§2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质 设质量为m的粒子沿x轴运动，势能是V(x)，则薛定谔方程是 定态波函数的形式为 (2)代(1)可得 粒子能量的本征方程 若不作特别说明，有

定理1 设Ψ(x)是方程（3）的解，对应的能量本征值为E，则Ψ*(x) 证明： 薛定谔方程为 两边取复共轭，并注意到 得 即 也是方程 (3)的解，对应的本征值也是E 推论： 假设对应于能量的某个本征值E，方程(3)的解无简并， 则可取为实解。

证明：若 是对应能量E的一个解，则 也是对应能量E的解。因能级无简并，则有 两边再取复共轭得 则 取 则

定理 2 对应于能量的某个本征值E, 总可以找到方程(3) 的一组实解，凡是属于E的任何解，均可表示为 这组实解得线性叠加。 如果Ψ是实解，则将其归入实解集合。 如果Ψ是复解，则Ψ*也是方程(3)的解，对应的本征值也是E。 则它们的线性组合 也是方程(3)的解，对应的本征值也是E。 则 -----------证毕

如Ψ(x)是方程(3)的对应于能量本征值E的解， 则Ψ(-x)也是方程(3)的对应于能量E的解。 定理 3 设V(x) 具有空间反射不变性，即 如Ψ(x)是方程(3)的对应于能量本征值E的解， 则Ψ(-x)也是方程(3)的对应于能量E的解。 证明：当x→-x时， 由于V(x)=V(-x)，则薛定谔方程可化为 ---------证毕

空间反射算符P： 在直角坐标下：r→-r 在球坐标下：r→-r 推论： 若势函数具有空间反射不变性，如果对应于某能量E，方程 (3)的解无简并，则解必有确定的宇称。 证明：由定理(3)，Ψ(x)与Ψ(-x)是同一解，即

偶宇称解 或 奇宇称解 注意：对于能级有简并的情况，能量本征态并不一定具有确定 的宇称。

定理4 设Ψ(x)是方程(3)的一个解，则对应于任何一个能量本征 值E，总可以找到方程(3)的一组解（每个解都有确定的宇称）， 而属于能量本征值E的任何解都可以用它们展开 证明：设Ψ(x)是方程(3)的一个解，如无确定的宇称，则Ψ(-x)也是 方程(3)的一个解，两者对应同一本征值 构造 显然，f(x), g(x)均为方程(3)的解，对应的能量也为E，且有 确定的宇称。 则 -------证毕

定理 5 对阶梯形方位势 V2-V1有限，则能量本征函数及其导数必定是连续的 证明：按方程(3) 在V(x)连续的区域，波函数及其一阶导数连续。 在x~a的邻域，对上述方程两边作积分 得 所以 即波函数的导数在跃变点是连续的，波函数也是连续的

定理 6 ，对于一维粒子，设Ψ1(x)和Ψ2(x)均为方程(3)的属于同一 能量E的解，则 证明：按照假设有 即 积分得 --------证毕

定理 7 设粒子在规则势场V(x)（(V(x)中无奇点)中运动，若存在 束缚态，则必定是非简并的 证明： 设Ψ1和Ψ2是方程(3)的属于能量E的两个束缚态解，则有 在不含波函数节点的区域，有 即 束缚态：粒子局限在有限空间中，在无无穷远处找到粒子的概率 为零。即

§2.2 方势 在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrödinger 方程来处理一类简单的问题——一维定态问题。 这样讨论的意义有： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其它基本原理； （3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论， 量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来； （4）一维问题是处理各种复杂问题的基础。

2.2.1 无限深方势阱， 离散谱 求解 S — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 0 a V(x) I II III 求解 S — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）确定归一化系数 势函数 在阱内(0<x<a), 薛定谔方程为

