广义相对论课堂21 Schwarzschild时空轨道 2011.11.25

课程安排 复习内容： 讨论内容：惯性系斜交坐标测量意义 新内容：Schwarzschild时空应用 下次课：经典检验 测验 发草稿纸——助教 课后发调查表 http://liser.ustc.edu.cn/uchome/space.php?do=mtag&tagid=6770

测验目的 了解大家的学习困难、不足、效果 确保掌握重点和难点

改进 SR：最多只利用时空距离绝对性做做文章 1、力学四维形式LB==>广义坐标变换 2、

‘动钟变慢’误导吗？ ‘动’=速度不为零=钟尺测量速度=相对于坐标钟 加速钟dτ2=γ-2dt2 双生子佯谬=为什么反过来不可以？ 钟尺网格 Marzke-Wheeler坐标 实验不需理论引入钟尺网格

试图在球面上构造全局性 惯性系skew坐标 Φ——测地线 θ——非测地线，除赤道圈 θ换成Φ' 也用测地线，赤道圈上某一点P=第二极点O' 相对于北极点O OO'大圆上坐标失效，无能区分不同点——非全局！ 对比极点（θ，Φ）坐标简并 θ、Φ类似匀加速系直线+曲线网格

三种理论4种钟尺网格 理论 牛顿 SR GR 参考系（惯性v、加速） 坐标系（正交、非正交） 钟与钟、尺与尺 钟与尺 不同网格之间跨系 事件坐标符号 意义？ 事件之间差值 微分、差分？ 牛顿 相对静止 同步化 刚性 t,x,y,z dt与Δt SR 惯性系Lorentz坐标 惯性系skew坐标 加速系正交 加速系非正交 t',x,y,z或t,x',y,z GR 任意正交(史瓦西为例) 任意非正交：Cook t,r,θ,Φ 2分钟，相互检查，点几个典型的 理论上钟可以各自为政，但用于物理描述运动学必须事先同步化！ 刚性=距离不随时间变化

无非是将平直时空（事件集合） 用网格划分 网格点标记 数学的威力——Einstein求助 重要的是数学表达了什么物理

第一个活动 惯性斜交坐标系 SR：最多只利用时空距离绝对性做做文章 1、力学四维形式LB==>广义坐标变换 2、

写在纸上 不要太潦草——上交我查看 多留空白、隔行写——方便批改 尽量文字说明你的推理要点、步骤

测量钟与尺相对运动 平直时空坐标网格 三位一体 惯性系skew坐标 钟的世界线 尺子原点刻度的世界线 与坐标网格的关系 线元和度规 和钟的世界线重合吗？ 类时、切矢量 类空=尺子延展方向、分量表达 与坐标网格的关系 线元和度规

线元存在时空交叉项 基准钟尺相对运动？ i方向的基准尺子相对基准钟运动 另选尺子相对不动的总能做到吗？ Cook没讲到：钟尺相对运动 不是j方向 另选尺子相对不动的总能做到吗？ Cook没讲到：钟尺相对运动

应用 转盘系 Schwarzschild时空Eddington-Finkelstein坐标 Kerr时空Boyer-Lindquist坐标 转动宇宙Godel度规

进一步可探讨 对比习题7.21 Cook雷达回波、t',x坐标下

第二个活动 匀加速正交坐标系 SR：最多只利用时空距离绝对性做做文章 1、力学四维形式LB==>广义坐标变换 2、

匀加速正交坐标系 完美类比 平面几何及坐标系 欧式平面几何 半曲线正交 原点同心射线+ 同心圆 距离平方和 都是尺子延展空间线 闵氏平直时空 同心“圆” 距离平方减 钟尺世界线+尺子延展类空线

