流体力学与流体机械 (二) 多媒体教学课件 李文科 制作

第二章 流体静力学 概 述 流体静力学研究的内容 第一节 作用在流体上的力 第二节 流体的静压力及其特性 第三节 流体平衡微分方程和等压面 第二章 流体静力学 概 述 流体静力学研究的内容 第一节 作用在流体上的力 第二节 流体的静压力及其特性 第三节 流体平衡微分方程和等压面 第四节 流体静力学基本方程 第五节 绝对压力、相对压力和真空度

第二章 流体静力学 第六节 浮力作用下气体静力学基本方程 第七节 液柱式测压计原理 第八节 液体的相对平衡 第二章 流体静力学 第六节 浮力作用下气体静力学基本方程 第七节 液柱式测压计原理 第八节 液体的相对平衡 第九节 静止液体作用在平面上的总压力 及压力中心 第十节 静止液体作用在曲面上的总压力

第二章 流体静力学 流体静力学是研究静止状态下的流体在外力作用下的平衡规律，以及这些规律的实际应用。 第二章 流体静力学 流体静力学是研究静止状态下的流体在外力作用下的平衡规律，以及这些规律的实际应用。 宇宙万物都处在不停的运动之中，真正静止的物体是不存在的。但是，从工程应用的角度来看，在多数情形下，忽略地球自转和公转的影响，而把地球选作惯性参照系，对于研究问题的结果还是足够精确的。当物体相对于惯性参照系没有运动时，我们便说该物体处于静止状态或平衡状态。如果我们选择本身具有加速度的物体作为参照系，即非惯性参照系，当物体相对于非惯性参照系没有运动时，便说它处于相对静止或相对平衡状态。对于研究流体宏观机械运动的流体力学来说，也是如此。

第二章 流体静力学 既然处于静止或相对静止状态的流体对参照系没有运动，则实际流体的粘性作用表现不出来，切应力τ=0。所以本章所讨论的流体平衡规律，不论是对理想流体，还是对实际流体都是适用的。

第一节 作用在流体上的力 内 容 提 要 一、 表面力及其表示方法 二、 质量力及其表示方法

第一节 作用在流体上的力 作用在流体上的力可分为两大类：表面力和质量力。 一、表面力及其表示方法 第一节 作用在流体上的力 作用在流体上的力可分为两大类：表面力和质量力。 一、表面力及其表示方法 表面力是指作用在所研究的流体的表面上，并且与流体的表面积成正比的力。也就是该流体体积周围的流体或固体通过接触面作用在其上的力。表面力不仅是指作用在流体外表面上的力，也包括作用在流体内部任一表面上的力。 表面力一般可分解成两个分力，即与流体表面垂直的法向力P和与流体表面相切的切向力T。在连续介质中，表面力不是一个集中的力，而是沿着表面连续分布的。因此，在流体力学中，常用单位表面积上所作用的表面力—法向应力和切向应力来表示，其单位为N/m2。

第一节 作用在流体上的力 由粘性所产生的内摩擦力和流体受到的固体壁面的摩擦力，以及固体壁面对流体的压力等都是表面力。 第一节 作用在流体上的力 由粘性所产生的内摩擦力和流体受到的固体壁面的摩擦力，以及固体壁面对流体的压力等都是表面力。 如图2-1所示，在流体中任取一体积为V，表面积为A的流体作为研究对象，所取的这部分流体以外的流体或固体通过接触面必定对该部分流体产生作用力。在分离体表面的a点取一微元面积ΔA，作用在ΔA上的表面力为ΔF，将ΔF分解为沿法线方向n的法向力ΔP和沿切线方向τ的切向力ΔT，当ΔA缩小趋近于点a时，便得到作用在a点的法向应力p和切向应力τ，即 (2-1) (2-2)

第一节 作用在流体上的力 流体的压力p就是指作用在单位面积上的法向应力的大小。 图2-1 作用在流体上的表面力

第一节 作用在流体上的力 二、质量力及其表示方法 第一节 作用在流体上的力 二、质量力及其表示方法 质量力是指作用在流体的所有质点上，并且和流体的质量成正比的力。它可以从远距离作用于流体内每一个流体质点上。对于均匀流体，质量力又与流体的体积成正比，因此，质量力又称为体积力。例如，在重力场中由地球对流体全部质点的引力作用所产生的重力；带电流体所受的静电力，以及有电流通过的流体所受的电磁力等都是质量力。当我们应用达朗伯原理去研究流体的加速运动时，虚加在流体质点上的惯性力也属于质量力。惯性力的大小等于质量乘以加速度，其方向与加速度的方向相反。

第一节 作用在流体上的力 质量力的大小常以作用在单位质量流体上的质量力，即单位质量力来度量。单位质量力通常用 来表示。 第一节 作用在流体上的力 质量力的大小常以作用在单位质量流体上的质量力，即单位质量力来度量。单位质量力通常用 来表示。 在直角坐标系中，设质量为m的流体所受的质量力为F，它在各坐标轴上的投影分别为Fx、Fy、Fz，则单位质量力f在各坐标轴上的分量分别为  (2-3) 则 (2-4) 单位质量力及其在各坐标轴上的分量的单位是N/kg或m/s2，与加速度的单位相同。如在重力场中，对应于单位质量力的重力数值就等于重力加速度g，其单位为m/s2。

第二节 流体的静压力及其特性 内 容 提 要 1、流体静压力的概念 2、流体静压力的基本特性

第二节 流体的静压力及其特性 在流体内部或流体与固体壁面间所存在的单位面积上的法向作用力称为流体的压力。当流体处于静止或相对静止状态时，流体的压力就称为流体的静压力。 流体的静压力具有两个基本特性： 特性一：流体静压力的方向与作用面相垂直，并指向作用面的内法线方向。 特性二：静止流体中任一点流体静压力的数值与作用面在空间的方位无关，只是该点坐标的函数。也就是说，在静止流体中任一点处各方向的流体静压力均相等。 下面就来证明这两个特性，根据流体的特性可知，流体不能够承受拉力(表面层的表面张力除外)，在微小的剪切力作用

