第十三章 交 变 应 力

工程实例

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本章要点 重要概念 （1）交变应力的循环特性 （2）材料的持久极限 （3）持久极限的影响因素 （4）疲劳破坏的机理 交变应力、循环特性、持久极限、疲劳破坏、循环振幅、 循环特征、平均循环应力

§13-8 弯曲和扭转组合交变应力下构件的疲劳强度计算 目录 §13-1 交变应力及疲劳破坏 §13-2 交变应力的循环特性应力幅度和平均应力 §13-3 材料的持久极限 §13-4 影响构件持久极限的因素 §13-5 对称循环下构件的疲劳强度计算 §13-6 持久极限曲线及其简化折线 §13-7 不对称循环下构件的疲劳强度计算 §13-8 弯曲和扭转组合交变应力下构件的疲劳强度计算 §13-9 提高构件疲劳强度的措施

§13-1 交变应力及疲劳破坏 大家考虑一下我们的日常所见，即可发现，工程中的许多载荷是随时间而发生变化的，而其中有相当一部分载荷是随时间作周期性变化的。例如火车的轮轴。

静平衡位置

一、定义： 二、交变应力所造成的危害： 交变应力：构件中点的应力状态随时间而作周期性变化的应力。 疲劳破坏：在交变应力下，虽然最大应力小于屈服极限，长期重复之后，也会突然断裂。即使是塑性较好的材料，断裂前也没有明显的塑性变形。这种破坏现象习惯上称为疲劳破坏。 二、交变应力所造成的危害： 机械零件的破坏 如列车轮轴的疲劳破坏会引起列车出轨。汽轮机任一叶片的疲劳破坏将打断整圈叶片，且破坏前无明显征兆，故常常令人防不胜防。 是由交变应力造成的，且危害性很大。如

二、疲劳破坏构件的特征： 1.断面呈现光滑区和粗糙区两部分。 2.光滑区有明显的裂纹源。 3.粗糙区域与脆性材料（铸铁）构件在静载下脆性破坏的断 口相似。 4.因交变应力产生破坏时，最大应力值一般低于静载荷作用下 材料的抗拉(压)强度极限σb，有时甚至低于屈服极限σs 5.材料的破坏为脆性断裂，一般没有显著的塑性变形，即使是 塑性材料也是如此。在构件破坏的断口上，明显地存在着两 个区域：光滑区和颗粒粗糙区。 6.材料发生破坏前，应力随时间变化经过多次重复，其循环次 数与应力的大小有关。应力愈大，循环次数愈少。

完 三、疲劳破坏的解释： 由于构件的形状和材料 粗糙区 不均匀等原因，构件某些局 部区域的应力特别高。在长 期交变应力作用下，于上述 应力特别高的局部区域，逐 步形成微观裂纹。裂纹尖端 的严重应力集中，促使裂纹 逐渐扩展，由微观变为宏观 。裂纹尖端一般处于三向拉 伸应力状态下，不易出现塑 性变形。当裂纹逐步扩展到一定限度时，便可能骤然迅速扩展，使构件截面严重削弱，最后沿严重削弱了的截面发生突然脆性断裂。从上述解释与疲劳破坏断面的特征较吻合，故较有说服力。 粗糙区 光滑区 裂纹源 完 目录

§13-2 交变应力的循环特性 应力幅度和平均应力 §13-2 交变应力的循环特性 应力幅度和平均应力 从前面的应力时间曲线中，可看出：在承受交变应力的构件中，轴中的弯曲应力每转一周就要从最大值 变到最小值 然后又恢复到最大值，即：轴每转一周，应力就完成一次循环。像 称其为对称循环，否则为非对称循环。 值上）时，我们 ， 这样应力每循环一次，我们就称为一个应力循环。当 (数

——平均循环应力 ——循环振幅 ——循环特征

上述几个参数是描述交变应力状态下构件的应力变化规 律的几个参数，我们称为循环特性参数。从这几个参数，我 们可很直观地看出构件的应力变化规律。如： (1) 对称循环： (2) 非对称循环： 任一非对称循环都可以看成是静应力 和幅度为 的对称循环叠加的结果。

完 （3）脉动循环：变动于零到某一最大值之间的交变应力循环，称为脉动循环。 （4）静应力也可以看成是交变应力的一种特性: （5）稳定交变应力：交变应力的最大应力和最小应力的值，在工作过程中始终保持不变，称为稳定交变应力，否则称为不稳定交变应力。 目录

