第十一章 Black-Scholes 模型的 分析  教学目的与要求  理解股票价格对数正态分布的特性。掌 握 Black-Scholes 微分方程的基本概念和推 导 Black-Scholes 公式的过程，掌握公式的 性质，并且能够运用该公式进行定价； 掌握风险中性定价的原理和方法。能够 运用期权定价公式对支付红利的股票期 权进行定价。

 教学重点及难点  一、布莱克 —— 舒尔斯微分方程  ( 一 ) 布莱克 —— 舒尔斯微分方程的推导  ( 二 ) 风险中性定价原理  二、布莱克 —— 舒尔斯期权定价公式  三、有收益资产的期权定价公式  ( 一 ) 有收益资产欧式期权的定价公式  ( 二 ) 有收益资产美式期权的定价

股票期权定价的 Black-Scholes 公 式  在70年代初，Fischer Black、Myron Scholes和Robert Merton取得了一个重 要大的突破，推导出股票期权定价的微 分方程。  他们的工作对市场参与者从事期权对冲 及定价等行为产生了巨大的影响

一、布莱克 —— 舒尔斯微分方程  （一）思路 ：  由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种 不确定性 (dz) 影响，若匹配适当，这种不确定 性就可以相互抵消。  布莱克和舒尔斯建立一个包括一单位衍生证券 单位标的证券多头的投资组合。  若数量适当，标的证券多头盈利 ( 或亏损 ) 总是 会与衍生证券空头的亏损 ( 或盈利 ) 相抵消，因 此在短时间内该投资组合是无风险的。  在无套利机会的情况下，该投资组合在短期内 的收益率一定等于无风险利率。

（二）布莱克 — 舒尔斯微分方程的假设  1 ．证券价格遵循几何布朗运动，即 μ 和 σ 为常 数；  2 ．允许卖空标的证券；  3 ．没有交易费用和税收，所有证券都是完全 可分的；  4 ．在衍生证券有效期内标的证券没有现金收 益支付；  5 ．不存在无风险套利机会；  6 ．证券交易是连续的，价格变动也是连续的；  7 ．在衍生证券有效期内，无风险利率 r 为常数。

( 三 ) 布莱克 —— 舒尔斯微分方程的推导  1 、基础证券的运动模型：  由于假设证券价格 S 遵循几何布朗运动， 因此有：  dS ＝ μSdt 十 σSdz  其在一个小的时间间隔 Δt 中， S 的变化值 ΔS 为：  ΔS=μSΔt+σSΔz…… （ 1 ）

2 、衍生工具的运动模型： 假设 f 是依赖于 S 的衍生证券的价格，则 f 一定是 S 和 t 的函 数，由伊藤引理可得 :

 3 、构建无风险组合：  从上面分析看出， (1) 和 (2) 中的 Δz 相同， 都等于 。  因此只要选择适当的衍生证券和标的证 券的组合就可以消除不确定性。  为了消除 Δz ，我们可以构建一个包括一 单位衍生证券空头和 单位标的证券多 头的组合。  令 Π 代表该投资组合的价值，则：

 4 、无套利定价  由于式 (5) 中不含有 Δz ，该组合的价值在 一个小时间间隔 Δt 后必定没有风险。  因此该组合在 Δt 中的瞬时收益率一定等 于 Δt 中的无风险收益率。  否则的话，套利者就可以通过套利获得 无风险收益率。  因此，在没有套利机会的条件下：  ΔΠ ＝ rΠΔt…… （ 6 ）  把式 (3) 和 (5) 代入（ 6 ）得 :

5 、这就是著名的布菜克 —— 舒尔斯微分分程, 它适用于其价格取决于标的证券价格 S 的所有衍生证券的 定价。

 6 、注意 (1) 组合的风险性  当 S 和 t 变化时， 的值也会变化，因此上 述投资组合的价值并不是永远无风险的， 它只是在一个很短的时间间隔 Δt 中才是 无风险的。  在一个较长时间中，要保持该投资组合 无风险，必须根据于的变化而相应调整 标的证券的数量。  当然，推导布莱克 —— 舒尔斯微分方程 并不要求调整标的证券的数量，因为它 只关心 Δt 中的变化。