第二节 流体的静压力及其特性 下也会发生变形，变形必将引起流体质点的相对运动，这就破坏了流体的平衡。因此，在平衡条件下的流体不能承受拉力和切力，只能承受压力，而压力就是沿内法线方向垂直作用于作用面上。这就证明了流体静压力的第一个特性。如图2-2所示，静止流体对容器的静压力恒垂直于器壁。 为了证明第二个特性，在静止流体中取出直角边长各为dx、dy、dz的微元四面体ABCD，如图2－3所示。假设作用在△ACD、△ABD、△ABC和△BCD四个平面上的平均流体静压力分别为px、py、pz和pn，pn与x、y、z轴的夹角(亦即斜面△BCD的法线n与x、y、z轴的夹角)分别为α、β、γ。由于静止流体不存在拉力和切力，因此作用在静止流体上的表面力

第二节 流体的静压力及其特性 图2-2 静压力恒垂直于器壁 图2-3 微元四面体受力分析

第二节 流体的静压力及其特性 只有压力。作用在各面上流体的总压力分别为 (dAn为△BCD的面积) 第二节 流体的静压力及其特性 只有压力。作用在各面上流体的总压力分别为 (dAn为△BCD的面积) 除了表面力外，还有作用在微元四面体流体微团上的质量力，该质量力分布在流体微团的全部质点中，设流体微团的平均密度为ρ，而微元四面体的体积为dV=dxdydz/6，则

第二节 流体的静压力及其特性 微元四面体内流体质量为dm=ρdxdydz/6。假设作用在流体上的单位质量力f在各坐标轴上的分量分别为fx、fy、fz，则作用在微元四面体上的总质量力W在各坐标轴上的分量分别为 由于流体的微元四面体处于平衡状态，故作用在其上的一切力在各坐标轴上投影的总和等于零。对于直角坐标系，则有

第二节 流体的静压力及其特性 ΣFx=0，ΣFy=0，ΣFz=0 在x轴方向上力的平衡方程为 把Px、Pn和Wx的各式代入得 第二节 流体的静压力及其特性 ΣFx=0，ΣFy=0，ΣFz=0 在x轴方向上力的平衡方程为 把Px、Pn和Wx的各式代入得 由于dAncosα=dydz/2，代入上式并简化得 当微元四面体以A点为极限时，dx、dy、dz都趋近于零，则上式成为

第二节 流体的静压力及其特性 同理可证 所以 (2-5) 第二节 流体的静压力及其特性 同理可证 所以 (2-5) 由于n的方向是完全可以任意选取的，则式(2-5)表明：从各个方向作用于一点的流体静压力大小是相等的。也就是说，作用在一点的流体静压力的大小与该点处的作用面在空间的方位无关。从而证明了流体静压力的第二个特性。 虽然流体中同一点的各方向的静压力相等，但空间不同点的静压力则可以是不同的。因流体是连续介质，所以流体静压力应是空间点的坐标的连续函数。即 p=p(x，y，z)

第三节 流体平衡微分方程和等压面 内 容 提 要 一、 流体平衡微分方程 二、 有势质量力及力的势函数 三、 等压面及其特性

第三节 流体平衡微分方程和等压面 一、流体平衡微分方程 第三节 流体平衡微分方程和等压面 一、流体平衡微分方程 静止流体在外力作用下，其内部形成一定的压力分布，为了弄清外力作用下静止流体内的压力分布规律，并用来解决工程实际问题，首先需要建立流体平衡微分方程式。 如图2-4所示，从静止流体中取出一边长分别为dx、dy、dz的微元平行六面体，其中心点为a，坐标为(x，y，z)，该点的流体静压力为p=p(x，y，z)。 作用在平衡六面体上的力有表面力和质量力。由于流体处于平衡状态，所以没有切应力，故表面力只有沿内法线方向作用在六面体六个面上的静压力。 过a点作平行于x轴的直线交左右两平面的中心b、c两点。

第三节 流体平衡微分方程和等压面 图2-4 平衡微元平行六面体及x方向的受力

第三节 流体平衡微分方程和等压面 由于静压力是点的坐标的连续函数，所以在b、c两点上的静压力按泰勒级数展开后，并略去二阶以上的无穷小量，分别等于 和 。由于六面体的面积都是微元面积，故可把这些压力视为作用在这些面上的平均压力。此外，设微元六面体流体的平均密度为ρ，流体的单位质量力为 ，它在各坐标轴上的分量分别为fx、fy、fz。则微元六面体的质量力沿x轴的分力为fxρdxdydz。由于微元六面体处于平衡状态，则有ΣFx=0，ΣFy=0，ΣFz=0。在x轴方向上 或

第三节 流体平衡微分方程和等压面 如果用微元体的质量ρdxdydz去除上式，则得到单位质量流体在x方向上的平衡方程  同理可得 (2-6) 第三节 流体平衡微分方程和等压面 如果用微元体的质量ρdxdydz去除上式，则得到单位质量流体在x方向上的平衡方程    同理可得 (2-6) 写成向量形式 (2-6a) 这就是流体平衡微分方程式。它是欧拉在1755年首先提出的，所以又称为欧拉平衡微分方程式。

第三节 流体平衡微分方程和等压面 欧拉平衡微分方程的物理意义为：当流体平衡时，作用在单位质量流体上的质量力与压力的合力相互平衡，它们沿三个坐标轴的投影之和分别等于零。欧拉平衡微分方程是流体静力学最基本的方程，它可解决流体静力学中许多基本问题。 在圆柱坐标系下流体的平衡微分方程式的形式为 (2-7)

