工程振动与测试 第2章 单自由度系统的振动 Mechanical and Structural Vibration 主讲 贾启芬
第2章单自由度系统的振动 2.1 无阻尼系统的自由振动 2.2 计算固有频率的能量法 2.3 瑞利法 2.4 有阻尼系统的衰减振动 目录 2.1 无阻尼系统的自由振动 2.2 计算固有频率的能量法 2.3 瑞利法 2.4 有阻尼系统的衰减振动 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 2.6 周期激励作用下的受迫振动 2.7 任意激励作用下的受迫振动 2.8 响应谱 Mechanical and Structural Vibration
第2章单自由度系统的振动 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 Mechanical and Structural Vibration
2.5 简谐激励作用下的受迫振动 受迫振动 激励形式 简谐激励是最简单的激励。 －系统在外界激励下产生的振动。 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 受迫振动 －系统在外界激励下产生的振动。 激励形式 －外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。 简谐激励是最简单的激励。 Mechanical and Structural Vibration
F0为激振力的幅值，w为激振力的圆频率。以平衡位置O为坐标原点，x轴铅直向下为正，物块运动微分方程为 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 振动微分方程 简谐激振力 F0为激振力的幅值，w为激振力的圆频率。以平衡位置O为坐标原点，x轴铅直向下为正，物块运动微分方程为 具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。 Mechanical and Structural Vibration
齐次解: x1(t) 特解: x2(t) 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 简谐激励的响应－全解 有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 振动微分方程 简谐激励的响应－全解 有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程 微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解 齐次解: x1(t) 特解: x2(t) 有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解 Mechanical and Structural Vibration
有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 振动微分方程 有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解 x2(t)-有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应： Mechanical and Structural Vibration
这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 振动微分方程 这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。 稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。 Mechanical and Structural Vibration
2.5 简谐激励作用下的受迫振动 受迫振动的振幅B、相位差 的讨论 Mechanical and Structural Vibration
在低频区和高频区，当 <<1时，由于阻尼影响不大 ，为了简化计算 ，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 受迫振动的振幅B、相位差 的讨论 在低频区和高频区，当 <<1时，由于阻尼影响不大 ，为了简化计算 ，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。 Mechanical and Structural Vibration
2.5 简谐激励作用下的受迫振动 例 题 例 质量为M的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为 e，偏心质量为m。转子以匀角速w转动如图示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。 解：取电机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下为正。作用在电机上的力有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。 Mechanical and Structural Vibration
根据达朗贝尔原理，有 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 = h 例 题 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 例 题 根据达朗贝尔原理，有 = h Mechanical and Structural Vibration
电机作受迫振动的运动方程为 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 例 题 电机作受迫振动的运动方程为 当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率pn时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。 Mechanical and Structural Vibration
阻尼比z 较小时，在l = 1附近， b 值急剧增大，发生共振。 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 例 题 阻尼比z 较小时，在l = 1附近， b 值急剧增大，发生共振。 由于激振力的幅值me2与2成正比。当→0时，≌0，B→0；当>>1时，→1，B→b，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于 。 幅频特性曲线和相频特性曲线 Mechanical and Structural Vibration
2.5 简谐激励作用下的受迫振动 例 题 在图示的系统中，物块受粘性欠阻尼作用，其阻尼系数为c，物块的质量为m，弹簧的弹性常量为k。设物块和支撑只沿铅直方向运动，且支撑的运动为 ,试求物块的运动规律。 建立物块的运动微分方程 Mechanical and Structural Vibration
2.5 简谐激励作用下的受迫振动 令 其中 y = b Z代替 x 例 题 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 例 题 令 其中 y = b Z代替 x Mechanical and Structural Vibration
2.5 简谐激励作用下的受迫振动 例 题 x = z + y and Mechanical and Structural Vibration
2.5 简谐激励作用下的受迫振动 例 题 Mechanical and Structural Vibration
2.5 简谐激励作用下的受迫振动 例 题 Mechanical and Structural Vibration
式不仅反映了各项力之间的相位关系，而且表示着一个力多边形。 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 受迫振动系统力矢量的关系 已知简谐激振力 稳态受迫振动的响应为 应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成 激振力 惯性力 阻尼力 弹性力 现将各力分别用 B、 的旋转矢量表示。 式不仅反映了各项力之间的相位关系，而且表示着一个力多边形。 Mechanical and Structural Vibration
2.5 简谐激励作用下的受迫振动 受迫振动系统力矢量的关系 （a）力多边形 (b) ＜＜1 (c) = 1 (d) ＞＞1 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 受迫振动系统力矢量的关系 （a）力多边形 (b) ＜＜1 (c) = 1 (d) ＞＞1 Mechanical and Structural Vibration
