§4.1 能量——另一个守恒量 §4.2 力的元功 用线积分表示功 §4.3质点和质点系动能定律

第四章 动能和势能 功和能的概念以及能量转换及守恒定律不仅在分析和解决力学问题时，是我们常常用到的非常有效的方法，而且也是研究各种物理问题的基础。本章我们仅限于在机械运动范围内讨论功和能及其转换和守恒定律。其中着重研究动能和势能的转换及守恒定律—－机械能守恒定律。 学习内容： §4.1 能量——另一个守恒量 §4.2 力的元功 用线积分表示功 §4.3质点和质点系动能定律 所做的工作： 1.简要从历史的角度讨论能量转换及守恒定律 2.讨论功和功率等概念 3.推导质点和质点系第二个基本定理——动能定理

§4.1 能量——另一个守恒量 人们在长期的生产实践和科学实验的基础上逐步认识到任何一种运动形式都能够直接或间接地转变为其它运动形式。在深入研究运动形式相互转化的过程中，人们建立了功和能的概念，并发现了存在于自然界中的一个普遍基本原理——能量转换及守恒定律。 有关内容课书上有详细介绍，请同学们课后自己阅读。 §4.2 力的元功 用线积分表示功 能量反映物体的运动状态或对外做功本领的大小或高低。能量可以从一个物体转移到另一个物体，或从一种形式（运动形式）转变为另一种形式，总量不变或者说做功恰好是使能量发生转移的手段之一。下面从功开始研究、讨论动能和势能及它们之间的转换和守恒等问题。

作用下做直线运动，且力的大小和方向都被认为在运动过程 、力的元功和功率 1．功： 功对同学们来讲并不陌生，在中学力学中我们把物体所受的力在物体的位移方向上的投影与位移大小的乘积，定义（叫做）力在物体位移过程中对运动物体所做的功。简称力所做的功。 如图所示，有力F所做的功为 S x 做功： = · 为 与 的夹角 此时，物体在外力 作用下做直线运动，且力的大小和方向都被认为在运动过程 中保 持不变。如果物体做曲线运动，而且力 的大小和方向都有可能 随时间发生变化。

在这种情况下，我们需要把上述功的定义推广，给出元功的概念。具体方法是： 把路径分成许多小段——直线（以直代曲） = 恒矢量。 对每一小段，认为 故定义元功： O 讨论： （1） ， ， （2） （3） ， （4）

2.功率 时间内，发生位移为 ，元功为 定义： —— 时间内的力 的平均功率 时， —— 的瞬时功率，简称功率。 此时， —— 的功率 的功率等于力与受力质点速度的标积。 而力

二、利用不同坐标系表示元功 平面直角坐标系 2.平面自然坐标 o 对直线运动： （ ， ） 3．在极坐标系表示功 r O S

（三）力在有限路径上的功 O （x1,y1,z1） dA ： 位移 ： 对每一微小位移 ： 总功： ， 而变力的功等于元功 之和（代数和）。

讨论： （1）平面直角坐标下： 其中： 和 分别表示外力之 、 所做的元功之和（代数和）。 （2）直线运动： （取 轴为运动直线）

2．曲线运动（自然坐标） S0 O S ： [例1]P115 已知： 几何意义： 阴影面积（两三角形面积之差）。 原长 dx O S X0 kX1 X1 O dx S 几何意义： 阴影面积（两三角形面积之差）。

我们知道运动是复杂的，只有动量和动能一起，才能作为运动的全面量度。动量是一个矢量，而动能不是矢量。历史上曾用 §4.3 质点和质点系动能定理 我们知道运动是复杂的，只有动量和动能一起，才能作为运动的全面量度。动量是一个矢量，而动能不是矢量。历史上曾用 来量度运动，并把它称为 “ 活力”。 现在看来，少一个系数 ，是错了。但要严格地纠正还非要微分不可。 “ 活力 ” ， （一）质点的动能定理 通过功概念的讨论，我们知道，外力对物体做功，可以改变物体的运动状态。例如，瀑布自崖顶落下，是重力对流水做功，使其速度的大小增加；流水冲击水轮机做功，使叶片转动，可以用来发电（机械能 电能）；子弹穿过钢板，阻力对子弹做功（负的） 使子弹速度大小降低等。可以设想在力做功的过程中，相应地必定存在某种描述运动 状态的物理量，它的改变正好由力对物体所做的功来决定。下面从牛顿第二定律出发探 讨这问题。