第三节 流体平衡微分方程和等压面 上式中fr、fθ、fz分别为单位质量力在径向r、切向θ和轴向z上的分量。 第三节 流体平衡微分方程和等压面 上式中fr、fθ、fz分别为单位质量力在径向r、切向θ和轴向z上的分量。 在推导欧拉平衡微分方程的过程中，对质量力的性质及方向并未作具体规定，因而本方程既适用于静止流体，也适用于相对静止的流体。同时，在推导中对整个空间的流体密度是否变化或如何变化也未加限制，所以它不但适用于不可压缩流体，而且也适用于可压缩流体。另外，流体是处在平衡或相对平衡状态，各流层间没有相对运动，所以它既适用于理想流体，也适用于粘性流体。 为了便于积分和工程应用，流体平衡微分方程式可以改写为另一种形式，即全微分形式。

第三节 流体平衡微分方程和等压面 现将式(2-6)中各分式分别乘以dx、dy、dz，然后相加得 因为压力p是坐标的连续函数，故p的全微分为 第三节 流体平衡微分方程和等压面 现将式(2-6)中各分式分别乘以dx、dy、dz，然后相加得 因为压力p是坐标的连续函数，故p的全微分为 于是，流体平衡微分方程式(2-6)又可表示为 (2-8) 这就是直角坐标系下流体平衡微分方程的全微分形式。 同样，对于圆柱坐标系下流体平衡微分方程式的全微分式为 (2-9)

第三节 流体平衡微分方程和等压面 二、有势质量力及力的势函数 根据场论的知识，有势质量力及力的势函数有如下定义： 第三节 流体平衡微分方程和等压面 二、有势质量力及力的势函数 根据场论的知识，有势质量力及力的势函数有如下定义： 设有一质量力场 ，若存在一单值函数U(x，y，z)，满足 ，则称该质量力场为有势力场，力 称为有势质量力，函数U(x，y，z)称为该力场的势函数。 由流体平衡微分方程式(2-6a)可以看出，如果流体为不可压缩流体，其密度ρ=常数，则存在一单值函数U(x，y，z)，满足 所以，根据有势质量力的定义，可以得出这样的结论：“凡满足不可压缩流体平衡微分方程的质量力必然是有势力。”

第三节 流体平衡微分方程和等压面 或者说：“不可压缩流体只有在有势质量力的作用下才能够处于平衡状态。” 第三节 流体平衡微分方程和等压面 或者说：“不可压缩流体只有在有势质量力的作用下才能够处于平衡状态。” 上式中U=U(x，y，z)为力的势函数，质量力 为有势质量力。由于 因此可得 (2-10) 上述向量式的两边同时点乘以 ，得  (2-11)

第三节 流体平衡微分方程和等压面 上式表明，力的势函数的全微分dU为单位质量力 在空间移动 距离所做的功。可见，有势质量力所做的功与路径无关。 比较式(2-8)和式(2-11)可得 dp=ρdU 或 p=ρU+C (2-12) 上式即为不可压缩流体内部静压力p与力的势函数U之间的关系式，积分常数C可由边界条件确定。

第三节 流体平衡微分方程和等压面 三、等压面及其特性 第三节 流体平衡微分方程和等压面 三、等压面及其特性 静止流体中压力相等的各点所组成的面称为等压面。例如液体与气体交界的自由表面就是最明显的等压面，其上各点的压力都等于液面上气体的压力。既然在等压面上各点的压力都相等，则可用p(x，y，z)=C来表示。在不同的等压面上其常数C的值是不同的，而且流体中任意一点只能有一个等压面通过。所以流体中可以作一系列的等压面。在等压面上dp=0，代入(2-8)式，可得到等压面微分方程为 (2-13)

第三节 流体平衡微分方程和等压面 等压面具有以下三个重要特性： (1)不可压缩流体中，等压面与等势面重合。 第三节 流体平衡微分方程和等压面 等压面具有以下三个重要特性： (1)不可压缩流体中，等压面与等势面重合。 所谓等势面就是力的势函数U(x，y，z)=C的面。由式(2-12)可以看出，对于不可压缩流体，等压面也就是等势面。 (2)在平衡流体中，作用于任一点的质量力必定垂直于通过该点的等压面。 在等压面上某点任取一微元弧段 ，作用在该点上的质量力为 (如图2-5)，由等压面微分方程式(2-13)可知， ，因此 与 必定垂直，这就说明，作用在平衡流体中任一点的质量力必定垂直于通过该点的等压面。由等压面的这一特性，我们就可以根据作用在流体质点上的质量

第三节 流体平衡微分方程和等压面 力的方向来确定等压面的形 状。或者由等压面的形状去 确定质量力的方向。例如， 对于只有重力作用的静止流 第三节 流体平衡微分方程和等压面 力的方向来确定等压面的形 状。或者由等压面的形状去 确定质量力的方向。例如， 对于只有重力作用的静止流 体，因重力的方向总是垂直 向下的，所以其等压面必定 是水平面。 (3)两种互不相混的流 图2-5 质量力与等压面的关系 体处于平衡状态时，其分界面必定为等压面。如处于平衡状态下的油水分界面、气水分界面等都是等压面。

第四节 流体静力学基本方程 内 容 提 要 1、重力流体的概念 2、流体静力学基本方程的形式 3、流体静力学基本方程的物理意义 第四节 流体静力学基本方程 内 容 提 要 1、重力流体的概念 2、流体静力学基本方程的形式 3、流体静力学基本方程的物理意义 4、流体静力学基本方程的使用条件 5、基准面的选取和等压面的确定

第四节 流体静力学基本方程 欧拉平衡微分方程式是流体静力学的最一般的方程组，它代表流体静力学的普遍规律，它在任何质量力的作用下都是适用的。但在自然界和工程实际中，经常遇到的是作用在流体上的质量力只有重力的情况。作用在流体上的质量力只有重力的流体简称为重力流体。现在我们就来研究质量力只有重力的静止流体中的压力分布规律。 如图2-6所示，坐标系的x轴和y轴为水平方向，z轴垂直向上。因为质量力只有重力，故单位质量力在各坐标轴上的分量为 此处g为重力加速度，它代表单位质量流体所受的重力。