§13-3 材料的持久极限 ,试件经过无数次循环而不发生疲劳破坏, 一、实验： §13-3 材料的持久极限 如前所述：构件在交变应力下，当最大应力低于屈服极限时，就可能发生疲劳破坏。因此，屈服极限或强度极限等静强度指标已不能作为疲劳破坏的强度指标。故在交变应力下，材料的强度指标应重新设定。 一、实验： 把一级相同的试件从高到低加上一定载荷使其承受交变应力，直至其破坏为止，并记下每个试件在破坏前的应力循环次数N。 结果：当r一定时： (1) 如果 ,试件经过无数次循环而不发生疲劳破坏, 其中 为持久极限。

二、应力——寿命曲线： (2) 如果 ，发现，试件经过N次循环就会发生疲劳 破坏。N——对应于某一应力水平的持久寿命。 值，我们可以得到一条 根据上述试验的每一个 值，我们可以得到一条 曲线如下图所示： N o maxA max r

讨论： 1.从曲线中可看出：试件断裂前所能经受的循环次数N随 的纵坐标 减小而增大。疲劳曲线最后趋近于水平，其水平渐近线 可用符号 就是材料的持久极限，对于对称循环的持久极限 表示（其角标-1表示对称循环的循环特征 ） 2.疲劳曲线上任一点A的纵横坐标分别是 和 这表示最大应力为 时，试件断裂前所能经受的应力偱 环次数为 。 称为最大应力为 时的持久寿命。 而 称为持久寿命为 名义持久极限。显然，持久寿命趋于无限长时，其所对应的 最大应力就是材料的持久极限。 时，材料的条件持久极限，或 ，

3.实际上，试验不可能无限期的进行下去，一般规定一个循环次数N0来代替无限长的持久寿命，这个规定的循环次数N0称为循环基数。与N0对应的就是持久极限。 4.特殊材料：钢和铸铁： 次。 含铝或镁有色金属： 完 目录

§13-4 影响构件持久极限的因素 一、构件外形的影响： §13-4 影响构件持久极限的因素 实际构件的持久极限不但与材料有关，而且还受构件形状，尺寸厌上，表面质量和其他一些因素的影响。因此，用光滑小试件测定的材料的持久极限 还不能代表实际构件的持久极限。 下面介绍影响构件持极限的几种主要因素： 一、构件外形的影响： 构件外形的突然变化，例如构件上有槽、孔、缺口、轴肩等，都将引起应力集中。在应力集中的局部区域更易形成疲劳裂纹，使构件的持久极限显著降低。由于这种应力集中是以应力集中系数表示的，故构件外形对持久极限的影响可通过应力集中系数来反映。

——有效应力集中系数 式中： ——构件弯曲时的有效应力集中系数 ——构件扭转时的有效应力集中系数 ——对称循环下，无应力集中的光滑试件的持久极限 ——对称循环下，有应力集中的光滑试件的持久极限 关于有效应力集中系数与试件尺寸，外形的关系见图13-1至，13-6（刘鸿文编）从这些曲线中可看出：有效应力集中系数不仅与构件的形状，尺寸有关，而且与材料的极限强度 ,亦即与材 料的性质有关。一般说来，静载抗拉强度越高,有效应力集中系数越大，即对应力集中也就越敏感。

图 13-1

图 13-2

图 13-3

图 13-4

图 13-5

图 13-6

二、构件尺寸的影响： 持久极限一般是用直径为7-10mm的小试件测定的，随着试件横截面尺寸的增大，持久极限却相应地降低。这种尺寸对持久极限的影响一般是通过尺寸系数来表示的。 ——尺寸系数 式中： ——对称循环下，光滑小试件的持久极限 ——对称循环下，光滑大试件的持久极限 常用钢材的尺寸系数见下表：

表面质量对持久极限的影响可通过下面的质量系数 思考题：试定性的分析，为什么大试件更容易发疲劳破坏？ 或，为什么 （或 ）通常小于1）？ 三、构件表面质量的影响： 构件表面的加工质量对持久极限也有影响，例如当表面存在刀痕时，刀痕的根部将出现应力集中，因而降低了持久极限，反之，构件表面经强化方法提高后，其持久极限也就得到提高。 表面质量对持久极限的影响可通过下面的质量系数 示。 来表 ——表面质量系数 式中： ——表面磨光试件的持久极限 ——其他加工情况的构件的持久极限

（1）当构件表面质量低于磨光的试件时， ；而表面 （2）不同的表面加工质量，对高强度钢持久极限的影响更 为明显，所以对高强度钢要有较高的表面加工质量，才 能发挥高强度的作用。 注： 经强化处理后， 。 总结：综合考虑：构件的外形的影响；构件尺寸的影响；构件 表面质量的影响三方面的因素，构件在对称循环下的持 久极限应该是： 式中： ——光滑小试件的持久极限 注：除上述三方面的主要因素影响外，腐蚀介质和高温也会影响 持久极限。如遇此种因素，在上述公式中还须加入相关系数 。 目录

