第五章 平稳时间序列预测 设当前时刻为t，我们已经知道平稳时间序列Xt在时刻t 及以前时刻的观察值Xt ,Xt-1,Xt-2… ，现在用序列Xt对时刻t以后的观察值Xt+l(l>0)进行预测。这种预测称为以t 为原点，向前步长为l的预测，预测值记为
第一节 正交投影预测（几何预测） 在 已知的条件下，对 进行预测，一个常用而简单的函数形式就是 的线形组合形式，即 余下的问题就是求得系数 使 与 最接近。
正交投影预测几何示意图 在 从图中可以看出，一个“最佳”的选择就是 所形成平面上的正交投影。
根据平稳序列的传递形式， 序列的线性组合形式，因此 可以表示为 所形成平面也是 所形成平面，且 为一组正交基。 因而有： 因而，求解 的问题就转化为求解
预测误差 与平面中每个 基正交，即有 解之有 即最后的预测函数为
预测误差为 其方差为 从上式可以看出L步预测的的方差和步长L有关而与起点t无关，且步长Ｌ越大，预测误差的方差越大。
第二节 条件期望预测 正交投影预测在线性条件下具有最小的均方误差，而一个更一般条件下的预测为基于条件期望的预测。 条件期望 所谓条件期望，是指在一定条件下的期望值。例如， 在已知 的条件下， 的期望值称为 的条件期望，记为： 或
条件期望的性质 性质一： 性质二： 性质三： 性质1表明：条件期望满足线性运算法则；性质2表明：现在或过去观察值的条件期望是其本身，未来取值的条件期望是其预测值；性质3表明：现在或过去的残差的条件期望是它的估计值，未来残差的条件期望则为零。
用模型的逆转形式进行预测 任一ARMA模型可用逆转形式来表示，即将xt表示为过去观测值的线性组合再加一个随机扰动：
用差分方程形式进行预测 AR（1）模型
MA（1）模型
ARMA（1，1）模型
即当 l>1时，预测值满足模型自回归部分差分方程 做为初始值，解此差分方程得预测值为
ARMA(m,n)模型预测的一般结果 其中对于
结论：对一般的ARMA(n,m)模型，自回归部分决定了预测函数的形式，而滑动平均部分用于确定预测函数中的系数。 由于
由前面知 实际计算中用下式替代
第三节 实时修正预测 随着时间的推移，某些先前需要预测的未来信息已经变为现实，原来的时间序列预测模型可能没有反应这种现实的变化，此时有两种选择，一种是重新建立预测模型，另一种更好的选择是对原有预测模型进行实时修正。
实时修正预测的具体方法： 对于一个ARMA过程，由 得： 因此：
式中， 为一步预测误差。 结论：新的预测值是在旧的预测值基础上加一个修正项，而这一修正项比例于旧的一步预测误差，比例系数随预测超前步数而变化。 例：P138。
第四节 指数平滑预测——ARMA模型特例 指数平滑预测 预测公式： 其中：
指数平滑两个重要公式 指数平滑与ARMA模型的关系 指数平滑预测公式：
如果预测误差为 ，则： 若在t-1时刻，则 上式正是模型 的逆转形式。
反之，若以该模型的逆转形式进行预测，可得： 此即为指数平滑预测。 结论：指数平滑预测与ARMA（1，1）模型在 时的特殊情况下的预测等价。
本章回顾 正交投影预测 条件期望预测 实时修正预测 ARMA模型特例---指数平滑预测