第四节 流体静力学基本方程 图2-6 重力作用下的静止流体

第四节 流体静力学基本方程 因为重力加速度的方向垂直向下，与z轴方向相反，故式中加一“—”号。将上述质量力各分量代入压力微分方程式(2-8)得 或写成 对于不可压缩流体，γ=常数。积分上式得 (2-14) 或 (2-14a) 式中C为积分常数，可由边界条件确定。 这就是重力作用下的流体平衡方程，通常称为流体静力学基本方程。它适用于平衡状态下的不可压缩均质重力流体。

第四节 流体静力学基本方程 对于在静止流体中任取的1和2两点，它们的垂直坐标分别为z1和z2，静压力分别为p1和p2(见图2-6)。则式(2-14)可以写成 (2-15) 流体静力学基本方程的物理意义，即力学意义、能量意义和几何意义： 力学意义：式(2-14a)中γz为单位底面积、z高度的流体柱具有的重力，称为位压；p为单位面积上流体所受的压力，称为静压，即流体的静压力。它们的单位都是牛顿/米2。式(2-14a)表明，平衡状态下的不可压缩重力流体所受到的位压和静压彼此平衡。

第四节 流体静力学基本方程 能量意义：式(2-14)中的 z表示单位重量流体相对于某一基准面的位能，称为比位能。从物理学得知，把质量为m的物体从基准面提升一定高度z后，该物体所具有的位能是mgz，则单位重量物体所具有的位能为：(mgz)/(mg)=z。 式(2-14)中的 p/γ表示单位重量流体的压力能，称为比压力能。因为压力为p、体积为V的流体所做的膨胀功为pV，则单位重量物体所具有的压力能为：pV/G=p/γ。 比位能z和比压力能p/γ的单位都是焦耳/牛顿。 关于比压力能的概念，可参照图2-7作进一步解释：将图中右侧玻璃管上端封闭，并抽成真空(p'0=0)。然后与大容器相连，在开孔处液体静压力p的作用下，液体进入测压管克服

第四节 流体静力学基本方程 重力作功，在管中上升一定的高度hp，从而增加了液柱的位能。所以称为p/γ为单位重量流体的压力能(比压力能)，它的大小恰好等于液柱上升的高 度hp，即hp=p/γ。 比位能与比压力能之和 (p/γ+z)称为单位重量流体 的总势能。所以式(2-14)表 示在重力作用下静止流体中 各点的单位重量流体的总势 能是相等的。这就是静止流 体中的能量守恒定律。 图2-7 闭口测压管中液柱上升高度

第四节 流体静力学基本方程 几何意义：式(2-14)中的z为流体质点距某一基准面的高度，称为位置高度，或称为几何压头或位压头；式(2-14)中的p/γ表示单位重量流体的压力能与一段液柱的高度相当，称之为压力高度，或称为压力压头或静压头。它们的单位都是米。位压头与静压头之和(p/γ+z)称为测压管压头。因此式(2-14)也表示静止流体中各点的测压管压头都是相等的。如图2-8所示,图中AA线或A'A'线称为测压管压头线，它们都是水平线。

第四节 流体静力学基本方程 图2-8 静止流体的测压管压头线

第四节 流体静力学基本方程 在工程实际中，常常需要计算有自由液面的静止液体中任意一点的静压力。为此，可取自由液面为基准面，向下取液体深度h为垂直坐标(如图2-6)。由于深度h的方向与z轴的方向相反，所以dh=-dz，于是 dp=-ρgdz=γdh 对于不可压缩流体，γ=常数。积分上式得 p=γh+C (2-16) 式中C为积分常数，可由边界条件确定。因为当h=0时，p=p0为自由液面上的气体压力，则C=p0，代入上式得  (2-17)

第四节 流体静力学基本方程 式(2-17)为流体静力学基本方程的另一种形式，通常又称为水静力学基本方程。由它得到以下四个重要结论： 第四节 流体静力学基本方程 式(2-17)为流体静力学基本方程的另一种形式，通常又称为水静力学基本方程。由它得到以下四个重要结论： (1)在重力作用下的静止液体中，静压力p随深度h按线性规律变化。即随深度h的增加，液体静压力p值随之成正比地增大。 (2)静止液体内任一点的静压力由两部分组成：一部分是自由液面上的压力p0；另一部分是底面积为1，深度为h、重度为γ的一段液体柱的重量γh。 (3)在静止液体中，位于同一深度(h=常数)的各点的静压力都相等。即静止液体内任一水平面都是等压面。 (4)静止液体表面上所受到的压力p0(即外部压力)，能够

第四节 流体静力学基本方程 大小不变地传递到液体内部的每一点上去。此即帕斯卡定律。 第四节 流体静力学基本方程 大小不变地传递到液体内部的每一点上去。此即帕斯卡定律。 通过上述分析可知，流体静力学基本方程的适用条件是：只受重力作用的不可压缩的静止流体。 基准面的选取：基准面一般是选取一个与地球同心的椭球面。对于研究小范围内的工程问题时，可取水平面作为基准面。至于基准面的具体位置，原则上是可以任意选定的，视计算的方便而定。 等压面的确定：对于静止的流体，主要是看等密度的同种流体是否连通，如果该流体是连通的，则该流体内的任一水平面都是等压面。否则(如某一流体被另一流体隔开)，该流体内的水平面就不一定是等压面，要视具体情况确定。

第四节 流体静力学基本方程 对于相对静止的流体，除了作匀速直线运动和垂直等加速运动的流体可用上述方法确定等压面外，一般情况下是用解析方法由等压面方程来确定等压面。

