第二章 质点动力学 守 恒 定 律

引言 牛顿第二定律力与运动的 瞬时关系式： 微分形式： 力作用于物体，维持一定的时间、空间，物体运动情况如何？ 力对物体运动的积累关系式 牛顿第二定律的积分形式

一、动量定律，动量守恒定律 1、质点的动量定律 牛顿第二定律的积分形式 由 动量： （方向： ）

力对时间的冲量 （方向： ） 冲量是力对时间的积累作用 质点动量定律: 质点在 至 时间内，外力作用在质点上的冲量等于质点在同一时间内动量的增量。 讨论： （1）牛顿第二定律的一种积分形式

（2）直角坐标系中，定理分量式 （3）冲力，平均冲力 冲力: 量值大，变化快，作用时间短的变力

设 n 个质点组成的质点系，其中第 个质点受外力为 ，内力为 ，由第二定律得 平均冲力： 2、质点系动量定理 几个概念 质点系，外力，内力 设 n 个质点组成的质点系，其中第 个质点受外力为 ，内力为 ，由第二定律得

对所有质点求和 因内力成对出现，则 ；等式两边积分

质点系动量定律：作用于系统的合外力的冲量等于系统总动量的增量。 可写成 质点系动量定律：作用于系统的合外力的冲量等于系统总动量的增量。 讨论： (1)系统的内力不能改变系统的总动量。 定理中不出现系统的内力，因此研究某些力学问题甚为方便。

（2）质点系动量定律可写成 或 即作用于质点系的合外力等于质点系的总动量随时间的变化率。 （微分形式） 3、质点系动量守恒定律： 则 若

动量守恒定律： 当系统合外力为零时，系统的总动量保持不变。 讨论： （1）合外力为零或不受外力作用系统总动量保持不变。 （2）合外力不为零，但合力在某方向分量为零，则系统在该方向上的动量守恒。 （3）系统的内力远大于外力，可忽略外力，系统动量可视为守恒。

例题1、质量为 ，速率为 的钢球，以与钢板法线呈 角的方向撞击钢板，并以相同的速率和角度弹回。设球与钢板碰撞时间为 ，求钢板受到的平均冲力。 解：由质点动量定律，得钢球 取图示坐标系，则

钢球平均冲力为 钢板受平均冲力为 本例题可以用矢量方法直接求得，图示矢量三角形，得

例题2、在光滑平面上一质量为 速度为 的物体，突然炸裂成质量为 和 两块物体。设 且 ，求 的速度 。

解： 分析：内力远大于外力，动量守恒。 取oxy坐标系，得分量式 解得 同样可用矢量方法直接求出（图示）

例题3、质量为 的人手中拿着一质量为 的物体。此人用与水平面成 角的速率 向前 跳去，当他到达最高点时，他将物体以相对于人为 的水平速率向后抛出，问由于抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？ 解： 分析在最高位置时，系统水平方向的动量守恒 以地面为参考系，取图示坐标

设人向后抛出物体后水平速率为 ，则 （哪一式是正确的？） 则

例题4、系统内质量移动的问题（变质量问题） 飞行中喷出燃气等运动，由于质量的改变，应用牛顿第二定律较繁琐，而质点系动量定理对这类问题的研究提供了方便 如从桌面上提起柔软绳子，火箭

例4 长为 l、质量为 m 的柔软绳盘在水平面上。用手将绳的一端以恒定速率 v0 向上提起，求当提起高度为 x 时手的提力。 分析：由于被提起的绳的质量是随提起的高度变化的，在 t 时刻到 t +Δt 时刻系统动量有变化，根据动量定理，可求出手的提力。 v0 x 解：以整个绳索为研究对象，它共受到三个力的作用：重力 G、台面支持力 N 和手的提力 F。在这三个力的共同作用下，系统的动量在不断的变化。

在 t 时刻，当绳索提高 x 时系统的动量为： 在 t + dt 时刻，绳索提起 x + dx，系统的动量为： 由动量定理：

N 只与剩在台面上的绳索的质量有关，即 注意：式中第一项是长为 x 的绳索的质量，第二项是系统动量增加所需要的附加力。

靠其内部燃烧室中产生的气体来获得向前的推力的。 例5 火箭的运动： 火箭是依 靠其内部燃烧室中产生的气体来获得向前的推力的。 设火箭在 时刻的质量为 ，速度为 时刻 时间内，有燃气 以相对火箭速度 喷出，速度增加到 时刻 设系统合外力 ，则由动量定理得