在外力 设 作用下沿某一曲线运动 在自然坐标系下： 则有： 用 标乘两边： （1） 系数 在微分运算（积分）中自然出现，把出现的新的物理量 定义为质点 的动能。它由质量和速率来决定。因此是质点运动状态的函数，记作 : 称（1）式为质点动能定理的微分形式，表示动能的微分 元功， 积分可得--积分形式： 可见：外力做功 动能的增加

（二）质点系内力的功 对由多个质点组成的质点系，已知： 但 吗？ 如图所示： ： ： （ 的位矢） , 其中： 为两质点的相对元位移。 z o x y z 1 2 S 如图所示： ： ： （ 的位矢） , 其中： 为两质点的相对元位移。

由此可见：两质点间相互作用力的元功的代数和等于作用其中一个质点的力与该质点相对于另一质元的元位移的标积。 1 2 S 则有 显然，当 ，即连线方向上无相对运动时（刚体） （代数和） (三)、质点系的动能定理 个质点组成的质点系， 第i个质点： 单质点的动能定理

其中： ——————————质点系的末动能 ——————————质点系的初动能 （ ） 质点系的动能定理 [例1]P119 解： M： S O S m S [例1]P119 S 解： M：

即 ——————（1） m: ————（2） 由（2）式和（1）式得 若从整体考虑，利用质点系的动能定理求： ——————————（3） 外力做的功为： 内力做的功为： （ ） （2）和（3）联立求解：

讨论： （1） （2） （ 是相对位移的大小） 当

学习内容： 4.4 保守力与非保守力 势能 4.5 功能原理和机械能守恒定律 所做的工作： 1.学习力场，保守力，非保守力势能等概念。 2.讨论机械能的 变化规律――功能原理和机械能守恒定律。 在力学中，一谈到动能，往往同时需要考虑物体的势能。势能概念是在 保守力概念基础上提出的。所以在具体讨论势能概念之前我们先来学习力场，保守力和非保守力等概念。 4.4 保守力与非保守力，势能。 （一） 力场 一般情况下，质点所受到的外力可表现为： （1） 如果 只与质点的位置有关，即 （2） 则称 为场力，即 为空间坐标的单值矢量函数并 把场力 存在的空间叫做力场。

（1）、重力场，且在不太大的 时间范围内有场力： 物理 “场” ――物质存在的一种形式,它具有动量和能量。 在经典理学中认为：力具有超距作用， 力场概念仅限于（2）式所描述的力场。 F`（x，y，z） Y X F（x，y，z） ） R R` Z 常见的力场有： （1）、重力场，且在不太大的 时间范围内有场力： ＝恒量 （2）、静电场： 静电场力（库仑力） ： 电场强度： （3）、平行板电容器中的静电场 场强: 恒量 （4）、弹簧弹性力――――场力

非主动力，由运动状态及其他外力而定，都不是场力。 显然，（2）和（4）两种情况下，质点所受力的作用线始终通过某一固定点，称该力为有心力，并称该O为力心。另外，上述各力都只与质点的位置有关，所以，都是场力。与此相反： 洛仑兹力： 与 有关 摩镲力： 或 非主动力，由运动状态及其他外力而定，都不是场力。 与 相类似。 加速参考系的惯性力： 离心惯性力： 有心力 科氏奥里力 : 不是场力。

（二）、保守力与非保守力 以重力做功为例： 有了场力或力场的概念，我们再来讨论什么保守力和非保守力。 x y a(xa,ya) b(xb,yb) yb=hb ya=ha 以重力做功为例： 质点在重力作用下，由a――b重力做功为： (acb) (abc) 重力做功为： (acb) (abc) 表明：重力做功仅取决于质心始末高度，与质点经过路径无关。显然，凡是均匀力场其所做的功都有此性质。