第五节 绝对压力、相对压力和真空度 内 容 提 要 1、绝对压力的概念 2、相对压力的概念 3、正压、负压和零压的概念 4、真空度的概念

第五节 绝对压力、相对压力和真空度 对于流体压力的测量和标定有两种不同的基准： 第五节 绝对压力、相对压力和真空度 对于流体压力的测量和标定有两种不同的基准： 第一种是以没有流体分子存在的完全真空时的绝对零压力(p=0)为基准来度量流体的压力，称之为绝对压力。 另一种是以同一高度的当地大气压力为基准来度量流体的压力，称为相对压力。 绝对压力与相对压力的关系为 或 (2-18) 式中 p —流体的绝对压力(Pa)； pa—当地大气压力(Pa)； pm—流体的相对压力(Pa)。

第五节 绝对压力、相对压力和真空度 由于流体的相对压力pm可以由压力表直接测得，所以又称之为表压力。若流体的绝对压力高于当地大气压力时，其相对压力为正值，我们称为正压；若流体的绝对压力低于当地大气压力时，其相对压力为负值，我们称为负压。这时流体处于真空状态。例如水泵和风机的吸入管中，锅炉炉膛以及烟囱底部等处的绝对压力都低于当地大气压力，这些地方的相对压力都是负值，即都是负压。 所谓真空度是指流体的绝对压力小于当地大气压力所产生真空的程度。它不是流体的绝对压力，而是流体的绝对压力不足于当地大气压力的差值部分，亦即负的相对压力，也称为真空压力，常用pv表示。用数学式表示为

第五节 绝对压力、相对压力和真空度 (2-19) 如以液柱高的形式来表示真空压力，就称为真空高度，即 (2-20) 第五节 绝对压力、相对压力和真空度 (2-19) 如以液柱高的形式来表示真空压力，就称为真空高度，即 (2-20)  例如：某设备内流体的绝对压力为0.2atm，求其相应的真空度为多少? 真空度(真空压力)： pv=pa-p=1-0.2=0.8atm 真空高度(以水柱高表示)： hv=pv/γ=(0.8×9.81×104)/(9.81×103)=8.0 mH2O 由此可见，若某点的绝对压力为零，则pv=pa，称该点处于绝对真空，即理论上的最大真空度。

第五节 绝对压力、相对压力和真空度 在工程上还常以真空压力与大气压力相比的百分数来表示真空的程度。 为了正确的区别和理 第五节 绝对压力、相对压力和真空度 在工程上还常以真空压力与大气压力相比的百分数来表示真空的程度。 为了正确的区别和理 解绝对压力、相对压力和 真空度及其相互间的关系， 可用图2-9来表示。 图2-9 绝对压力、大气压力、相对压力 及真空度的相互关系

第六节 大气浮力作用下气体的 静力学基本方程 第六节 大气浮力作用下气体的 静力学基本方程 内 容 提 要 1、大气浮力作用下气体静力学基本方程的形式 2、大气浮力作用下气体静力学基本方程的使用条件 3、大气浮力作用下气体静力学基本方程的物理意义

第六节 大气浮力作用下气体的 静力学基本方程 第六节 大气浮力作用下气体的 静力学基本方程 在工程实际中所使用的热工设备等，并不是置于真空之中，而是放置在大气空间、处于大气的包围之中的，所以，这些设备内的流体都要受到大气的浮力作用。特别是热气体受大气浮力的影响会更大。因此，讨论大气浮力作用下气体的静力学规律更具有实际意义。 图2-10为一盛有某种气体的容器或设备(如空调室、锅炉炉膛等)置于大气空间中，设容器内气体的重度为γg，容器外空气的重度为γa，在容器内距基准面z高度处，气体的绝对压力为p，在容器外同一高度处大气的压力为pa。现在用式(2-14a)对容器内的气体和容器外的大气分别列出静力学基本方程，即

第六节 大气浮力作用下气体的 静力学基本方程 第六节 大气浮力作用下气体的 静力学基本方程 图2-10 大气浮力作用下的静止气体

第六节 大气浮力作用下气体的 静力学基本方程 第六节 大气浮力作用下气体的 静力学基本方程 (1) (2) 由式(1)减去式(2)，并注意到p－pa=pm为气体的相对压力，得 (2-21) 式(2-21)就是大气浮力作用下气体的静力学基本方程。该方程的使用条件与式(2-14)相同。 下面来说明式(2-21)的力学意义和能量意义： 力学意义：式(2-21)中(γg-γa)z为底面积为1，高度为z的气体柱的重力γgz与其所受到的大气浮力γaz之差，即气体柱的有效重力，单位为牛顿/米2。pm 为容器内z高度处气体的

第六节 大气浮力作用下气体的 静力学基本方程 第六节 大气浮力作用下气体的 静力学基本方程 相对压力，单位为牛顿/米2。式(2-21)表明，静止状态下的气体所受到的有效重力与其相对压力相平衡。 由式(2-21)可以看出，对于热的气体，γg＜γa，γg-γa＜0，因此，热气体的相对压力pm 沿高度方向是越往上越大，而越往下越小。 能量意义：式(2-21)中(γg-γa)z为单位体积气体相对于基准面所具有的相对位能，即有效重力相对于基准面所具有的做功的本领；pm 为单位体积气体所具有的相对压力能，即流体的压力相对于大气所做的膨胀功。它们的单位是焦耳/米3。

第六节 大气浮力作用下气体的 静力学基本方程 第六节 大气浮力作用下气体的 静力学基本方程 式(2-21)表明，静止状态下单位体积气体所具有的相对总势能是守恒的。 对于容器中的1、2两点，式(2-21)可以写成 (2-22)

第七节 液柱式测压计原理 内 容 提 要 一、 测压管(单管测压计) 二、 U型管测压计 三、 U型管差压计 四、 斜管微压计

第七节 液柱式测压计原理 流体静压力的测量仪表很多，根据测量原理不同，常用的测压计可分为液柱式、机械式和电气式三类。本节只介绍液柱式测压计的原理。液柱式测压计是以重力作用下的液体平衡方程为基础的，它是用液柱高度或液柱高度差来测量流体的静压力或压力差。液柱式测压计结构简单，使用方便，一般适用于测量低压(1.5×105Pa以下)、真空压力和压力差。 下面介绍几种常用的液柱式测压计及其测压原理。 一、测压管(单管测压计) 测压管是一种最简单的液柱式测压计。为了减少毛细现象所造成的误差，通常采用一根内径大于10mm的直玻璃管。测压时将测压管的下端与盛有液体的压力容器所要测量处的小孔