 (2) 风险中性定价原理  从式 (7) 可以看出，衍生证券的价值决定 公式中出现的变量为标的证券当前市价 (S) 、时间 (t) 、证券价格的波动率 (σ) 和无 风险利率，它们全都是客观变量，独立 于主观变量 —— 风险收益偏好。  而受制于主观的风险收益偏好的标的证 券预期收益率 μ 并未包括在衍生证券的价 值决定公式中。  这意味着，无论风险收益偏好状态如何， 都不会对 f 的值产生影响。

 在对衍生证券定价时，所有投资者都是 风险中性的。  在所有投资者都是风险中性的条件下， 所有证券的预期收益率都可以等于无风 险利率 r ，这是因为风险中性的投资者并 不需要额外负担外的收益来吸引他们承 担风险。  在风险中性条件下，所有现金流量都可 以通过无风险利率进行贴现求得现值。 这就是风险中性定价原理。

 应该注意的是，风险中性假定仅仅是为 了求解布莱克 —— 舒尔斯微分方程而作 出的人为假定。  但通过这种假定所获得的结论不仅适用 于投资考风险中性情况，也适用于投资 者厌恶风险的所有情况。

二、布莱克 —— 舒尔斯期权定价公式  1973 年，布莱克和舒尔斯成功地求解了他们的 微分方程，从而获得了欧式看涨期权和看跌期 权的精确公式。  在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时 (T 时刻 ) 的期望值为：

 其中， 表示风险中性条件下的期 望值。根据风险中性定价原理，欧 式看涨期权的价格 c 等于将此期望值 按无风险利率进行贴现后的现值， 即：

在风险中性条件下，我们可以用 r 取代下式中的 μ

 N(x) 为标准正态分布变量的累计概率分 布函数 ( 即这个变量小于 x 的概率 ) 。  根据标准正态分布函数特性，有：  N(—x) ＝ 1—N(x) 。

 对 B-S 公式理解  （ 1 ） N(d 2 ) 是在风险中性世界中 S T 大于 X 的概率，即是欧式看涨期权被执行的概 率；  e -r(T-t) XN(d 2 ) 是 X 的风险中性期望值的现值。  SN(d 1 ) ＝ e -r(T-t) S T N(d 1 ) 是 S T 的风险中性期 望值的现值。

 （ 2 ） Δ ＝ N(d 1 ) 是复制交易策略中股票的 数量， SN(d 1 ) 就是股票的市值。  -e -r(T-t) XN(d 2 ) 则是复制交易策略中负债的 价值。  （ 3 ）从金融工程的角度来看，欧式看涨 期权可以分拆成资产或无价值看涨期权 (Asset—or—noting call option) 多头和现金 或无价值看涨期权 (cash—or—nothing option) 空头。

 在标的资产无收益情况下，由于 C ＝ c ， 因此式 (10) 也给出了无收益资产美式看涨 期权的价值。  根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在 平价关系，可以得到无收益资产欧式看 跌期权的定价公式：  p ＝ Xe -r(T-t) N(—d 2 )—SN(—d 1 ) (11)

 由于美式看跌期权与看涨期权之间不存 在严密的平价关系，因此美式看跌期权 的定价还没有得到一个精确的解析公式。  美式看跌期权可以用蒙特卡罗模拟、二 叉树和有限差分三种数值方法以及解析 近似方法求出。

三、有收益资产的期权定价公式  到现在为止，我们一直假设期权的标的 资产没有现金收益。  那么，对于有收益资产，其期权定价公 式是什么呢？  实际上，如果收益可以准确地预测到， 或者说是已知的，那么有收益资产的期 权定价并不复杂。

( 一 ) 有收益资产欧式期权的定价公式  在收益己知情况下，我们可以把标的证券价格 分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的 现值部分和一个有风险部分。  当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支 付现金收益而消失，因此，我们只要用 S 表示 有风险部分的证券价格。  σ 表示风险部分遵循随机过程的波动率。  直接套用公式（ 10 ）和（ 11 ）分别计算出有收 益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。

 当标的证券己知收益的现值为 I 时，我们 只要用 (s—I) 代替式 (10) 和 (11) 中的 S 即可 求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权 的价格。  当标的证券的收益为按连续复利计算的 固定收益率 q( 单位为年 ) 时，将 Se -q(T-t) 代 替式 (10) 和 (11) 中的 S 就可求出支付连续 复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权 的价格。从而使布莱克 —— 舒尔斯的欧 式期权定价公式适用欧式货币期权和股 价指数期权的定价。