§13-5 对称循环下构件的疲劳强度计算 、强度条件： 用应力表示的强度条件： 极限应力： 许用应力： 强度条件： §13-5 对称循环下构件的疲劳强度计算 、强度条件： 用应力表示的强度条件： 极限应力： 许用应力： 强度条件： 2.用安全系数表示的强度条件：

（13-12） 二、应用举例： 构件的工作安全系数： （13-11） 强度条件： 即： ，若规定安全系数n=1.4， 试校核A-A截 某减速器第一轴如图所示，键槽为端铣加工，A-A截面上的弯矩M=860Nm，轴的材料为A5钢， 面的强度。

解：1.计算A-A截面上的最大工作应力 若不计键槽对抗弯截面模量的影响，则A-A截面的抗弯截面模量为： 轴不变弯矩M作用下旋转，故为弯曲变形下的对称循环。

完 由刘鸿文主编〈材料力学〉图13-9，a 中曲线2查得端铣加工的键槽，当材料 2.确定 时， 。由表13-1 ，由表13-2，使用插入法求得 查得 。 3.校核强度： 完 故满足强度条件，A-A截面处的疲劳强度是足够的。 目录

§13-6 持久极限曲线及其简化折线 、持久极限曲线： 以平均应力 为横轴，应力幅度 系。对于任意一应力循环，根据其 、 为纵轴建立一坐标 系。对于任意一应力循环，根据其 、 为纵轴建立一坐标 在坐标系中确定一个对应力C。因 值，就可以在可以 纵横坐标之和就是该点所代表的应力循环的最大应力, 由原点 向C点作一射线，其斜率应为： ，即一点的 可见循环特性r相同的所有应力 循环都在同一射线上。可以推想：在每条由原点出发的射线上，都有一个由持久极限确定的临界点，将这些点连接起来所得到的曲线就是持久极限曲线，如下图中的 曲线。

讨论： (1) A点： 表明纵坐标轴上的各点代表对称循环， (2) B点： 表明横坐标轴上的各点代表静应力，

二、简化持久极限曲线： (3) 曲线 与坐标轴在 区域，区域内的各点，由于其对应的应力循环中的 坐标平面中围成一个 ，所以不会引起疲劳破坏。 (3) 曲线 与坐标轴在 区域，区域内的各点，由于其对应的应力循环中的 坐标平面中围成一个 ，所以不会引起疲劳破坏。 二、简化持久极限曲线： 为了便于使用起见，工程上通常采用简化的持久极限曲线，最常用的简化曲线是根据材料的 ， 在 坐标平面上确定A、B、C三点。 折线ACB即为简化曲线。

1 .实验表明：构件的应力集中，尺寸大小，表面质量等因素，只对属于动应力的应力幅度 讨论： 1 .实验表明：构件的应力集中，尺寸大小，表面质量等因素，只对属于动应力的应力幅度 属于静应力的平均 有影响，而对于 的影响后，应力幅度分别为： 并无影响。在对称循环和脉动循环下，考虑了上述因素 和 故实际构件的简化折线应为上图中的EDB。 相当于E、D两点， 应力 ，在上图中 2 . 应力循环对不对称性的敏感系数 上图中：

引用记号 则： 由上图可看出： ——应力循环不对称性敏感系数 注： 正好等于图中斜线AC的斜率。对于普通钢的 表： 值请见下

完 目录

§13-7不对称循环下构件的疲劳强度计算 、强度条件的确定： 1． 时的强度条件的确定： 在上图中，若以G点表示构件工作时危险点的交变应力，则： 如图所示，P点的纵横坐标之种就是构件的持久极限 ， 即： 当构件的循环特性 ED相交，此时构件的工作安全系数 范围内时，射线OG与线段 应为：

(a) 由 ∽ 得： 代入(a)得： (b) 又因： (c) 又由 ∽ 得： (d)

联解(c)(d)得： 代回<b>式得： （13-5） 从而得 时的强度条件为：

对于塑性材料制成的构件，除应满足疲劳强度条件外，危险点上的最大应力不应超过屈服极限，即： 2．塑性材料构件 对于塑性材料制成的构件，除应满足疲劳强度条件外，危险点上的最大应力不应超过屈服极限，即： 如下图所示，在 坐标系中， 一条在横轴和纵轴上的截距均为 的直线LJ。

从图中可看出：为保证构件不发生屈服破坏，代表危险点应力的点，必须落在LJ下面。因此，构件既不发生疲劳破坏，也不发生屈服破坏的区域应是图中折线EKJ与坐标轴围成的区域。 3. 强度条件的选取 (1) 由构件工作应力循环特征r所确定的射线OP，若先与直线 ED相交，则应按公式： 求出 进行疲劳强度计算 (2) 若上述射线先与直线KJ相交，则表示构件将以出现塑性变 形的方式破坏，此时，工作安全系数