的原函数。显然积分结果仅取决于上下限，即质点的始末位置， 有心力的功 x y z ro o 库仑力： r 一般情况下，取极坐标有 方向：沿 背离质点（力心） 斥力 f(r)>0 沿 指向质点（力心） 引力 f(r)>0 元功： ： 其中， 为 的原函数。显然积分结果仅取决于上下限，即质点的始末位置， 所以有心力场的功与路径无关。例如： 弹簧弹性力的功:

常见的保守力为有：重力，弹簧弹性力，静电力，有心力 静电场力的功: 库仑力: 上述几种力的功共同特点是力所做的功仅仅依赖于受力质点的始末位置，和质点的运动路径无关。力沿闭合路径所做的功为零： 3.保守力与非保守力 (1)保守力：保守力其普遍意义是，沿任意闭合路径做功为零。或者沿任意两点间力所做的功与路径无关。其数学表达式为： 或 则称 为保守力。 常见的保守力为有：重力，弹簧弹性力，静电力，有心力

(2)非保守力： 若力所做功不仅取决于受力质点的始末位置，而且和质点经过的路径 有关。或者说，力沿闭合路径所做的功不等于零。 即 (acb) (adb) 或 则称 为非保守力，如磁场力，滑动摩擦力，粘滞力等。 耗散力：做负功损耗动能的力。

（三）势能 有了力场和保守力的概念，下面我们学习势能概念。 我们已经知道，对于保守力，其功仅是质点始末位置的函数, 即 仅是 和 的函数。因此，可以找到一个位置函数 并使这个函数在始末 位置的增量 恰好等于质点所受保守力 所做的功即： 并定义：位置函数 为质点的势能。 显然， >0， <0， 例如重力，保守力。做功情况就是如上所述。 上述关于势能的定义是 由（3）式有： 积分： 其中常数 和势能的零点选取有关。若把 取为零势能点，即： ，则任一点 的势能为：

如上所述，地球内不质点间相互作用势能，在运动过程中保持不变。 即等于质点从势能零点到此位置过程中保守力所做功的负值。上式可作为势能定义的另一种叙述。 说明： 1、势能 的值与势能零点的选取有关。对不同的势能零点， 其值只相差一常数。 2、势能的改变量 与零势能点的选取无关。 3、势能属于以保守力相互作用的质点系 重力势能 属于质点和地球这个质点组所共有。 4、当讨论由几个物体构成的质点系的势能时，一般只需考虑和研究与运动有关的那部分势能。 如上所述，地球内不质点间相互作用势能，在运动过程中保持不变。 5、由 上式也可作为保守力的定义式。

（四）势能是物体相对位置的函数 在前面的讨论中，相互以保守力作用的两个质点中一个运动，一个静止。若质点系中各质点都在运动，如何讨论势能问题？ 1、两运动质点构成的质点系： 在讨论质点系内力的功时，我们得到彼此相互作用的两质点，其相互作用力的元功之和为： 相当于将其中一个质点视为“看上去”不动。力 对另一个质点在其相对位移上所做的功。 如果： 保守场力 则 只与两质点始末位置有关，与具体过程无关 这样就可以对这两个质点系引入势能的概念。 定义：质点系的势能增量： 与各质点运功路径无关，仅与各质点始末相对位置有关。 2、彼此以保守力相互作用的多个质点构成的质点系。 同理有：

４.５　功能原理和机械能守恒定律 （一）质点系的功能原理 由质点系的功能原理 质点系动能的增量等于一切外力所做功与一切内力所做功所代数和。 ＝保守力＋非保守力 如果 则有： 由于 其中 ------末机械能 -------初机械能 定义机械能：