其中 设火箭高空飞行时 则 选取 的方向为正向 为起始时刻 火箭的质量 为火箭燃料用完后的的质量式中 称为质量比

采用多级火箭，提高火箭速度 讨论： 设

航天飞行器都是依靠火箭发射的。然而，作为发射航天飞行器的基础技术——火箭，却是古代中国劳动人民发明创造的。 ◆中国人最早发明火箭 航天飞行器都是依靠火箭发射的。然而，作为发射航天飞行器的基础技术——火箭，却是古代中国劳动人民发明创造的。 火药是古代中国的四大发明之一。秦汉的炼丹术士们把五金、八石、硝石、三黄等混合共炼，发明了火药。 经过配方和工艺的改进，明代成为中国古代火箭技术运用的全盛时期。火箭武器种类繁多，著名的有震天雷，一窝蜂，神火飞鸦，飞空砂筒，火龙出水等。

现代多级火箭的始祖 火药：喷气飞行的推进剂和摧毁敌人舰船的爆炸物 1981年，在加拿大渥太华市举办的中国古代传统工艺展览会上展出了“火龙出水”模型。许多外国学者观看之后，都惊叹中国古代军事科学家的聪明才智，认为这种以火箭为动力，飞翔于水面上的海战武器，可以说是现代鱼雷的雏型。还应当看到，火龙出水的发射原理跟现代两级火箭发射的原理是相同的，也可以说它是现代多级火箭的始祖。

◆我国现在的火箭技术已达到世界先进水平。 ◆最早的火箭载人飞行试验也发生在中国 14世纪末(明朝)，一勇敢者万虎坐在装有47个当时最大的火箭的椅子上，双手各持一大风筝，试图借助火箭的推力和风筝的升力实现飞行的梦想。尽管这次试验失败了（箭毁人亡），但万虎被公认是尝试利用火箭飞行的世界第一人。1959年，为了纪念万虎，人们以他的名字命名了月球的一座环形山，美国的火箭专家赫伯特·基姆也撰文记载他的事迹，在美国的航空和航天博物馆中也标示着：“最早的飞行器是中国的风筝和火箭”。 ◆我国现在的火箭技术已达到世界先进水平。 继美国，俄罗斯之后，我国成功的发射了载人航天飞行的 “神舟7号”(2008. 9. 15)，标志着我国载人飞船技术已经达到国际第三代载人飞船的水平。

四、功 1、功 复习： 质点在变力作用下，沿曲线路径 在直角坐标系中

功的性质 （1）功是力对空间的积累作用，是标量 （2）合力的功等于各分力的功的代数和 （3）功是过程量：功总是和质点的某个运动过程相联系

2、重力、引力、弹性力的功 （1）重力作功 物体 沿路径 过程中重力的功 重力作功，只与运动物体起点、终点的位置有关，与路径无关 （2）万有引力作功

图示物体 在另一物体 (固定不动）的引力作用下，沿路径 过程中引力的功 式中 （请注意 ！）

万有引力做功只与物体起点、终点位置有关，而与经历的路径无关 （3）弹性力作功 设弹簧原长为坐标原点 ，物体由 运动到 的过程中弹性力作功

弹性力作功也是与物体起点、终点位置有关，而与经历的路径无关 3、保守力 力作功的大小只与物体始末位置有关，而与所经历的路径无关，这类力称为保守力 如：重力，弹性力，万有引力，静电力…. 因此，保守力有 定义2：一质点相对于另一质点沿闭合路径移动一周时，它们之间的保守力做的功必然是零。

对沿闭合路径ACBDA运动一周的物体做功为 （路径L1） （路径L2） 对沿闭合路径ACBDA运动一周的物体做功为 物体沿闭合路径运动一周时，保守力做功为零

4、势能 （1）势能引入 保守力的功可以用两项之差 的形式表示，每项都是与相互作用物体的位置有关，因此引入一个与物体位置有关的能量。 引力势能 重力势能 弹性势能