第四点：测地线方程（组） 径向方程 SR：最多只利用时空距离绝对性做做文章 1、力学四维形式LB==>广义坐标变换 2、

测试粒子和光线的测地运动 三个初积分／运动常数／守恒量 单位质量粒子能量e(因为在远处)， 无量纲, 物理意义! 单位质量粒子角动量L(因为L=rv) 所有的轨道都是在某一个过球心平面上运动：1。直观地看，任何偏离平面的运动都受到非向心力，破坏了球对称 2。教材9.22，L=0，初始dφ/dτ=0，则以后沿测地线处处为dφ/dτ=0， φ=Const.在一个平面上 3. 解测地线方程，附录B，LightmanP404 可以证明平面运动是稳定的,小扰动后回 坐标轴重新取向，约定在赤道面上讨论θ=π/2 第三个初积分，四速度归一/0化，即线元 四速度只有三个非零分量，利用三个初积分方程，可用e,L表达

第五点：有效势 SR：最多只利用时空距离绝对性做做文章 1、力学四维形式LB==>广义坐标变换 2、

机械能=径向动能+有效势能（势能+角向动能=离心势能）牛顿情况

有效势与径向方程 量纲,t, τ*c,M*G/c*c,L/c引入M为单位的r,L;粒子 写成牛顿力学机械能守恒的形式9.32,系列方程对非测地线运动也成立，即-1=u*u，只是e,L不再是守恒量，无法利用势能曲线简单分析 第二项为横向动能=离心势能,由离心力导出，方向与引力相反,dτ->dt 第四项为相对论修正项，吸引，相对论引力比牛顿强，本质因为光速极限（由EP=>-1=u*u) 利用（有效）势能曲线分析运动轨道及其稳定性，平方项总是大于等于0 图形，牛顿（二三项）和相对论的有效势，分别主导小、中、大R曲线形状，R->0,R->∞ 特殊点，微分画出曲线

给定M，首先按照角动量分类 牛顿L=0径向可到达r=0,实际情况星体表面阻挡－－外力，不再有机械能守恒分析；径向远离，E≥0可逃逸到无穷远（势能为0)，E<0会回落 L≠0不可到达r=0， 1。E≥0散射，双曲线(E>0)或抛物线(E=0) 2。E<0椭圆束缚轨道 3。特别地，势能曲线最低点E=V_min=-1/2L^2(与熟知结果一致)圆周，且稳定

微分应用：分析曲线形状 1.R->0,V->-L^2/R^3->-∞;R->∞,V->-1/R->0;中间V->L^2/2R^2 2.0=V,R01,02=;L≥4；随L分别为减函2<R01<4、增函数>4 3.0=dV/dR,Rmin,max=;Vmin,max=下标指的是V最小最大Rmin>Rmax;L≥3.46;Vmax给出给定e粒子的俘获截面 4. d^2V/dR^2><=0 按单位质量角动量分类L=l/M 1.L<3.46,两种轨道:向外ε>0逃逸，其余投入或回落 2.L=3.46,同上＋拐点R=L^2/2处ε=V不稳定圆周轨道 3.3.46<L≤4,最高点不稳定+最低点稳定圆周＋束缚(Vmin<ε<0) 4.L>4,+散射轨道0<ε<Vmax

第六点：有效势曲线分析原理 SR：最多只利用时空距离绝对性做做文章 1、力学四维形式LB==>广义坐标变换 2、

势能曲线的分析原理 d/dτ径向方程后，得到dr/dτ=0或d^2r/dτ^2=-V’=有效力，所以碰到势垒会反弹；散射和束缚由d^2r/dτ^2连续性仍然有d^2r/dτ^2=-V’=有效力；问题：在ε=V， dr/dτ=0是否可以保持圆周运动？答：不会－－ 1。仍然有效力不为0,V’≠0;牛顿情况，某个高度上，速度大（小）于圆周速度，离心力大（小）于引力，双曲（抛物）（椭圆）；测地线方程d^2r/dτ^2＝-Γ^r_tt(u^t)^2-Γ^r_φφ(u^φ)^2-Γ^r_rr(u^r)^2

