数 的微分公式与 微分的运算法则 微分在近似计算中的应用 微分的近似计算 误差估计 基本初等函数的微分公式 和、差、积、商的微分法则 复合函数的微分法则

2 第七节 函数的微分 一. 微分的定义: 1. 实例 —— 函数增量的构成 x0x0 x0x0 函数的增量由两部分构成:

3 2 、微分的定义 设函数 y=f(x) 在某区间内有定义, 区间内,如果函数的增量可表示为 (1)(1) 其中是不依赖于的常数,而是比高阶无穷小, 那么称函数 在点是可微的,而 叫做函数 相应于自变量增量  x 的微分, 在点 记作 dy ,即: 及在这定义

4 设函数 在点 可微, 则有 (1) 成立,即 等式两端除以 因此, 如果函数 在点可微,则在点 也一定可导, 且 3 、问题:函数可微的条件是什么? 于是, 当时, 由上式就得到 根据极限与无穷小的关系, 上式可写为 反之, 如果在存在, 可导, 即

5 则 故上式相当于 (1) 式, 在点 可微。 则 4. 函数可微的充要条件: 如函数的微分为 显然,函数的微分 与和有关。 函数在任意点的微分, 称为函数的微分, 记作 即

6 5 、微分的几何意义 x y M0M0 N P Q x0x0 T O 当 很小时,

7 例 1 求函数 解 函数 例 2 求函数 解 先求函数在任意点的微分

8 通常把自变量的增量称为自变量的微分. 记作 即 则函数 的微分又可记作: 这表明, 函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数. 因此, 导数也叫 “ 微商 ”. 导数(微商)即微分之商。

9 二. 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 1. 基本初等函数的微分公式 导数公式 微分公式

10 2. 函数的和、差、积、商的微分法则

11 函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则 3. 复合函数的微分法则 —— 微分公式的形式不变性。 由此可见,无论是自变量还是中间变量的可微函数,微分形式 保持不变 。这一性质叫做微分形式不变性。

12 4 、利用微分公式的形式不变性计算 利用微分公式的形式不变性,不仅可以求函数的微分,而且 可以求导数,只要把微分运算进行到只剩自变量的微分,就可以 得到函数的导数。 例3:例3:

13 2 、分别按照 dx 、 dy 合并同类项。 得到 g 1 (x,y) dy = g 2 (x,y) dx 利用微分公式的形式不变性,求隐函数的微分和导数的步骤: 1 、不论自变量还是函数,对方程两边求微分。并将微分进行 到 dy 、 dx 。 3、3、

14 在求复合函数的微分时,也可以不写出中间变量。 解 解 把 2x+1 看成中间变量 u ,则 例4例4 求 例5例5 求

15 例 7 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立。 解:解: 解 应用积的微分法则得: (1) 因为 例6例6 求

16

17 第八节 微分在近似计算中的应用 解: 例1:例1:

18 解: 例2:例2:

19 利用上式可导出工程上常用的几个公式 ( ): 假定很小 在 式中,取 得

20 解 解

21 绝对误差: 相对误差: 在实际工作中,由于某个量的精确值往往是无法知道的, 所以绝对误差和相对误差无法求得。

22 绝对误差 限: 相对误差限:

23 解: 通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差。 例5:例5:

24 小 结: 4 .近似计算公式 5 .工业上常用的几个近似公式 6. 绝对误差与相对误差的定义及计算 1 .微分的定义、公式 2 .微分的几何意义 3 .基本初等函数的微分公式与微分运算法则 作业 : 习题 2-7 , 2-8 ,总习题二 学习指导 例题 2.15,2.16 , 第二章自测题 第二章自测题 作业纸: P16 下次交 P 下次交 P15--16