令 则方程的解为 边界条件： 由 由 得 由(3)，(6)得 即一维无限深势阱中粒子的能量是量子化的，能谱是离散的

波函数为 归一化 则归一化的波函数为 练习：若势函数为 求粒子的能量和本征函数。

讨论 (1) 粒子的最低能量不为零 利用不确定性关系也可求解： 则 (2)波函数的对称性 当n奇数时，波函数为对称的 即

各能级波函数的节点数位n-1 (3) 波函数在整个空间中连续，但其微商在x=0和x=a点不连续

(4)基态动量波函数问题 Pauli求解 表明阱中的动量谱是两个在全实轴上反向运动的单色de Broglie波 叠加而成的驻波。 Landau 做法 谁对？谁错？

仅讨论束缚态(0<E<V0)，从经典力学看，粒子将被限制在阱内运动， 阱外是经典禁区，阱内是经典允许区，但从量子力学则不然。 x -a/2 a/2 V=0 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 2.2.2 有限深对称方势阱问题 仅讨论束缚态(0<E<V0)，从经典力学看，粒子将被限制在阱内运动， 阱外是经典禁区，阱内是经典允许区，但从量子力学则不然。 在经典禁区，能量本征方程为 令 则方程(14)的解具有下列形式：

考虑到束缚态的边界条件： 波函数应取如下的形式 在经典允许区，能量本征方程为 令 方程(17)的解具有如下形式：

考虑到势阱具有空间反射不变性，按照定理4，束缚态能量必有 确定的宇称，因此只能取sinkx, coskx 的形式。 (a) 偶宇称态 由波函数及其导数在边界上的连续性，可得到 由此得到 令 则式(20)可化为

由(15), (18), (21)得到 (22),(23) 组成的超越方程组可用图解法求解. η=ζtanζ η ξ 2 1 O 3π/2

与偶宇称的情况类似，利用波函数的边界条件可得到 (b) 奇宇称态 与偶宇称的情况类似，利用波函数的边界条件可得到 或写成 解(22)，(26)组成的方程组，可确定能量本征值。 π/2 π η 3π/2 O 1 2 ξ η=-ζcotζ

由上面两图可见： 在对称方势阱下，无论V0a2的值多小，方程组 (22)与(23)至少有一个根，即，至少存在一个束缚态(基态)，其宇称 为偶；当V0a2增大时，将出现偶宇称第一激发态、第二激发态、… 奇宇称态与此不同，只当 即 才能出现最低的奇宇称能级。

2.2.3 束缚态与离散谱 束缚态是指粒子被束缚在有限区域内，在无穷远处粒子出现的 概率为零，即， 能量本征态是离散的，下面定性讨论束缚态粒子量子的离散性 能量本征方程 在经典允许区，V(x) < E, 波函数是x的震荡函数(sinkx, coskx),且 E-V(x)越大的地方振动越快。由于Ψ´´与Ψ正负号相反， Ψ总是向 x轴弯曲。(见图a)

在经典禁区，V(x) > E, 波函数是x的指数上升或下降函数。由于 Ψ´´与Ψ同号， Ψ总是背离x轴弯曲，见图(b) x (b) x (a) 在经典禁区，V(x) > E, 波函数是x的指数上升或下降函数。由于 Ψ´´与Ψ同号， Ψ总是背离x轴弯曲，见图(b)

基态： 在x<-a/2区域（经典禁区）， 由于E<V0，当x→-∞，Ψ(x)→0，当x 增加时，Ψ(x)呈指数上升，曲线 上弯。 定性讨论粒子的能量： x -a/2 a/2 V=0 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 基态： 在x<-a/2区域（经典禁区）， 由于E<V0，当x→-∞，Ψ(x)→0，当x 增加时，Ψ(x)呈指数上升，曲线 上弯。 当x=-a/2 后(经典允许区)，由于E>0， 曲线开始下弯，一直延续到x=a/2, 在 x>a/2区（经典禁区），由于E<V0， 曲线又开始上弯。 在保证x=±a/2处波函数光滑连接的条件下，当x→∞时， 一般情况下Ψ(x)→∞, 不能满足束缚态的条件。在V(x)给定 的情况下， Ψ(x)弯曲的情况取决于粒子的能量E的值，只有 当E取某适当值时，在x→∞时Ψ(x)→0，这个适当的E值就是 粒子最低的能量本征值。只要能量稍微偏离此值， Ψ(x)都不 会满足束缚态的条件。可见，除x→±∞外，在x有限的区域 中基态波函数都无节点。