表明：质点系机械能的增量等于一切外力和一切内非保守力所做功的代数和。称为质点系的功能原理。 结论： （1）只有外力和内非保守力做功才会引起质点系机械能的改变。 （2）内保守力做功会引起质点系动能或势能的变化，但不会引起质点系机械能的改变。 其实，功能原理与动能定理并无本质的区别，它们的区别仅在于功能原理中引入了势能而无需考虑内保守力的功。这是功能原理的优点。因为计算势能增量往往比计算功要方便的多。

（二）、质点系的机械能守恒定律 在一定过程中，若质点系机械能始终保持恒定，且只有该质点系内部动能和势能的相互转化，就称该质点系机械能守恒，机械能守恒的系统称保守系统。 由动能原理，把机械能守恒定律叙述为： 在一过程中若外力不做功，又每一对内非保守力也不做功，则质点系机械能守恒。 即： 说明： 1、外力不做功―――质点与外界没有能量交换。 2、“ 每一对内非保守力不做功 ”――并非要求成对的内非保守力中每一个力都不做功。只要求每一对内非保守力所做功的代数和为零。 3、一般情况，由于摩擦力的存在，机械能完全守恒的情况很少。但若摩擦力的非保守力的功忽略不计时，机械能守恒近似成立。

l为弹簧的自由伸展时的长度。如图取oy轴向上，o点取在弹簧自由伸展时上端所在高度。 M1 M2 F EP y1 y2 y y3 【例1】 分析题意： ( ) l为弹簧的自由伸展时的长度。如图取oy轴向上，o点取在弹簧自由伸展时上端所在高度。

1.时间短且内部相互作用很强，故可以不考虑外界影响。 2.状态变化突然且明显，适合用守恒律研究运动状态的变化。 从本章起我们开始研究碰撞问题。碰撞是物理学中研究的重要对象之一。打桩，锻压和击球，以及分子、原子间的碰撞达等都是物理学中经常遇到的碰撞问题。 特点： 1.时间短且内部相互作用很强，故可以不考虑外界影响。 2.状态变化突然且明显，适合用守恒律研究运动状态的变化。

4.6 对心碰撞 对心碰撞模型： 所谓对心碰撞指的是： 若碰撞前两球速度相反：→ V10和→ V20沿两球连心线。 若碰撞后两球速度相同：→ V10和→ V20沿两球连心线。 对心碰撞又称正碰。其碰撞过程可概括为下例几个过程： → V

M1 M2 开始接触阶段 M1 M2 相互挤压，形变阶段 碰 撞 过 程 M1 M2 （ = ）达到最大形变 M1 M2 恢复变形

关于对心碰撞的基本公式 视为同一系统： 和 (1) 故而动量守恒： 取x轴为连心线，得投影方程 ： (2) 试验表明：碰撞前相对速度相反 ∝ 或： (3) 叫做恢复系数，有两球材料的弹性决定， 其中比例系数 可通过实验（气垫导轨或导实验）测量。 又2和3两式，即在已知碰前速度的情况下求出碰撞后速度。 反之也可又2和3式求得 V10=？ V 20=？

完全弹性碰撞：查德威克发现中子 研究 =1 的情况 即 或 则由（2）式： 两式相乘得： （后）　　 （前） 两球形变势能 即系统此时碰撞前后动能不变，也就是说碰撞过程中： 无机械能损失，故称作完全弹性碰撞。（重力势能前后不变，故不考虑）

联立： （动量守恒机械能守恒） 可求得：（e=1） 讨论：(1) M1= M2 V1= V20 V2= V10 交换速度 定球： M1 M2

(2) 且 V2=0 M1 M2 V20=0 （3） ,且 M2 M1 关于中子的发现

（三） 完全非弹性碰撞 当 （e=0）,而 碰后两球不再分开，而成为一体一起运动。 称此时的碰撞为完全非弹性碰撞。此时，动量守恒律成立，但动能不守恒。 令 则有： 动量守恒定律 ，则有 讨论：（1） 动能损失为： 讨论： <i> 动能完全损失 <ii> 动能几乎不损失