应按下式计算： 强度条件应为： 注： 对某些构件，由于材料和具体条件的原因，在r>0的情况下，也可能在没有明显塑性变形时，构件就已经发生疲劳破坏，因此，当r>0时，通常要同时计算构件的疲劳强度和屈服强度。 4.例题： 下图所示圆杆上有一个沿直径的贯穿圆孔，不对称交变弯矩为： 。材料为合金钢， ，圆杆表面经磨 削加工，若规定安全系数n=2, ,试校核此杆的 强度。

解： 计算圆杆的工作应力：

2.确定系数 ： 按照圆杆的尺寸， 图13-9，a中的曲线6查得，当 时， 。由表13-1查出： 。由表13-2查出：表面经磨削加工的 。根据刘鸿文主编《材料力学》 杆件， 。 3.疲劳强度校核： 故疲劳强度是足够的。

4.屈服强度校核： 因r=0.2>0,所以需要校核屈服强度。 所以屈服强度条件也是满足的。 完 目录

§13-8 弯曲和扭转组合交变应力下构件的疲劳强度计算 §13-8 弯曲和扭转组合交变应力下构件的疲劳强度计算 、强度条件： 在静载荷下，弯扭组合变形下的塑性条件为： 上式两边平方，整理得： 按照第四强度理论： 代入上式，得：

(a) 依据实验资料，可以认为：弯扭组合对称循环下工作的构件，其破坏条件也可写成(a)式的形式，即： 式中： ——弯扭组合对称循环下，构件持久极限的弯曲 正应力和扭转剪应力

若令构件的安全系数为n，则弯曲组合变形下的疲劳强 度条件应为： 或： (b) 若记： ——弯曲对称循环下的工作安全系数 ——扭转对称循环下的工作安全系数

则：上式可写成： 或： ——弯扭组合对称循环下构件的强度条件 若引用记号： （13-19） 则强度条件又可写成： （13-20） 注：当构件在弯扭组合不对称循环下工作时，仍可用（13-19） 计算工作安全系数 ，但这时 和 则应按下面 式计算:

解： 二、运算举例： 例13—1．阶梯轴的尺寸如下图所示，材料为合金钢， ，作用于轴上的弯矩变化于 之间，扭矩变化于 之间，若 规定安全系数 n=2，试校核轴的疲劳强度。 规定安全系数 之间，若 解： 计算轴的工作应力 首先计算交变弯曲正 应力及其循环特征：

(2) 计算交变扭转剪应力及其循环特性：

，由于名义应力 2. 确定各种系数 根据 ，由图13-8b（刘鸿文）查得， ，由图13-8e查得， 是按轴直径等于50mm计算的，所以尺寸系数也应该 是按轴直径等于50mm来确定。由表13-1查出： 。由表13-2查出, 根据轴的 表面光洁度为0.9， 。 表13-4查得， 时，由 当 3.计算弯曲工作安全系数 和扭转工作安全系数

完 由于剪应力是脉动循环，r=0，应按非对称计算工作安 全系数，此时， 4.计算弯曲组合交变应力下，轴的工作安全系数 故满足疲劳强度条件。 目录

§13-9 提高构件疲劳强度的措施 1、在设计中，要避免出现方形或带有尖角的孔和槽。 一、减缓应力集中： §13-9 提高构件疲劳强度的措施 一、减缓应力集中： 1、在设计中，要避免出现方形或带有尖角的孔和槽。 2、在截面尺寸，突然改变处（如阶梯轴的轴肩），要采用半 径足够大的过渡圆角，以减轻应力集中。 3、因结构上的原因，难以加大过渡圆角的半径时，可以在直 径较大的部分轴上开减薄槽或退刀槽。 4、在紧配合的轮毂与轴的配合面边缘处，有明显的应力集中 。若在轮毂上开减荷槽，并加粗轴的配合部分，以缩小轮 毂与轴之间的刚度差距，便可改善配合面边缘处应力集中 的情况。5、在角焊缝处，采用坡口焊接，应力集中程度要 比无坡口焊接改善的多。

谢 谢 大 家 ! 完 二、提高表面光洁度： 三、增强表层强度： 1、为了强化构件的表层，可采用热处理和化学处理，如 表面高频淬火，渗碳，氮化等。 2、可以用机械的方法强化表层，如滚压，喷丸等，使构 件表面形成一层预压应力层，减弱了容易引起裂纹的 表面拉应力，从而提高了疲劳强度。 谢 谢 大 家 ! 完 目录