第七节 液柱式测压计原理 相连接，上端开口与大气相通，如图 2-11所示。 在被测液体的压力作用下，若液 体在玻璃管中上升的高度为h，液体 第七节 液柱式测压计原理 相连接，上端开口与大气相通，如图 2-11所示。 在被测液体的压力作用下，若液 体在玻璃管中上升的高度为h，液体 的重度为γ,当地大气压力为pa ，则 根据流体静力学基本方程式(2-17)得 容器中A点的绝对压力为 A点处的相对压力为 图2-11 测压管

第七节 液柱式测压计原理 于是，用测得的液柱高度h，则可得到容器中某处的绝对压力和相对压力。 第七节 液柱式测压计原理 于是，用测得的液柱高度h，则可得到容器中某处的绝对压力和相对压力。 应当注意：(1)由于各种液体重度不同，所以仅标明高度尺寸不能代表压力的大小，还必须同时注明是何种液体的液柱高度才行。(2)测压管只适用于测量较小的压力，一般不超过10kPa。如果被测压力较高，则需要加长测压管的长度，使用就很不方便。(3)测压管中的工作介质就是被测容器(或管道)中的流体，所以测压管只能用于测量液体的正压，而对于测量液体的负压以及气体的压力则不适用。(4)在测量过程中，测压管一定要垂直放置，否则将会产生测量误差。

第七节 液柱式测压计原理 二、U型管测压计 这种测压计是一个装在刻度板上的两端开口的U型玻璃管。测量时，管的一端与大气相通，另一端与被测容器相接(如图2-12)，然后根据U型管中液柱的高度差来计算被测容器中流体的压力。U型管内装有重度γ2大于被测流体重度γ1的液体工作介质，如水、酒精、四氯化碳和水银等。它是根据被测流体的性质、被测压力的大小和测量精度等来选择的。如果被测压力较小时(如测量气体的压力时)，可用水或酒精作为工作介质；如果被测压力较大时(如测量液体的压力)，可用水银作为工作介质。但一定要注意，工作介质与被测流体相互不能掺混。

第七节 液柱式测压计原理 U型管测压计的测量范围比测压管大，但一般也不超过0.3MPa。U型管测压计可以用来测量容器中高于大气压的流体压力，也可以用来测量容器中低于大气压的流体压力，即也可作为真空计来测量容器中的真空度。 下面分别介绍用U型管测压计测量p＞pa和p＜pa两种情况的测压原理。 (一)当被测容器中的流体压力高于大气压力，即p＞pa时，如图2-12(a)所示。U型管在没有接到测点A以前，左右两管内的液面高度相等。U型管接到测点上后，在测点A的压力作用下，左管液面下降，右管液面上升，直至达到平衡。这时，被测流体与管内工作介质的分界面1-2为一水平面。由于

第七节 液柱式测压计原理 图2-12 U型管测压计

第七节 液柱式测压计原理 p1=p+γ1h1 p2=pa+γ2h2 所以 p+γ1h１=pa+γ2h2 则容器中A点的绝对压力为 第七节 液柱式测压计原理 U型管测压计是连通器，1-2断面以下都是工作液体，所以1-2断面为等压面。因此，U型管左右两管中点1和点2的静压力相等，即p1=p2由式(2-17)，可得 p1=p+γ1h1 p2=pa+γ2h2 所以 p+γ1h１=pa+γ2h2 则容器中A点的绝对压力为  p=pa+γ2h2-γ1h1 (a) A点的相对压力为  pm=p-pa=γ2h2-γ1h1 (b) 于是，可以根据测得的h1和h2以及已知的γ1和γ2计算出被测容器中流体某点处的绝对压力和相对压力。

第七节 液柱式测压计原理 (二)当被测容器中的流体压力小于大气压力，即p＜pa时，如图2-12(b)所示。在大气压力作用下，U型管右管内液面下降，左管内液面上升，直到平衡为止。这时两管工作介质的液面高度差为h2。过右管工作介质的分界面作水平面1-2，它是等压面，即p1=p2。由式(2-17)可得 p1=p+γ1h1+γ2h2 p2=pa 所以有 p+γ1h1+γ2h2=pa 则容器中A点的绝对压力为 p=pa-γ1h1-γ2h2 (c) A点的真空度(或负表压)为 pv=pa-p=γ1h1+γ2h2 (d)

第七节 液柱式测压计原理 如果U型管测压计用来测量气体的压力，因为气体的度很小，式(a)到式(d)中的γ1h1项可以忽略不计。 第七节 液柱式测压计原理 如果U型管测压计用来测量气体的压力，因为气体的度很小，式(a)到式(d)中的γ1h1项可以忽略不计。 如果被测流体的压力较高，用一个U型管则较长，可以采用串联U型管组成多U型管测压计。通常采用双U型管或三U型管测压计。

第七节 液柱式测压计原理 三、U型管差压计 U型管差压计用来测量两个容器或同一容器(或管道等)流体中不同位置两点的压力差。测量时，把U型管两端分别和不同的压力测点A和B相接，如图2-14所示。U型管中应注入较两个容器内的流体重度为大且不相混淆的液体作为工作介质(即γ＞γA，γ＞γB)。 若pA＞pB，则U型管内液体沿右面管上升，平衡后，1-2断面为等压面，即p1=p2。由静力学基本方程(2-17)得  p1=pA+γA(h1+h) p2=pB+γBh2+γh 由于p1=p2 ，因此

