第一章 渗流理论基础 肖 长 来 吉林大学环境与资源学院 2009-10

§1.7 数学模型的建立及求解 1.7.1数学模型的有关概念 同一形式的偏微分方程代表了整个一大类的地下水流的运动规律，而对于不同边界性质、不同边界形状的含水层，水头的分布是不同的。 对于偏微分方程而言，方程本身并不包含反映特定渗流区条件的全部信息，方程可能存在无数个解，如需要从大量的可能解中求得与特定区域条件相对应的唯一特解，就必须提供反映特定区域特征的信息。

这些信息包括： （1）微分方程中的有关参数m,K,m*，当这些参数确定后，微分方程才能被确定下来。 （2）渗流区范围和形状，当微分方程所对应的区域被确定之后才能对方程求解。 （3）边界条件(boundary conditions)：表示渗流区边界所处的条件，用以表示水头H（或渗流量q）在渗流区边界上所应满足的条件，也就是渗流区内水流与其周围环境相互制约的关系。 （4）初始条件(initial conditions)：表示渗流区的初始状态，某一选定的初始时刻(t=0)渗流区内水头H的分布情况。 将边界条件和初始条件并称为定解条件(definite solution condition)，微分方程和定解条件一起构成渗流场的数学模型。

数学模型：描述某一研究区地下水流运动的数学方程与其定解条件共同构成的表示某一实际问题的数学结构。 亦即从物理模型出发，用简洁的数学语言，即一组数学关系式来刻画它的数量关系和空间形式，从而反映所研究地质体的地质、水文地质条件和地下水运动的基本特征，达到复制或再现一个实际水流系统基本状态的目的的一种数学结构。 其中微分方程表示地下水的流动规律，定解条件表明研究对象所处的特定环境条件，即所研究的地下水流的真实状态。 定解问题是给定了方程（或方程组）和相应定解条件的数学物理问题。 建立模型是指建立数学模型的过程。

1.7.2 定解条件 1.定解条件 指水头、流量等渗流运动要素在流场边界上的已知变化规律，这种变化规律是由流场外部条件引起的，但它不断地影响流场内部的渗流过程并在整个期间一直起作用。包括边界条件和初始条件。 2. 边界条件 是渗流区边界所处的条件，用以表示水头H（或渗流量q）在渗流区边界上所应满足的条件，也就是渗流区内水流与其周围环境相互制约的关系。

(1) 第一类边界条件(Dirichlet条件)：如果在某一部分边界 (设为Sl或Γ1)上，各点在每一时刻的水头都是已知的，则这 部分边界就称为第一类边界或给定水头的边界，表示为: 或 给定水头边界不一定就是定水头边界。 可以作为第一类边界条件来处理的情况： ① 河流或湖泊切割含水层，两者有直接水力联系时，这部分边界就可以作为第一类边界处理。此时，水头y是一个由河湖水位的统计资料得到的关于t的函数。但要注意，某些河、湖底部及两侧沉积有一些粉砂、亚粘土和粘土，使地下水和地表水的直接水力联系受阻，就不能作为第一类边界条件来处理。 （1-103） （1-103）

在自然界，这种情况很少见。就是附近有河流、湖泊，也不一定能处理为定水头边界，还要视河流、湖泊与地下水水力联系的情况，以及这些地表水体本身的径流特征而定。在没有充分依据的情况下，不要随意把某段边界确定为定水头边界，以免造成很大误差。 ② 区域内部的抽水井、注水井或疏干巷道也可以作为给定水头的内边界来处理。此时，水头通常是按某种要求事先给定，例如给定抽水井的允许降深等。上面介绍的都只是给定水头的边界。注意，给定水头边界不一定是定水头边界。 ③ 排泄地下水的溢出带、冲沟或排水渠的边界也可近似看作给定水头边界。

(2)第二类边界条件(Neumam条件)：当知道某一部分边界 (设为S2或Γ2)单位面积(二维空间为单位宽度)上流入(流出时用负值)的流量q时，称为第二类边界或给定流量的边界。相应的边界条件表示为: 或 式中，n为边界S2或Γ2的外法线方向。q1和q2则为已知函 数，分别表示S2上单位面积和Γ2上单位宽度的侧向补给量。常见的这类边界条件： ① 隔水边界（流线、分水岭）： （1-105） （1-106） （1-107）

③ 补给或排泄地下水的河渠边界上，如已知补给量。 （3）第三类边界条件：某边界上H 和 的线性组合是已知的，即有： ② 抽水井或注水井： ③ 补给或排泄地下水的河渠边界上，如已知补给量。 （3）第三类边界条件：某边界上H 和 的线性组合是已知的，即有： 又称混合边界条件，，为已知函数。 边界为弱透水层（渗透系数为K1，厚度或宽度为m1）， （1-108） （1-109）

