二项式定理 概念 公式 称为二项式定理. 二项式 系数 各项的系数 C n r (r = 0,1,2 , … , n) . 二项式 通项 C n r a n - r b r 是展开式中的第 项,可记作 T r + 1 = C n r ·a n - r ·b r. 二项展 开式 Cn0an+Cn1·an-1·b+…+Cnran-r·br+…+Cnn·bn.Cn0an+Cn1·an-1·b+…+Cnran-r·br+…+Cnn·bn. 备注:在二项式定理中,如果令 a = 1 , b = x , 则得到公式 (1 + x) n =. (a + b) n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + … + C n r ·a n - r b r + … + C n n ·b n r+1r+1 1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn
[ 题后感悟 ] 方法二较为简单,在展开二项式之前根据二项 式的结构特征进行适当变形,可使展开多项式的过程简化.记 准、记熟二项式 (a + b) n 的展开式,是解答好与二项式定理有关 问题的前提,对较复杂的二项式,有时可先化简再展开,会更 简便.
解析: (1)(a + 2b) 4 = C 4 0 a 4 + C 4 1 a 3 (2b) + C 4 2 a 2 (2b) 2 + C 4 3 a(2b) 3 + C 4 4 (2b) 4 = a 4 + 8a 3 b + 24a 2 b 2 + 32ab 3 + 16b 4.
化简: C n 0 (x + 1) n - C n 1 (x + 1) n - 1 + … + ( - 1) k C n k (x + 1) n - k + … + ( - 1) n C n n. 由题目可获取以下主要信息: ①展开式是关于 x + 1 的单项式; ② x + 1 的指数最高次为 n ,依次递减至 0 ,且每项的指数等于 对应的组合数的下标与上标的差. 解答本题可先把 x + 1 看成一个整体,分析结构形式,逆用二 项式定理求解.
[ 解题过程 ] 原式= C n 0 (x + 1) n + C n 1 (x + 1) n - 1 · ( - 1) + C n 2 (x + 1) n - 2 · ( - 1) 2 + … + C n k (x + 1) n - k · ( - 1) k + … + C n n · ( - 1) n = [(x + 1) + ( - 1)] n = x n. [ 题后感悟 ] 本题是二项式定理的逆用,需要熟悉二项展开 式的每个单项式的结构,若对公式还不很熟悉,可先把 x + 1 换元 为 a ,再分析结构形式,则变得简单些.
2.(1) 设 n 为自然数,化简 C n 0 · 2 n - C n 1 · 2 n - 1 + … + ( - 1) k · C n k · 2 n - k + … + ( - 1) n · C n n. (2) 设 S = (x - 1) 4 + 4(x - 1) 3 + 6(x - 1) 2 + 4(x - 1) + 1 ,它等于 ( ) A . (x - 2) 4 B . (x - 1) 4 C . x 4 D . (x + 1) 4
解析: (1) 原式= C n 0 · 2 n · 1 0 - C n 1 2 n - 1 · 1 1 + … + ( - 1) k · C n k · 2 n - k + … + ( - 1) n · C n n · 2 0 = (2 - 1) n = 1. (2)S = [(x - 1) + 1] 4 = x 4. 答案: (2)C
答案: D
2 . (2011 · 福建高考 )(1 + 2x) 5 的展开式中, x 2 的系数等于 ( ) A . 80 B . 40 C . 20 D . 10 解析: (1 + 2x) 5 的第 r + 1 项为 T r + 1 = C 5 r (2x) r = 2 r C 5 r x r ,令 r = 2 ,得 x 2 的系数为 2 2 · C 5 2 = 40. 答案: B
答案: 17
先根据二项式系数比求出 n ,写出通项公式,再根据指定项 的特点求解.