第七节 液柱式测压计原理 图2-14 U型管差压计

第七节 液柱式测压计原理 pA+γA(h1+h)=pB+γBh2+γh 则 pA-pB=γBh2+γh-γA(h1+h) 第七节 液柱式测压计原理 pA+γA(h1+h)=pB+γBh2+γh 则 pA-pB=γBh2+γh-γA(h1+h) =(γ-γA)h+γBh2-γAh1 若两个容器内是同一流体，即γA=γB=γ1，则上式可写成  pA-pB=(γ-γ1)h+γ1(h2-h1) 若两个容器内是同一气体，由于气体的重度很小，U型管内的气柱重量可以忽略不计，上式可简化为  pA-pB=γh 如果测量较小的液体压力差时，也可以采用倒置式U型管差压计。如果被测量的流体的压力差较大，则可采用双U型管或多U型管差压计。

第七节 液柱式测压计原理 四、斜管微压计 当测量很微小的流体压力时，为了提高测量精度，常常采用斜管微压计。斜管微压计的结构如图2-16所示。它是由一个大容器连接一个可以调整倾斜角度的细玻璃管组成，其中盛有重度为γ的工作液体(通常用密度为ρ=800kg/m3的酒精作为工作液体)。 在测压前，斜管微压计的两端与大气相通，容器与斜管内的液面平齐(如图中的0-0断面)。当测量容器或管道中的某处压力时，将微压计上端的测压口与被测气体容器或管道的测点相接，若被测气体的压力p＞pa，则在该压力作用下，微压计容器中液面下降h1的高度至1-1位置,而倾斜玻璃管中的液面上

第七节 液柱式测压计原理 图2-16 斜管微压计

第七节 液柱式测压计原理 升了l长度，其上升高度h2=lsinα。这样，微压计中两液面的实际高度差为h=h1+h2。若设微压计中容器的横截面积为A1，斜管中的横截面积为A2，由于容器内液体下降的体积与斜管中液体上升的体积相等，则h1=lA2/A1。于是，根据流体静力学基本方程式(2-17)，得被测气体的绝对压力为 (a) 其相对压力为 (b) 上式(a)、(b)中k=γ[(A2/A1)+sinα]，称为斜管微压计常数。

第七节 液柱式测压计原理 当A1、A2和γ不变时，它仅是倾斜角α的函数。改变α的大小，可以得到不同的k值，即可使被测压力差得到不同的放大倍数。对于每一种斜管微压计，其常数k值一般都有0.2、0.3、0.4、0.6和0.8五个数据以供选用。 如果用斜管微压计测量两容器或管道上两点的压力差时，可将压力较大的p1与微压计测压口相接，压力较小的p2与倾斜的玻璃管出口相连，则测得的压力差为 除斜管微压计外，常用的微压计还有双杯双液微压计和补偿式微压计等。

第八节 液体的相对平衡 内 容 提 要 一、 匀速直线运动液体的相对平衡 二、 水平等加速运动液体的相对平衡 第八节 液体的相对平衡 内 容 提 要 一、 匀速直线运动液体的相对平衡 二、 水平等加速运动液体的相对平衡 三、 等角速度旋转液体的相对平衡

第八节 液体的相对平衡 一、匀速直线运动液体的相对平衡 第八节 液体的相对平衡 一、匀速直线运动液体的相对平衡 若盛有液体的容器作匀速直线运动，容器内的液体相对于地球是运动的，但液体相对容器却是静止的，液体质点之间也不存在相对运动。因此，作用在液体上的质量力只有重力而没有惯性力。此外，液体质点间也不存在粘性力。这样，只要把坐标系取在容器上，前面所讨论的关于重力作用下的静止流体的平衡规律及其特性将完全适用。即它们的等压面是水平面，等压面方程为 z=C 液体内任一点的静压力可以由流体静力学基本方程式求得，即  p=p0+γh

第八节 液体的相对平衡 二、水平等加速运动液体的相对平衡 第八节 液体的相对平衡 二、水平等加速运动液体的相对平衡 若盛有液体的容器在水平方向作等加速直线运动，那么，容器内的液体相对于容器来说便处于相对平衡状态。但容器是等加速前进的，必然带动其中的液体等加速前进，即液体实际上是处于等加速运动中。假若我们把参考坐标系选在容器上，则容器中的液体相对于该参照系便处于相对平衡状态。为了方便起见，我们将x轴和y轴放在容器中的液体自由表面上，坐标原点放在液体自由表面中心，x轴的方向与运动方向一致，z轴垂直向上，如图2-17所示。当我们应用达朗伯原理来分析液体对该非惯性参照系xyz的相对平衡时，作用在液体质点上的质量力除重力外，还要虚加一个大小等于液体质点的质量乘以加

第八节 液体的相对平衡 图2-17 水平等加速运动容器中液体的相对平衡

第八节 液体的相对平衡 速度，方向与加速度方向相反的惯性力。设容器的加速度为a，则作用在单位质量液体上的质量力为 第八节 液体的相对平衡 速度，方向与加速度方向相反的惯性力。设容器的加速度为a，则作用在单位质量液体上的质量力为 将上述单位质量力的分量代入压力微分方程式(2-8)得 将上式积分，得 (2-23) 为确定积分常数C，我们引进边界条件：当x=0，z=0时，p=p0，代入上式得C=p0。 于是 (2-24) 上式就是水平等加速直线运动容器中液体的静压力分布公式。它表明，压力p不仅随坐标z而变化，而且还随坐标x而变化。

第八节 液体的相对平衡 下面进一步研究图2-17所示情况的等压面方程。 将单位质量力的分量代入等压面微分方程式(2-13)得 第八节 液体的相对平衡 下面进一步研究图2-17所示情况的等压面方程。 将单位质量力的分量代入等压面微分方程式(2-13)得 adx+gdz=0 积分上式，得 ax+gz=C (2-25) 这就是等压面方程。显然，水平等加速直线运动容器中液体的等压面已不是水平面，而是一族平行的斜面。该倾斜的平面族与x轴所在的水平面的夹角为 α=tg-1(a/g) (2-26) 在自由液面上，因x=0时，z=0，则等压面方程中的积分常数C=0，因此自由液面的方程式为 axs+gzs=0 (2-27) 或 zs=-axs/g (2-27a)