当浸润曲线下降时，从浸润曲线边界流入渗流区的单位面积 流量q为： 在s3上, 在 上, 浸润曲线的边界条件： 当浸润曲线下降时，从浸润曲线边界流入渗流区的单位面积 流量q为： 式中， 为给水度， 为浸润曲线外法线与铅垂线间的夹角。 （1-110） （1-111） （1-112） （1-113）

某一选定的初始时刻(t=0)渗流区内水头H的分布情况。 3.初始条件 某一选定的初始时刻(t=0)渗流区内水头H的分布情况。 或 其中，H0为D上的已知函数。 （1-114） （1-115）

1.7.3 渗流数学模型的分类 (1)线性、非线性模型 模型由线性方程所组成，称为线性模型，如均质各向同性承压二维流方程。 模型由非线性方程所组成，称为非线性模型，如潜水模型方程。 (2)静态、动态模型 根据模型中未知变量与时间的关系进行划分，若未知变量与时间无关，如稳定流模型，称为静态模型，反之，则为动态模型。

(3)集中、分布参数模型 模型中不含有空间坐标变量的模型，称为集中参数模型，如抽水井流量与降深之间的经验公式。 模型中含有空间坐标变量的模型，称为分布参数模型。 (4)确定性与随机性模型 确定性模型：数学模型中各变量之间有严格的数学关系的模型。 随机性模型：数学关系式中含有一个或多个随机变量的模型。

用确定性模型来描述实际地下水流时，如前述，必须具备下列条件： ① 有一个(或一组)能描述这类地下水运动规律的偏微分方程；同时，确定了相应渗流区的范围、形状和方程中出现的各种参数值。 ② 给出相应的定解条件。对所建立的模型进行检验，即把模型预测的结果与通过抽水试验或其它试验对含水层施加某种影响后所得到的实际观测结果或一个地区地下水动态长期观测资料进行比较，看两者是否一致。若不一致，就要对模型进行校正，即修正条件(1)和(2)直至满意拟合为止。这一步骤称为识别模型或校正模型。

经过校正后的模型，能代表所研究的地质体，或者说是实际水流系统的复制品了，因而可以根据需要，用这个模型进行计算或预测，例如预测矿床疏干时的涌水量及地下水污染情况预测等。 ③ 解(即满足条件①和②的解)是存在的(存在性)； ④ 解是唯一的(唯一性)；要求所提问题的解存在和唯一是不言而喻的。 ⑤ 解对原始数据是连续依赖的(稳定性)。即稳定性的要求，意味着当参数或定解条件发生微小变化时，所引起的解的变化也是很微小的。只有有了这条保证，当参数和定解条件的数据有某些误差时，所求得的解才能仍然接近于真解；否则，解是不可信的，并应该认为此时的数学模型是有毛病的。在实际工作中，原始数据有某种误差，在所难免，所以这个条件很重要。

适定问题（Well –posed problem ）是指数学模型满足（1）解是存在的（存在性），（2）解是唯一的（唯一性），（3）解对原始数据是连续依赖的（稳定性）这三个条件的问题。 只要有一条不满足就是不适定问题。 正问题是根据数学模型、给定的含水层水文地质参数和定解条件求解水头的问题，又称水头预报问题。 逆问题（inverse problem）是根据数学模型、动态观测资料或抽水试验资料反过来确定含水层水文地质参数的问题。

1.7.4 建立数学模型的基本要点 (1)确定研究区的范围及渗流区的边界； (2)确定渗流区的水力特征（包括埋藏条件、渗流状态、介质特征）； (3)确定渗流区的边界条件； (4)确定渗流区的源汇项； (5)选择微分方程； (6)确定渗流区的初始条件。

1.7.5 渗流数学模型的解法 1.解析法（analytic method） 概念：用参数分析及积分变换等方法直接求解数学模型解的方法。 解析解（Analytic solution）：又称精确解，是用解析方法求解数学问题所得到的解析表达式。 特点：其解为精确解，使用简单；该方法存在一定的局限性。 应用：只适用于含水层几何形状规则、方程式简单、边界条件单一的情况。