在系统发生共振的情况下，相位差 ，激振力在一周期内做功为 ，做功最多。 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 受迫振动系统的能量关系 从能量的观点分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。 受迫振动系统的稳态响应为 周期 1. 激振力 在系统发生共振的情况下，相位差 ，激振力在一周期内做功为 ，做功最多。 Mechanical and Structural Vibration
对于无阻尼系统(除共振情况外)相位差 。因此，每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。 或 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 受迫振动系统的能量关系 对于无阻尼系统(除共振情况外)相位差 。因此，每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。 或 2. 粘性阻尼力 做的功 上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。而且做的负功和振幅B的平方成正比。由于受迫振动在共振区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量而实现的。 Mechanical and Structural Vibration
表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 受迫振动系统的能量关系 3. 弹性力 做的功 表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。 能量曲线 在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量 Mechanical and Structural Vibration
在工程实际中，振动系统存在的阻尼大多是非粘性阻尼。 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 等效粘性阻尼 在工程实际中，振动系统存在的阻尼大多是非粘性阻尼。 非粘性阻尼的数学描述比较复杂。为了便于振动分析，经常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼。 等效的原则是：粘性阻尼在一周期内消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期内消耗的能量。 假设在简谐激振力作用下，非粘性阻尼系统的稳态响应仍然是简谐振动，即 非粘性阻尼在一个周期内做的功 相等 粘性阻尼在一周期内消耗的能量 等效粘性阻尼系数 Mechanical and Structural Vibration
2.5 简谐激励作用下的受迫振动 利用式 得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅 等效粘性阻尼 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 等效粘性阻尼 利用式 得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅 Mechanical and Structural Vibration
2.5 简谐激励作用下的受迫振动 等效粘性阻尼系数 库仑阻尼 阻尼力表示为 一周期内库仑阻尼消耗的能量为 相等 得到稳态振动的振幅表达式 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 等效粘性阻尼 等效粘性阻尼系数 库仑阻尼 阻尼力表示为 一周期内库仑阻尼消耗的能量为 相等 得到稳态振动的振幅表达式 Mechanical and Structural Vibration
具有结构阻尼系统的运动微分方程可写为 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 等效粘性阻尼系数 结构阻尼 一周期内结构阻尼消耗的能量为 相等 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 等效粘性阻尼 等效粘性阻尼系数 结构阻尼 一周期内结构阻尼消耗的能量为 相等 具有结构阻尼系统的运动微分方程可写为 Mechanical and Structural Vibration
系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。 先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应,系统的运动微分方程和初始条件写在一起为 通解是相应的齐次方程的通解与特解的和,即 Mechanical and Structural Vibration
特点是:振动频率为系统的固有频率,但振幅与系统本身的性质及激励因素都有关。 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 根据初始条件确定C1、C2 。于是得到全解为 无激励时的自由振动 系统对初始条件的响应 伴随激励而产生自由振动, 称为自由伴随振动 稳态强迫振动 特点是:振动频率为系统的固有频率,但振幅与系统本身的性质及激励因素都有关。 对于存在阻尼的实际系统,自由振动和自由伴随振动的振幅都将随时间逐渐衰减,因此它们都是瞬态响应。 Mechanical and Structural Vibration
由共振的定义, 时上式是 型,利用洛必达法则算出共振时的响应为 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 共振时的情况 假设初始条件为 由共振的定义, 时上式是 型,利用洛必达法则算出共振时的响应为 Mechanical and Structural Vibration
可见,当时 ,无阻尼系统的振幅随时间无限增大.经过短暂时间后,共振响应可以表示为 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 可见,当时 ,无阻尼系统的振幅随时间无限增大.经过短暂时间后,共振响应可以表示为 图 共振时的受迫振动 此即共振时的受迫振动.反映出共振时的位移在相位上比激振力滞后 ,且振幅与时间成正比地增大 Mechanical and Structural Vibration
有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应.在给定初始条件下的运动微分方程为 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应.在给定初始条件下的运动微分方程为 全解为 式中 Mechanical and Structural Vibration
2.5 简谐激励作用下的受迫振动 如果初始位移与初始速度都为零，则成为 可见过渡阶段的响应仍含有自由伴随振动。 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 如果初始位移与初始速度都为零，则成为 过渡阶段的响应 可见过渡阶段的响应仍含有自由伴随振动。 Mechanical and Structural Vibration
无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激励无关。 伴随激励而产生的自由振动－自由伴随振动，其振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 在简谐激励的作用下，有阻尼系统的 总响应由三部分组成 无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激励无关。 伴随激励而产生的自由振动－自由伴随振动，其振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。 以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减－稳态受迫振动。 第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率pd；由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时间而衰减。 Mechanical and Structural Vibration
若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自 由伴随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随 时间衰减。 2.5 简谐激励作用下的受迫振动 简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自 由伴随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随 时间衰减。 因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动， 一般总是pn和 两个不同频率简谐振动的叠加。 Mechanical and Structural Vibration
谢谢