整个过程分为： 碰撞过程和（M+m）整个运动过程分两个阶段。 已知： , 求 整个过程分为： 碰撞过程和（M+m）整个运动过程分两个阶段。 （1）完全非弹性碰撞 （1） （2）把（M+m）视为一点 较小， 绳中张力不做功，不可伸长，只有重力作功。 机械能守恒： （2） 联立可得：

（三）非完全弹性碰撞 当，0<e<1 （碰撞过程中只有一部分动能损掉） 说明：此时动能损失，并不是能量消失。总能量仍然是守恒的，只是以另外一种形式存在而已。 例：二铁球间深蜡而相碰，蜡烛温度升高 动能 势能 两微观粒子发生非弹性碰撞。 原子内部的能量 动能

学习内容： 4.7 非对心碰撞 4.8 质心参考系的运用，粒子的对撞 所做的工作： 1.在对心碰撞的基础上，进一步学习非对心碰撞 2.学习克尼希定理---------即在质心参考系中研究质点系的运动及碰撞问题。

4.7 非对心碰撞 1.非对心碰撞：两球碰撞前的速度 1.非对心碰撞：两球碰撞前的速度 ，及两球碰撞后的速度 都沿两球的连心线。 非对心碰撞：两球碰撞前的速度 ，及两球碰撞后的速度 不沿它们的中心连线。 （1）二维非对心碰撞： 及 均在同一平面内。 （2）三维非对心碰撞： 及 不在同一平面内。 同样道理，对于非对心碰撞，关于完全弹性碰撞。完全非弹性碰撞及非完全弹性碰撞等概念依然适用。下面仅讨论二维非对心碰撞，且碰前一个运动，一个静止。

∴碰后：两球球心都不脱离由此连心线和速度 m2 α m1 =0 2.二维非对心碰撞。（且 ） 如图所示：两表面光滑的小球 （且视为恒量） ∵表面光滑 相碰时两球的相互作用力沿两球连心线方向。即 和 由于碰撞在垂直连心线方向上运动状态不发生改变 所决定的平面，即碰撞为二 ∴碰后：两球球心都不脱离由此连心线和速度 维非对心碰撞。

如图以O点为原点建立惯性参考系，取直角坐标系 轴沿碰撞时的连心线。 ； 碰撞速度： （ ） ，由动量守恒定律，有 （1） （2） 其中： （在此方向上不受力） 由对心碰撞有沿连心线方向上有： （3） ， ） （考虑到 联立（1），（2），（3）式可求得

讨论：（1）、非完全弹性碰撞 （可视为小球为倾斜方向与平行无穷大的球------平面相碰） ） （ 即 将保持静止不动， 即 被平面反弹， 且有： 即 并非作等角反射（入射角和反射角不相等）且有： 出现机械能损失

（2） 完全弹性碰撞 1） （ 〈i〉 可得： ， 0， 即碰后， 保持沿X轴的速度， 获得 而 最初具有的沿相碰时二球连心线方向的速度 （ 把 方向的动量传递给 ） 〈ii〉 ） （ 即： 作等角反射且有动能不变。

<iii> 当 可以证明碰后： 动量守恒： 即 （e=1）动能不变： 根据勾股定理，速度三角形必然是以 为弦的直角三角形。即

4.8 质心系的运用，粒子的对撞 首先相对质心系有： 2、散射（两微观粒子相对运动而互相靠近，由于它们之间的作用力而偏转，）这类问题可视为碰撞问题来处理，在物理学中往往称作散射。 b 为瞄准距离 2 ------入射粒子 1 ------靶子 2 b θ 1 4.8 质心系的运用，粒子的对撞 通过上述讨论，学习我们知道。一般来讲碰撞有对心碰撞和非对心之分。而且非对心碰撞要比对心碰撞更复杂一些。下面我们会看到，在质心参考系中研究碰撞问题。从理论计算角度是非常方便的。 首先相对质心系有：