对于欧式期货期权，布莱克教授也给出了定价公式：

 例 1  假设当前英镑的即期汇率为 $ ，美 国的无风险连续复利年利率为 7 ％，英国 的无风险连续复利年利率为 10 ％，英镑 汇率遵循几何布朗运动，其波动率为 10 ％，求 6 个月期协议价格为 $ 的英镑 欧式看涨期权价格。  由于英镑会产生无风险收益, 现在的 1 英镑 等于 6 个月后的 e 0.1×0.5 英镑, 而现在的 e - 0.1×0.5 英镑等于 6 个月后的 1 英镑，因此可 令 S ＝ ×e -0.1×0.5, 并代入式（ 10 ）可 求出期权价格：

 通过查累积正态分布函数 N(x) 的数据表， 我们可以得出：  c=1.4268×0.4298—1.4484× ＝ ＝ 3.05 美分  因此， 6 个月期英镑欧式看涨期权价格 为 3.05 美分。

( 二 ) 有收益资产美式期权的定价  1 ．美式看涨朔权  当标的资产有收益时，美式看涨期权就 有提前执行的可能，因此有收益资产美 式期权的定价较为复杂。  布莱克提出了一种近似处理方法。

 方法：  先确定提前执行美式看涨期权是否合理。  若不合理，则按欧式期权处理；  若在 t n 提前执行有可能是合理的，则要分 别计算在 T 时刻和 t n 时刻到期的欧式看涨 期权的价格，然后将二者之中的较大者 作为美式期权的价格。  在大多数情况下，这种近似效果都不错。

例2例2  假设一种 1 年期的美式股票看涨期权，标 的股票在 5 个月和 11 个月后各有一个除权 日，每个除权日的红利期望值为 1.0 元， 标的股票当前的市价为 50 元，期权协议 价格为 50 元，标的股票波动率为每年 30 ％，无风险连续复利年利率为 10 ％，求 该期权的价值。

 首先我们要看看该期权是否应提前执行。根据 前面的结论，美式看涨期权不能提前执行的条 件是：

 在本例中， D 1 =D 2 ＝ 1.0 元。  第一次除权日前不等式右边为  X[1-e -r(t1-t2) ] ＝ 50×(1—e —0.1×0.5 ) ＝  由于 ＞ 1.0 元，因此在第一个除权日前期 权不应当执行.  第二次除权日前不等右边为：  X[1-e -r(T-t2) ] ＝ 50×(1—e —0.1× ) ＝  由于 ＜ 1.0 元，因此在第二个除权日前有 可能提前执行  然后，要比较 1 年期和 11 个月期欧式看涨期权 价格。

 对于 1 年期欧式看涨期权来说，由于红利的现 值为：  1.0×e -0.1× 十 1.0×6 —0.1× ＝ 元  因此 S= ，代入式 (10) 得：  c 12 ＝ N(d 1 ) 一 50e —0.1×1 N(d 2 ) ＝ N(d 1 ) 一 N(d 2 )  其中  d 1 =[1n( ／ 50) 十 (0.1 十 0.09 ／ 2)×1 ]/[0.3×√1]=  d 2 = ×√1 ＝  由于 N(0.3562) ＝  N(0.0562) ＝  c 12 ＝ ×0.6392— × ＝ 元

 对于 11 个月期的欧式看涨期权来说，由于红利 的现值为：  1.0×e -0.1× = 元  因此 S= 元，代入式 (10) 得  c 11 ＝ N(d 1 ) 一 50e —0.1× N(d 2 ) ＝ N(d 1 ) 一 N(d 2 )  其中：  d 1 =[1n( ／ 50) 十 (0.1 十 0.09 ／ 2)× ]/[0.3×√0.9167]=  d 2 = ×√ ＝  c 11 ＝ ×0.6536— ×0.543 ＝  由于 C11 ＞ C12 ，  因此该美式看涨期权价值近似为 元

 2 、美式看跌期权  由于收益虽然使美式看跌期权提前执行 的可能性减小，但仍不排除提前执行的 可能性，因此有收益美式看跌期权的价 值仍不同于欧式看跌期权，它也只能通 过较复杂的数值方法来求出。