当粒子的能量增加，在|x|>a/2的区域， Ψ(x)的曲率将减小， -a/2 a/2 x 当粒子的能量增加，在|x|>a/2的区域， Ψ(x)的曲率将减小， 但在|x|<a/2的区域， Ψ(x)曲线的震荡将加快，因此有可能当 E 取某个适当值时， Ψ(x)在|x|<a/2的区域经历了一次震荡， 出现一个节点，并且能够在x=-a/2 与波函数eβx，在x=a/2与 波函数e-βx光滑地衔接，此时出现第二个束缚能量本征态 （奇宇称态），它有一个节点，此即第一激发态，相应的能量 即第一激发态能量。

如此继续下去，可以得出：只有当粒子的能量取某些离散值 E1, E2, E3,…时，相应的波函数才满足束缚态的边界条件，这些 能量值就是能量本征值，相应的波函数就是能量本征函数。基态 波函数无节点，激发态的节点数依次增加一个。能量越高的激发 态，波函数震荡越厉害。 x

2.2.4 方势垒的反射与透射 设具有一定能量的粒子沿x轴正方向射向势垒 势垒 经典力学与量子力学关于方势垒反射与透射的不同。 E V0 V0 a -V0 方势垒的反射与透射 E<V0 (b) 方势垒的反射与透射 E >V0 方势阱的反射、透射 与共振 E >0 经典力学与量子力学关于方势垒反射与透射的不同。

(a) E<V0，在势垒外的经典允许区(x<0, x>a)，能量本征方程为 V0 a 假定粒子从左侧入射，则方程(30)的解为 则入射流密度 反射流密度 透射流密度

(b) E<V0，在势垒内部的经典禁区(0< x<a)，能量本征方程为 方程(36)的解为： 由x=0处波函数及其一阶导数连续得

由此可得： 由x=a处波函数及其一阶导数连续得 由此可得：

由(39), (40) 消去A, B得： 消去R得 则

注：双曲函数 则透射系数是

粒子隧穿效应：粒子能穿透比它动能更高的势垒的现象。 反射系数 可以验证 粒子隧穿效应：粒子能穿透比它动能更高的势垒的现象。 0 a V(x) x V0 入射波+反射波 透射波

设βa>>1,则 ，则透射系数可近似为 可见：透射系数灵敏地依赖于粒子的质量m，势垒宽度a，以及 (V0-E)。在一般宏观条件下，T很小。 例如: (1)宏观情形 (2)微观情形

在E >V0的情况下，从(38)可见，只要将β→ik´ 利用 透射系数(44)可以改写成

2.2.5 方势阱的反射、透射与共振 方势阱的反射与透射与方势垒类似，只不过要作变换V0→-V0（ V0 >0） 此时 则透射系数为 可见：当V0=0时， k'=k，则T=1,此时无势阱，无反射； 当V0≠0时， T<0，即粒子有一定的概率被势阱弹回，这完全 是一种量子效应。

对于给定势阱，透射系数随入射粒子能量E的变化关系见下图 T(E) 由(51) 可见： 如E<<V0，则一般T值很小，除非入射粒子的能量 E合适，使得sink'a=0, 此时T=1，无反射，这种现象称为共振 透射。透射条件是 或

