第 2 章 导数与微分 1.1 导数的概念 1.2 导数的运算 1.3 微分 结束

前页 结束 后页 引出导数概念的实例 例 1 平面曲线的切线斜率 曲线 的图像如图所示, 在曲线上任取两点 和 ，作割线 ，割线的斜率为 2.1 导数的概念

前页 结束 后页 这里 为割线 MN 的倾角，设 是切线 MT 的倾角， 当 时，点 N 沿曲线趋于点 M 。若上式的 极限存在，记为 k ，则此极限值 k 就是所求切线 MT 的斜率，即

前页 结束 后页 当 趋向于 0 时，如果极限 设某产品的总成本 C 是产量 Q 的函数，即 C=C(Q ) ，当产 量 Q 从 变到 时，总成本相应地改变量为 当产量从 变到 时，总成本的平均变化率 存在，则称此极限是产量为 时总成本的变化率。 例 2 产品总成本的变化率

前页 结束 后页 定义 设 y=f(x) 在点 x 0 的某邻域内有定义， 属于该邻域，记 若 存在，则称其极限值为 y = f (x) 在点 x 0 处的导数，记为 或 导数的概念

前页 结束 后页 导数定义与下面的形式等价： 若 y =f (x) 在 x= x 0 的导数存在，则称 y=f(x) 在点 x 0 处可导，反之称 y = f (x) 在 x = x 0 不可导，此时意 味着不存在. 函数的可导性与函数的连续性的概念 都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映 了函数在一点处变化 ( 增大或减小 ) 的快慢.

前页 结束 后页 三、左导数与右导数 左导数 : 右导数 : 显然可以用下面的形式来定义左、右导数 定理 3.1 y = f (x) 在 x =x 0 可导的充分必要条件是 y = f (x) 在 x=x 0 的左、右导数存在且相等.

前页 结束 后页 三、导数的几何意义 当自变量 从变化到 时，曲线 y=f(x) 上的点由 变到 此时 为割线两端点 M 0 ， M 的横坐标之差，而 则为 M 0 ， M 的纵坐标之差， 所以 即为过 M 0 ， M 两点的 割线的斜率. M0M0 M

前页 结束 后页 曲线 y = f (x) 在点 M 0 处的切线即为割线 M 0 M 当 M 沿曲 线 y=f(x) 无限接近 时的极限位置 M 0 P ，因而当 时，割线斜率的极限值就是切线的斜率. 即： 所以，导数 的几何意义 是曲线 y = f (x) 在点 M 0 (x 0,f(x 0 )) 处的切线斜率. M0M0 M

前页 结束 后页 设函数 y=f(x) 在点处可导，则曲线 y=f(x) 在点 处的切线方程为： 而当 时, 曲线 在 的切线方程为 ( 即法线平行 y 轴 ). 当 时, 曲线 在 的法线方程为 而当 时, 曲线 在 的法线方程为

前页 结束 后页 例 3 求函数 的导数 解 : (1) 求增量 : (2) 算比值 : (3) 取极限 : 同理可得 : 特别地,.

前页 结束 后页 例 4 求曲线 在点 处的切线与法线方程. 解 : 因为, 由导数几何意义, 曲线 在点 的切线与法线的斜率分别为 : 于是所求的切线方程为 : 即 法线方程为 : 即

前页 结束 后页 可导性与连续性的关系 定理 2 若函数 y = f (x) 在点 x 0 处可导， 则 f(x) 在点 x 0 处连续. 证 因为 f (x) 在点 x 0 处可导，故有 根据函数极限与无穷小的关系, 可得 : 两端乘以 得 : 由此可见 : 即函数 y = f (x) 在点 x 0 处连续. 证毕.

前页 结束 后页 例 5 证明函数 在 x=0 处连续但不可导. 证 因为 所以 在 x =0 连续 而 即函数 在 x=0 处左右导数不相等, 从而在 x=0 不可导. 由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要 条件，但不是充分条件 即可导定连续, 连续不一定可导.

前页 结束 后页 设函数 u( x ) 与 v( x ) 在点 x 处均可导，则 : 定理一 函数的和、差、积、商的求导法则 2.2 导数的运算 特别地, 如果 可得公式

前页 结束 后页 注：法则（ 1 ）（ 2 ）均可推广到有限 多个可导函数的情形 例：设 u=u(x),v=v(x),w=w(x) 在点 x 处均 可导，则

前页 结束 后页 解： 例 2 设 解： 例1例1

前页 结束 后页 解： 即 类似可得 例 3 求 y = tanx 的导数

前页 结束 后页 解： 即 类似可得 例 4 求 y = secx 的导数

前页 结束 后页 基本导数公式表 基本初等函数的导数

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前页 结束 后页 解： 例5例5

前页 结束 后页 定理二 如果函数在 x 处可导，而函数 y=f(u) 在对应的 u 处可导，那么复合函数 在 x 处可导，且有 或 对于多次复合的函数，其求导公式类似， 此法则也称链导法 注： 复合函数的导数

前页 结束 后页 例7例7 解： 例6例6

前页 结束 后页 定理三如果单调连续函数在某区间内可导， 则它的反函数 y=f(x) 在对应的区间 内可导，且有 或 证 因为 的反函数 上式两边对 x 求导得或 或 反函数的求导法则

前页 结束 后页 解： y = arcsinx 是 x = siny 的反函数 因此在对应的区间（ -1 ， 1 ）内有 即 同理 求函数 y = arcsinx 的导数 例8例8