两质点的碰撞（两体碰撞），有动量守恒，即： =0 即 相对质心系：碰撞前后两粒子动量大小相等而且方向相反。 1、相对质心系的动能 设质心速度： 相对质心速度： O----XYZ的动能： 其中： 表明：质点系相对O----XYZ的动能等于设想质量全部集中于质心并以 运动时 动能（简称质心动能）和诸质点相对质心系的动能（简称相对动能）之和。称上式为克尼希定理。

讨论： 研究两质点相对质心系的动能。 令 为 相对于 的速度， 即 即 即 （1） 相对质心系有： （2） 联立求得：

令 为相对质心的动能，则有： 其中 称为折合质量 由此可得：相对动能等于折合质量与相对速度平方乘积的一半。 于是有： 上述适合任何两质点的运动，是克尼希定理在两质点希的特殊形式。

讨论： -----质心的动能不变。 （1）碰撞过程中，常不计外力，故有 =恒矢量 ，且 当 动能由相对动能 给出。 时， 时， 当 （完全非弹性碰撞） 完全损失转换成另一种形式的能量。 （2）在高能物理中 往往通过碰撞揭示物质的微观结构及粒子间相互作用。 加速度的建立。。。。。。。。达此目的。 不是对撞 （有关内容请同学们自学） 又称有效能量

固定靶 有效能量 对撞 为什么采用对撞（正碰）？ 对撞 固定靶碰撞

习题课 4.2.4 证明： 线不可伸长 恒量 的大小不变方向改变。 由线不伸长： 且：

显然方向竖直向上，且其运动为变加速直线运动。以 A点为质点取直角坐标系，对直线运动有。 B 0.5 X Y α 4.3.2 已知：m=1.2kg 杆光滑，环光滑。求m到达B点时的速度 显然方向竖直向上，且其运动为变加速直线运动。以 A点为质点取直角坐标系，对直线运动有。 其中：

4.3.7 如图把圆柱体，地球和框架视为一个整体。 运动过程中 外力 都不做功 由质点系的功能原理： 其中 =0.5 =0.2kg EP=0 运动过程中 外力 都不做功 由质点系的功能原理： =0.5 =0.2kg =0.2m =200N 其中 ( )

4.5.11 （1）自由下滑 , 不计摩擦 运动是和地球视为研究力学系统，则系统机械能守恒。 （2）运动物体水平方向做匀速直线运动竖直方向做竖直上抛运动。 竖直： 水平： 问题：d是否等于 ？ （3）

4.5.37 已知 显然运动过程中系统机械能守恒，且有 O a A R B D C 其中： （1） （2）

4.6.27 (1)非完全弹性碰撞过程 动量守恒： 动能定理：

4.6.57 (1)非完全弹性碰撞过程 30cm EP=0 H (2) 机械能守恒 其中

重力，弹簧弹性力均为保守力。故有系统机械能守恒 O A mg Ep=0 m c 4.5.27 已知： 弹簧自然长度 重力，弹簧弹性力均为保守力。故有系统机械能守恒

4.6.67 求弹簧最大压缩量 vo m3 m1 m2 (1)动量守恒 由机械能守恒： 由动量守恒：

分析题意： 第一次碰撞有 ，至少发生两次碰撞。 4.6.87 分析题意： A B 已知 第一次碰撞有 当且仅当 ，至少发生两次碰撞。 即要求： 即

分两个过程 1.两个车厢的完全非弹性碰撞。 (3) 4.6.107 分两个过程 1.两个车厢的完全非弹性碰撞。 M X 2.系统各部由运动到静止。 （两车厢组成系统） (1) (2) (3) 由（1），（2），（3）式可得

4.6.97 以铁箱为参考系-------惯性系 运动， B A C D 以铁箱为参考系-------惯性系 相对于铁箱参考系，有钢球以 运动， 碰后速度大小 不变，仍为 钢球与壁相碰。

4.7.17 动量守恒： Y X X： Y： 机械能守恒： （1） （2） （3）

4.7.27 如图已知： 碰后：滑行距离： 求：（1）动量守恒 则有： 向东行驶的切诺基汽车违规超速行驶。

y x