物理意义： 入射粒子进入势阱后，碰到两侧阱壁时将发生反射与 透射。如果粒子的能量合适，使它在阱内的波长满足nλ'=2a，则 经过壁各次反射而透射出去的波的相位相同，因而使波相干叠加， 使透射波的波幅大增，从而出现共振透射。 与此相反，当 或 反射最强。 由式(50)、(52)可求出共振能级

a E1 E2 E3 E4 -V0 E<0 E>0 共振能级 无限深方势阱中束缚态 有限深方势阱中束缚态 与共振态

V(x) x O §2.4 一维谐振子 势函数 能量本征方程 理想谐振子是无限深势阱，只存在束缚态，即 引入无量纲参量

则方程(3)可化为 方程(7)的解为 令方程（6）的通解为 代入(6)得： 上述方程式Hermite方程，ξ=0是方程的常点（方程的系数在该 点是解析的），可在ξ=0的邻域用幂级数展开求解

方程（10）是一Hermite方程，其通解为一个无穷级数。在 ξ→∞时，u(ξ)~eξ2, 不满足束缚态的边界条件。为保证其解满足 束缚态边界条件，必须要求u中断为一个多项式。可以证明 方程(10)有有意义解得条件为 因此谐振子的能量为 此即振子的能量本征值。 利用Hermite多项式的正交性公式

Appendix Hermite 方程 令 (2)代入(1)并比较同次幂的系数得 方程(1)的两个线性无关的解为

可证明谐振子的能量本征函数为 系数 归一化 Hermite多项式 如最低的三个能级的波函数为

讨论 (1) 波函数具有确定的宇称 （2）零点能 “能量量子化”和“零点能存在”是量子振子能谱不同于经典 振子能谱的两大特点。而且，“存在零点能”的现象即使在 Planck假设中也是没有表现出来的。这两个特点都是粒子波 动性的体现：前者由于粒子de Broglie波的自身干涉；后者来 源于粒子de Broglie波所固有的不确定性关系，说明动能为零 值的de Broglie波没有什么意义

x -1/α 1/α (3)谐振子在空间的概率分布 基态 当 时 1/α是谐振子的特征长度。按经典力学观点，谐振子只允许在 中运动，而 是经典禁区。 但按照量子力学可计算出在经典禁区粒子出现的概率是

(4) n =1,2, 10时谐振子的概率分布见下图 n=2 n=1 n=0 -1 1  -2 2 -4 4 |10|2  由上图可见： 量子力学中谐振子波函数ψn有 n 个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在 [-a, a] 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。

当质点能量为E时，它被绝对地限制在由下式决定的区间[-a,a]内 在x→x+dx间隔内的粒子出现的几率 Note: 且

例题 1. 荷电 q 的谐振子，受到沿正 x 轴方向外电场  的作用，其势能为： 求能量本征值和本征函数。 解：Schrödinger方程：

进行坐标变换： 则Hamilton量变为： 新坐标下 Schrödinger 方程改写为：

本 征 能 量 本 征 函 数

例题 2. 切割谐振子势能： 求能量本征值和本征函数。 解：Schrödinger方程： 显然，对切割谐振子势能有

易解出： 谐振子的能级 ： 由 x =0 处的边条件： 由 x = 0 处的边条件： 当 k 是偶数时：

所以：

当 k 是奇数时： 所以取 k = 2n+1： 求归一化系数，因为： 所以： 得到：

解出波函数： 归一化系数： 能级：

例题3 求解三维各向同性谐振子，并讨论它的简并情况 解：（1）三维谐振子 Hamilton 量

因此，设能量本征方程的解为： 解得能量本征值为： 如果系统 Hamilton 量可以写成 则必有： 则波函数三方向的分量 分别满足如下三个方程：

简并度 当 N 确定后，能量本征值确定，但是对应同一N值的 n1, n2, n3 有多种不同组合，相应于若干不同量子状态，这就是简并。其简并度可决定如下： 当n1 , n2 确定后， n3 = N - n1 - n2，也就确定了，不增加不同组合的数目。故对给定N，{n1 , n2, n3 }可能组合数即简并度为：