[ 规范解答 ] (1) 依题意有 C n 4 ∶ C n 2 = 14 ∶ 3 , 化简得 (n - 2) · (n - 3) = 56 , 解之得 n = 10 或 n =- 5( 不合题意,舍去 ) . ∴ n 的值为 10.4 分
[ 题后感悟 ] 求二项展开式特定项的一般步骤:
(1) 用二项式定理证明: 3 4n + 2 + 5 2n + 1 能被 14 整除; (2) 求 除以 100 的余数. [ 策略点睛 ]
[ 解题过程 ] (1) 证明:对被除式进行合理变形,把它写成恰 当的二项式形式,使其展开后的每一项都含有除式的因式,即 可证得整除. 3 4n + 2 + 5 2n + 1 = 9 2n + 1 + 5 2n + 1 = [(9 + 5) - 5] 2n + 1 + 5 2n + 1 = (14 - 5) 2n + 1 + 5 2n + 1 = 14 2n + 1 - C 2n + 1 1 × 14 2n × 5 + C 2n + 1 2 × 14 2n - 1 × 5 2 - … + C 2n + 1 2n × 14 × 5 2n - C 2n + 1 2n + 1 × 5 2n + 1 + 5 2n + 1 = 14(14 2n - C 2n + 1 1 × 14 2n - 1 × 5 + C 2n + 1 2 × 14 2n - 2 × 5 2 + … + C 2n + 1 2n × 5 2n ) . 上式是 14 的倍数,能被 14 整除,所以 3 4n + 2 + 5 2n + 1 能被 14 整 除.
(2) 方法一: = (100 - 9) 92 = - C 92 1 × × 9 + C 92 2 × × 9 2 - … - C × 100 × 9 91 + 9 92 ,前面各项均能被 100 整 除,只有末项 9 92 不能被 100 整除,于是求 9 92 除以 100 的余数. ∵ 9 92 = (10 - 1) 92 = - C 92 1 × + C 92 2 × - … + C × 10 2 - C × 10 + ( - 1) 92 = - C 92 1 × + C 92 2 × - … + C × 10 2 - 920 + 1 = (10 92 - C 92 1 × + C 92 2 × - … + C × 10 2 - 1 000) + 81 , ∴ 被 100 除的余数为 81 ,即 除以 100 的余数为 81.
方法二: 由 = (90 + 1) 92 = C 92 0 × + C 92 1 × + … + C × 90 2 + C × 90 + 1 , 可知前面各项均能被 100 整除,只有末尾两项不能被 100 整 除,由于 C · 90 + 1 = = + 81 ,故 除以 100 的余数 为 81.
[ 题后感悟 ] (1) 整除性问题或求余数问题的处理方法 ①解决这类问题,必须构造一个与题目条件有关的二项 式. ②用二项式定理处理这类问题,通常把被除数的底数写成 除数 ( 或与除数密切关联的数 ) 与某数的和或差的形式,再用二项 式定理展开,只考虑后面 ( 或者是前面 ) 的几项就可以了. ③要注意余数的范围, a = c · r + b 这式子中 b 为余数, b ∈ [0 , r) , r 是除数,利用二项式定理展开式变形后,若剩余部分是负 数要注意转换.
(2) 利用二项式证明多项式的整除问题 关键是将被除式变形为二项式的形式,使其展开后每一项 均含有除式的因式.若 f(x) , g(x) , h(x) , r(x) 均为多项式,则 ① f(x) = g(x) · h(x) ⇔ f(x) 被 g(x) 整除. ② f(x) = g(x) · h(x) + r(x) ⇒ r(x) 为 g(x) 除 f(x) 后得的余式.
4. 求证: 1 + 3 + 3 2 + … + 3 3n - 1 能被 26 整除 (n 为大于 1 的偶 数 ) .
1 . 正确理解二项式定理 (1) 系数 注意二项式系数 C n k 与展开式中对应项的系数不一定相等, 二项式系数一定为正,而项的系数有时可能为负. (2) 通项 通项 T k + 1 = C n k a n - k b k ,它是 (a + b) n 的展开式的第 k + 1 项,这 里 k = 0,1 , … , n. 它反映出展开式在指数、项数、系数等方面的 内在联系,因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定 项系数.
(3) 二项式定理是一恒等式 对任意的 a , b ,该等式均成立,通过对 a , b 取不同的特值, 常可得到一些给解决某些问题带来方便的特殊等式. [ 特别提醒 ] 二项式 (a + b) n 与 (b + a) n 的展开式的第 k + 1 项是 不同的,在解题时题中给出的二项式的两项是不能随便交换的, 否则会出错误.
2 . 二项展开式的结构特征 (1) 它有 n + 1 项; (2) 各项的次数都等于二项式的次数 n ; (3) 字母 a 按降幂排列,次数由 n 递减到 0 ;字母 b 按升幂排列, 次数由 0 递增到 n ; (4) 二项展开式中,系数 C n k (k = 0,1,2 , … , n) 叫做第 k + 1 项 的二项式系数,它们依次为: C n 0 , C n 1 , C n 2 , … , C n n. 这是一组仅与二项式的次数 n 有关的 n + 1 个组合数,而与 a 、 b 无关.