因此可以得到保守力的功与势 能的关系式 （2）势能的讨论 势能是属于存在保守内力的系统的，具有保守力才能引入势能的概念。 势能是状态的函数。 势能值的相对性与势能差的绝对性。

（3）势能曲线：势能随物体间相对位置变化的曲线 由势能曲线或势能函数可以 研究分析物体间的保守力和物体的运动情况 由此可分析 的大小和方向

Fl 由势能函数求保守力 由势能定义： A B Fl 表明：保守力沿某一给定方向的分量等于与此保守力相应的势能函数沿该方向的空间变化率的负值。

◆ 引力 根据引力势能的公式，可得引力沿 r方向的投影为： ◆ 弹力 根据弹簧的弹性势能的公式，可得弹力沿伸长方向的投影为：

一般而言，势能函数是位置坐标的多元函数： Ep ( x, y, z ) 由势能求保守力的最一般公式 势能函数的梯度（矢量）

五、功能关系 1、质点动能定理 由牛顿第二定律 合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量。

讨论： （1）动能定理是牛顿第二定律的另一种积分形式 （2）动能定理反映了过程量与状态量动能的关系 2、质点系动能定理 系统内有 个质点，作用于各质点的力作功分别为 ，各质点初动能 改变为

作用在质点系的力所作的功，等于质点系的动能增量 作用于系统的力由内力和外力，则

3、质点系的功能原理 系统的内力有保守内力和非保守内力，则 前面讨论知 将质点动能定理写成 作用于质点系的外力和非保守内力所作的功，等于系统的机械能的增量。

4、机械能守恒定律 若 则 5、能量守恒定律 一半径为 的四分之一圆弧垂直固定与地面上，质量为 的小物体从最高点 由静止下滑至 点处的速度为 ，求摩擦力所作的功 例题1、

解：方法一： 应用牛顿第二定律，由功的定义求解 在 点处物体受力如图，取自然坐标系得切向分量式 所以

方法二：应用质点动能定理求解 支持力 不作功，则

方法三：应用功能原理求解 系统：物体，圆轨道，地球 取 点处为重力势能零点，由功能原理得 讨论：试比较上述三种方法

例题2、宇宙速度的计算 第一宇宙速度：由地面处发射使物体环绕地球运动，所需的最小速度。 设于地球表面处 发射速度为 的物体，到达距地面高度为 处，以速度 绕地球作匀速圆周运动，系统机械能守恒（为什么？）

设地球质量为 又由第二定律，得 解得 则

当 (或 ） 第二宇宙速度(逃逸速度)：使物体脱离地球引力范围所需的最小速度 物体脱离地球引力时，引力势能为零，所以由机械能守恒得

对任一星球，若要脱离其引力范围的最小速度。 黑洞的讨论 对任一星球，若要脱离其引力范围的最小速度。 为该星球质量 为星球半径 若 （光速） 则任何物体都不可 能从该星球中逃逸出来。 http://video.yayun2010.sina.com.cn/v/b/59597218-1047453724.html

例题3、完全弹性碰撞，完全非弹性碰撞 设质量为 ，速度为 和 的弹性小球，沿直线运动，求两球完全弹性碰撞后的速度 和 取ox轴，沿x轴方向动量守恒 解： 能量守恒定律有

解得 讨论 （1） 且 ，则

（2） 且 ，则 （3）

完全弹性碰撞 （五个小球质量全同）

例题4、一轻质弹簧 挂一质量 为 的圆盘时，伸长 ，一个 质量为 的油质球从离盘 高 处由静止下落到盘上，然后与 盘一起向下运动，求向下运动的最大距离 。 解：本题可分为三个运动过程，每一过程运用相应的规律。 泥球，圆盘，弹簧和地球为系统 本题选择：

明确各个过程： 自由下落 与 碰撞 与 共同向下运动 （1） 自由下落有 （2） 与 相碰撞，系统动量守恒（为什么？）

（3） 和 共同向下运动，运动过程机械能守恒(为什么？) 选重力势能零点：最底点(B) 选弹性势能零点：弹簧自然 长度处(A) 有 解得

小结：应用守恒定律解题时的思路与用牛顿定律解题不同 （1）无需具体分析系统中间过程的受力细节。 （2）守恒定律形式中只涉及到系统的始末状态物理量。 （3）解题步骤大致是：选系统，明过程，审条件，列守恒，解方程。