势能曲线的分析原理：续 2.Cauchy定解，运动方程总是二阶微分方程（例如从变分原理看L(v,x)，所有力学都是从牛顿力学比拟而来），初始位置确定（静态时空）则时空点确定，初始三个速度确定，则定解。即L, ε决定了一条且仅仅一条测地线（当然，不一定遍历，如一开始就在V最高点则只有从R<R_min或R>R_max过来的圆周运动部分） 所以，任意力学中势能曲线可以看成地面上起伏山坡（无磨擦无空气阻力）上粒子运动，地面支承力＋重力＝有效力，即所谓势能曲线分析

反省3问题 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用的是什么？ 2、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？ 3、不清楚的原因是 如果不是，请问哪些你没学到？ 如果不确定，请解释原因。 2、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？ 3、不清楚的原因是 讲课不够清楚？ 缺少提问的机会？ 你事先没有准备？ 缺乏课堂讨论？ 其他？

回补+进一步 牛顿力学练习题 链条滑落光滑球面时速度 常引力场中光滑锥面上运动最低点 Zeldovich《相对论天体物理》库仑力场

第六点：轨道类型 SR：最多只利用时空距离绝对性做做文章 1、力学四维形式LB==>广义坐标变换 2、

六个量 四个变量τ,t,r,φ,两两组合数6种，5个速度（三个固有速度＋两个坐标速度）＋1个形状量（写成杨辉三角4层4321） 仅取决于三个方程：e,L,径向方程

径向运动 dφ／dτ＝0，φ＝Const. ，无角动量L=0,V=-1/R仅牛顿势，dτ=±dr/√2(ε+1/r)，ε≥1/2 径向自由下落，取负号，ε=0, e=1,无穷远e=dt/dτ=γ=1静止，解得 教材用r=0定标，到黑洞讲；从某个r到2M，粒子固有时有限；从无穷远当然无限 坐标时间，从某个r到2M无限，r->2M，9.40最后一项->+∞，这是史瓦西坐标在近2M出错的一个迹象 例子9.1，径向逃逸（到无穷远0渐近静止,e=1）速度，在施瓦希坐标半径R处静止观者（只有u^t不为零）测量V,E=γmV(LIF中消除引力影响，观者自身标架为LIF中随动标架），g_tt*u^t=e=1

圆周轨道 不稳定圆周轨道3M<r_max<6M随L增大而减 稳定圆周轨道r_min>6M随L增大而增，L=3.46最小，三个施瓦西半径 定义坐标角速度，实测设计：遥远一圈静止钟(同步化），接受圆周运动粒子径向光脉冲，因为圆对称，不同φ光线受的引力时间膨胀一样，测出Δt；Δφ＝圆弧长/圆周长 V’=0+ε=V=>9.45，也适用于非稳定圆周轨道 得到与Kepler第三定律（圆周轨道）相同形式，不是固有时角速度，在无穷远回到Kepler

束缚轨道的形状 方程，椭圆函数，u=1/R后，补齐量纲，常数项为牛顿能量＋高阶小量 从内转折点r_1（近星点）到外转折点r_2 （远星点） ，再回到内转折点＝1圈turn 一般1圈后Δφ≠2π不闭合，顺着轨道转动方向进动（相对论修正项为正），每圈进动角相同（因为球对称）δφ＝Δφ－2π，不闭合的主轴进动椭圆；但对一组E(L)，m圈后Δφ=n(2π)闭合，m≠n，习题13

近日点进动 图9.5不同L（勘误）和E，参数取值边界为稳定和不稳定圆周轨道之间，大角动量离星体远、相对论效应小－－太阳系行星近日点进动 类似Binet方程, 微扰方法求解，D’inverno 15.3节 习题15方法，反比于L^2 （L越小，越接近引力体越大）,用天文测量数据表达，半主轴a越小、偏心率，小行星Icarus、水星依次为最. Einstein: 不但牛顿理论从GR中作为一级近似导出，水星进动作为二级近似