微积分学的创始人 : 德国数学家 Leibniz 微分学 导数描述函数变化快慢 微分描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 ( 从微观上研究函数 ) 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 英国数学家 Newton

一、导数概念的引出 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、导数公式 三、二阶导数 第四节 导数与微分 第二章 四、微分

１. 曲线的切线斜率 曲线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T ( 当 时 ) 割线 M N 的斜率 切线 MT 的斜率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、导数概念的引出

２. 变速直线运动的瞬时速度 设质点于时刻 t 在直线上的位置的坐标为 s, s = s ( t ), 反映 了该质点的运动规律. 若令 t→t 0, 极限值 就精确地反映了质点在 时刻 t 0 这一瞬间运动的快慢程度, 称为 t 0 时刻的瞬时速度. 在 t 0 到 t 这样一段时间间隔内的平均速度 经过的路程 所用的时间 比值称为匀速运动的速度, 如果质点作变速直线运动, 如何计算它的速度呢 ? 比值 = =

两个问题的共性 : 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限. 类似问题还有 : 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义２. ７ 设函数 在点 存在, 并称此极限为 记作 : 即 则称函数 若 的某邻域内有定义, 在点 处可导, 在点 的导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

运动质点的位置函数 在 时刻的瞬时速度 曲线 在 M 点处的切线斜率 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若上述极限不存在, 在点 不可导. 若 也称 在 若函数在开区间 I 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作 : 就说函数 就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

函数的可导性与连续性的关系 注意 : 函数在点 x 连续未必可导. 反例 : 在 x = 0 处连续, 但不可导. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1 ） 常数函数的导数 证:证: 2 ）. 幂函数的导数 证:证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、导数公式

说明： 对一般幂函数 ( 为常数 ) 例 2 如， 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3 ）正弦函数的导数 证:证: 即 类似可证得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

４）对数函数的导数 证:证: 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、二阶导数 速度 即 加速度 即 引例：变速直线运动 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义. 若函数的导数 可导, 或即 或 类似地, 二阶导数的导数称为三阶导数, 阶导数的导数称为 n 阶导数, 或 的二阶导数, 记作 的导数为 依次类推, 分别记作 则称 机动 目录 上页 下页 返回 结束

四、微分 引例 : 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少 ? 设薄片边长为 x, 面积为 A, 则 面积的增量为 关于△ x 的 线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在当 x 在 取 得增量 时,时, 变到 边长由 其 机动 目录 上页 下页 返回 结束

( 其中 A 是与 Δx 无关的常数 ), 则称函数在点 可微 并且称 AΔx 为函数 y = f ( x ) 在点 处相应于自变量增量 Δx 的微分, 记作 微分的定义 定义 设函数在某区间内有定义, x 0 及 x 0 +Δx 在此区间内, 如果函数的增量 可表示为

如果 y = f ( x ) 在区间 ( a, b ) 内的每一点都可微, 则 称 f ( x ) 是区间 ( a, b ) 内的可微函数. 函数 y = f ( x ) 在任意点 x 的微分称为函数的微分, 记作 d y 或 d f (x), 即 由于 Δx = dx, 所以 从而有 因此, 导数也称为微商. 可以把它分离 而看作分式. 函数的微分

微分的几何意义 当 很小时, 则有 从而 导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 自变量的微分, 记作 记 机动 目录 上页 下页 返回 结束

微分运算法则 : 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.

例 求函数当时的微分

内容小结 1. 导数的实质 : 2. 导数的几何意义 : 3. 可导必连续, 但连续不一定可导 ; 4. 已学求导公式 : 增量比的极限 ; 切线的斜率 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 逐阶求导法 5. 二阶导数的求法： 6. 微分 :

思考与练习 区别 : 是函数, 是数值 ; 联系 : 注意 : 有什么区别与联系 ? ？ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数 在某点 处的导数 与导函数 设

求双曲线 在点 处的切线和法线方程 解 所求曲线的斜率为 曲线的切线为 即 曲线在这一点的法线方程为

牛顿 (1642 – 1727) 伟大的英国数学家, 物理学家, 天文 学家和自然科学家. 他在数学上的卓越 贡献是创立了微积分 年他提出正 流数 ( 微分 ) 术, 次年又提出反流数 ( 积分 ) 术, 并于 1671 年完成《流数术与无穷级数》一书 (1736 年出版 ). 他 还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.

莱布尼兹 (1646 – 1716) 德国数学家, 哲学家. 他和牛顿同为 微积分的创始人, 他在《学艺》杂志 上发表的几篇有关微积分学的论文中, 有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿. 他还设计了作乘法的计算机, 系统地阐述二进制计 数法, 并把它与中国的八卦联系起来.