2. 数值法 (numerical method) 概念：用数值方法（离散化方法）求解数学模型的方法。 数值解(Numerical solution)是用数值方法求得的数值解，是一种近似解。 原理：它把整个渗流区分割成若干个形状规则的小单元，每个小单元近似处理成均质的，然后建立每个单元地下水流动的关系式；把形状不规则的、非均质的问题转化为形状规则的均质问题。根据研究需要，确定单元划分数量，对于非稳定流还要对时段进行划分；最后，把局部整合起来，加上定解条件。 应用：求解大型地下水流问题的主要方法，可以很方便地处理解析法难以解决的因难。事实上，它对任何复杂的地下水流问题都能给出有足够精度的解，适用于水文地质的很多领域，如水量计算、水质模拟等。 常用方法：有限差分法，有限元法，边界元法等。

数值模型 预测地下水流场图 方案1预报 方案4预报 方案5预报 方案5预报承压水等水位线(2018) 方案6预报 方案6预报承压水等水位线

3. 模拟法 模拟法是利用物理现象与水流的相似性，在实验室内采用模拟的方法求解。 模拟法(指物理模拟)是用相似模型再现渗流动态和过程的实验方法。它不仅能够模拟解析法难以求解的复杂问题，而且在检验基本理论和需要观察渗流过程中可能出现的物理现象(如弥散和管涌现象)时，更离不开模拟法。 但由于模拟法所固有的一些局限性，近20多年来，在解决实际水文地质问题中，模拟法已基本上为数值法所取代了。

模拟的相似条件 几何相似：即在原型和模型的有限空间内，对应点的坐标或对应长度应满足固定的比值。 时间相似：原型和模型可以同步运行，但在渗流模拟中很少应用。常用的是模型过程需要加速进行，所以原型和模型的时间也应保持固定比值at＝tm/t，而且在整个运行过程中at保持不变。 参数相似：在两个系统中对应的物理参数，必须保持线性关系。 初值相似：在两个系统中，对应物理量的初值，都应满足固定比值。 边值相似：在两个系统中，对应物理量及其导数在边界上分布的边值同样应当满足固定比值。当边值随时间变化时，还要保持边值的时间相似。

§1.8 叠加原理 1.8.1叠加原理的表达式 对于由线性偏微分方程和线性定解条件组成的定解问题，可以运用叠加原理，它对求解干扰井问题和边界附近的井流问题用处很大。 叠加原理可表述为：如H1，H2，...Hn是关于水头H的线性偏微分方程的特解，C1，C2，...Cn为任意常数，则这些特解的线性组合： （1-116） 仍是原方程的解。式（1-116）的Ci这些常数，要根据H所满足的边界条件来确定。如方程是非齐次的，并设H。为该非齐次方程的一个特解，H1和H2为相应的齐次方程的二个解，则 H=Ho+ClH1+C2H2 （1-117） 也是该非齐次方程的解。常数Cl和C2由H所满足的边界条件确定。

1.8.2叠加解的物理意义 由图1-20可见，首先求出不存在抽水井时，由边界条件单独影响形成的水头Hl（x,y）；然后，在齐次边界条件下，即假设边界水头均为零(H=0)，分别求出P1井流量为A和P2井流量为B时，单独抽水时产生的 图1-20剖面上解的叠加示意图 降深(负水头值-s1(x,y)和-s2(x,y))。 三者叠加便得边界条件和抽水井同作用下的水头值: H=H1-s1-s2 上述例子可推广到有抽水井或注水井的情况。对非稳定井流，也可作类似分析。

1.8.3 叠加原理的特点 综合上例分析，得出以下结论： （1）各个边界条件的作用彼此是独立的。一个边界条件的存在，并不影响其它边界条件存在时所得到的结果（对于初始条件也是如此）。不同类边界条件所造成的结果之间彼此也互不影响。因此，若干个不同类边界条件的综合结果等于各单个边界条件单独作用所得结果的叠加。 （2）各抽水井的作用也是独立的。在齐次定解条件下，承压井群产生的降深，等于各井单独产生降深的叠加。 （3）潜水含水层的微分方程是非线性的，不能应用叠加原理，但用线性化方法，把描述潜水运动的微分方程线性化后(Dh2=H2-h2)，仍可应用叠加原理。

本章小结 1、渗流的基本概念：多孔介质、渗流、水文地质参数等 2、渗流都有哪些基本定律?其适用条件如何？ 3、岩层透水特征的分类 4、怎样理解水流折射定律？如何绘制流网？如何应用流网分析渗流问题？ 5、写出渗流连续方程及各项符号的含义 6、分别写出承压水、越流含水层、潜水等含水层的渗流基本微分方程及各项符号的含义 7、数学模型的建立及求解（数学模型、定解条件、边界条件、初始条件） 8、叠加原理的概念及特点