前页 结束 后页 1. 隐函数的导数 例 9 求方程 所确定的函数的导数 解： 方程两端对 x 求导得 隐函数和由参数方程确定的函数的导数 隐函数即是由 所确定的函数，其求导方法就是把 y 看成 x 的函数，方程两端同时对 x 求导，然后解出 。 即

前页 结束 后页 例 10 解： 两边对 x 求导得

前页 结束 后页 解一 例 11

前页 结束 后页 两边对 x 求导，由链导法有 解二称为对数求导法，可用来求幂指函数和多个因 子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导 注： 解二

前页 结束 后页 解：将函数取自然对数得 两边对 x 求导得 例 12

前页 结束 后页 且设均可导, 具有单值连续 反函数 ，则参数方程确定的函数可看成 与 复合而成的函数，根据求导法则有： 求得 y 对 x 的导数 对参数方程所确定的函数 y=f(x), 可利用参数方程直接 此即参数方程所确定函数的求导公式 2. 参数方程所确定的函数的导数 变量 y 与 x 之间的函数关系有时是由参数方程 确定的，其中 t 称为参数

前页 结束 后页 解：曲线上对应 t =1 的点（ x, y) 为（ 0,0 ）, 曲线 t =1 在处的切线斜率为 于是所求的切线方程为 y = － x 求曲线 在 t =1 处的切线方程 例 13

前页 结束 后页 即或 记作 或 二阶导数：如果函数 f(x) 的导函数仍是 x 的可导 函数，就称的导数为 f(x) 的二阶导数， n 阶导数： 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数 高阶导数的计算：运用导数运算法则与基本公式将函 数逐次求导 高阶导数

前页 结束 后页 解： 特别地 例 15 解： …… 即 同理 例 14

前页 结束 后页 解 如图，正方形金属片的面 积 A 与边长 x 的函数关系 为 A = x 2, 受热后当边长由 x 0 伸长到 x 0 + 时, 面积 A 相应的增量为 微分的概念 例1例1 设有一个边长为 x 0 的正方形金属片，受热后它的 边长伸长了 ，问其面积增加了多少？ 2.3 微分

前页 结束 后页 的线性函数 从上式可以看出， 这表明 这部分就是面积 的增量的主要部分（线性主部） 所以上式可写成

前页 结束 后页 可以表示为 定义 设函数在点的某邻域内有定义， 处的增量 在点 如果函数 于是, （ 2.3.1) 式可写成 处的微分， 可微， 称为 在点 处 高阶的无穷小，则称函数 时 其中 A 是与 无关的常数， 是当 比 记为

前页 结束 后页 由微分定义，函数 f (x) 在点 x 0 处可微与可导等价， 且, 因而 在点 x 0 处的微分可写成 于是函数 通常把 记为 ，称自变量的微分， 上式两端同除以自变量的微分，得 因此导数也称为微商． 可微函数：如果函数在区间 (a, b) 内每一点都可微， 则称该函数在 (a, b) 内可微。 f (x) 在点 x 0 处的微分又可写成 dx f(x) 在 (a,b) 内任一点 x 处的微分记为

前页 结束 后页 解： 例 2 求函数 y=x 2 在 x=1, 时的改变量和微分。 于是 面积的微分为 解：面积的增量 面积的增量与微分． 当半径增大 例3例3 半径为 r 的圆的面积 时，求 在点 处，

前页 结束 后页 微分的几何意义 当自变量 x 有增量 时， 切线 MT 的纵坐标相应地有增量 因此，微分 几何上表示当 x 有增量 时，曲线 在对应点 处的切线的纵坐标的增量． 用 近似代替 就是用 QP 近似代替 QN ，并且 设函数 y = f (x) 的图形如下图所示. 过曲线 y = f (x) 上一点 M(x,y) 处作切线 MT, 设 MT 的倾角为

前页 结束 后页 微分的运算法则 1. 微分的基本公式：

前页 结束 后页 续前表

前页 结束 后页 2. 微分的四则运算法则 设 u=u(x) ， v=v(x) 均可微 ，则 （ C 为常数）；

前页 结束 后页 3 ．复合函数的微分法则 都是可导函数，则 设函数 的微分为 复合函数 利用微分形式不变性，可以计算复合函数和隐 函数的微分. 这就是一阶微分形式不变性. 可见，若 y=f(u) 可微，不论 u 是自变量还是中间变量， 总有 而

前页 结束 后页 解： 解：对方程两边求导，得 的导数 与微分 例 5 求由方程 所确定的隐函数 即导数为 微分为 例4例4

前页 结束 后页 由以上讨论可以看出，微分与导数虽是两个 不同的概念，但却紧密相关，求出了导数便立即 可得微分，求出了微分亦可得导数，因此，通常 把函数的导数与微分的运算统称为微分法． 在高等数学中，把研究导数和微分的有关内 容称为微分学．

前页 结束 后页 微分在近似计算中的应用 或写成 （1）（1） 上式中令 （2）（2） ，则 特别地, 当 x 0 =0 ， 很小时, 有 （3）（3） 公式 (1) (2) (3) 可用来求函数 f(x) 的近似值。 ，且 很小时，我们有近似公式 在 x 0 点的导数由微分的定义可知，当函数

前页 结束 后页 注： 在求 的近似值时，要选择适当的 ，使 ， 容易求得，且 较小． 应用（ 3 ）式可以推得一些常用的近似公式, 当 很小时, 有 (1) （ｘ用弧度作单位） (3) (4) (5) (2) ( ｘ用弧度作单位）

前页 结束 后页 例6例6 则 解 : 设 取 ， 于是由（ 2 ）式得 即