第八节 液体的相对平衡 式中xs、zs为自由液面上任意一点的坐标。 将式(2-24)改写成下面的形式 第八节 液体的相对平衡 式中xs、zs为自由液面上任意一点的坐标。 将式(2-24)改写成下面的形式 p=p0-ρ(ax+gz)=p0+ρg(-ax/g-z) 将式(2-27a)代入上式得 p=p0+ρg(zs-z)=p0+γh (2-24a) 式中h=zs-z，为某点距液体倾斜自由液面下的深度，简称淹深。 比较式(2-24a)和式(2-17)可以看出，水平等加速直线运动容器中液体的静压力在深度方向的分布规律与静止流体中的静压力分布规律是相同的，即液体内任一点的静压力均等于液面上的压力p0加上液体的重度γ与该点淹深h的乘积。

第八节 液体的相对平衡 三、等角速度旋转液体的相对平衡 第八节 液体的相对平衡 三、等角速度旋转液体的相对平衡 如图2-19所示，盛有密度为ρ的液体的圆筒形的容器绕其铅直中心轴z以等角速度ω旋转。开始时液体受离心惯性力的作用向外甩，原来静止时的水平自由液面中心处的液体下降，而周围的液体沿器壁上升。当旋转达到稳定后，整个液体就像刚体一样随容器的转动而转动，自由液面成为稳定的凹形曲面。这时液体质点之间以及液体质点与器壁之间都没有相对运动，液体相对容器处于相对平衡状态。根据达朗伯原理，作用在液体质点上的质量力除了重力以外，还要虚加一个离心惯性力，它的大小等于液体质点的质量乘以向心加速度，方向与向心加速度的方向相反。于是，在圆柱坐标系下，作用在单位

第八节 液体的相对平衡 图2-19 等角速度旋转容器中液体的相对平衡

第八节 液体的相对平衡 质量流体上的质量力的各分量为 式中r为液体质点到旋转轴的距离。 将单位质量力的各分量代入压力微分方程式(2-9)，得 第八节 液体的相对平衡 质量流体上的质量力的各分量为 式中r为液体质点到旋转轴的距离。 将单位质量力的各分量代入压力微分方程式(2-9)，得 对上式积分得 (2-28) 根据边界条件，当r=0、z=0时，p=p0，则积分常数Ｃ=p0，于是 (2-29) 这就是等角速度旋转容器中液体的静压力分布公式。上式表明在同一高度上，液体的静压力沿径向按半径的二次方增长。

第八节 液体的相对平衡 下面进一步求出旋转容器中液体的等压面方程。 将单位质量力的各分量代入等压面微分方程式 得 积分得 (2-30) 第八节 液体的相对平衡 下面进一步求出旋转容器中液体的等压面方程。 将单位质量力的各分量代入等压面微分方程式 得 积分得 (2-30) 式(2-30)表明，等角速度旋转容器中液体的等压面是一族绕z轴的旋转抛物面。在自由表面上，当r=0时，z=0，可得积分常数C=0。故自由表面方程为 (2-31) 或  (2-31a)

第八节 液体的相对平衡 式中rs、zs为自由表面上任一点的坐标。 将式(2-31a)代入式(2-29)，可得  (2-29a) 第八节 液体的相对平衡 式中rs、zs为自由表面上任一点的坐标。 将式(2-31a)代入式(2-29)，可得  (2-29a) 式中h=zs-z，为液体中某点距自由表面的垂直距离，即距自由表面下的深度，简称淹深。 可以看出，绕铅直轴等角速度旋转容器中液体的静压力分布公式(2-29a)与静止液体中静压力分布公式(2-17)完全相同，即液体内任一点的静压力均等于液面上的压力p0加上液体的重度与该点淹深的乘积。

第八节 液体的相对平衡 下面我们再来讨论两种特殊的情况： 第八节 液体的相对平衡 下面我们再来讨论两种特殊的情况： (1)如图2-20所示，在装满液体的圆筒形容器顶盖中心处开口，当这种容器绕其垂直中心轴作等角速度旋转时，液体虽然受离心惯性力的作用而向外甩，但由于受容器顶盖的限制，液面并不能形成旋转抛物面。尽管如此，但根据边界条件，当r=0，z=0时，p=pa，故容器中液体内各点的静压力分布仍为 作用在顶盖上各点流体静压力仍按旋转抛物面分布：中心点O处的流体静压力为p=pa，离开中心各点压力都大于pa，顶盖边缘点B处的流体静压力为最大，其值为p=pa+γω2R2/2g，如图中箭头所示。角速度ω越大，则边缘处的流体静压力越大。

第八节 液体的相对平衡 图2-20 顶盖中心开口的容器

第八节 液体的相对平衡 (2)如图2-21所示，在装满液体的圆筒形容器的顶盖边缘处开口，当这种容器绕其垂直中心轴作等角速度旋转时，液体由于受离心惯性力的作用而向外甩，但在容器内部产生的真空又将液体吸住，以致液体跑不出去。根据边界条件，当r=R，z=0时，p=pa，得积分常数C=pa-γω2R2/2g，故液体内各点的静压力分布规律为 (2-32) 可见，尽管液面没有形成旋转抛物面，但作用在容器顶盖上各点流体静压力仍按旋转抛物面的规律分布。顶盖边缘开口B处为大气压力pa，大气压力的等压面如图ACB所示。旋转抛物面ACB以上的流体静压力均小于大气压力，即有真空存在，

第八节 液体的相对平衡 图2-21 顶盖边缘开口的容器

第八节 液体的相对平衡 越靠近顶盖中心O处，其真空度越大。O点处的真空度最大，其真空度为γω2R2/2g(即为OC液柱高)。顶盖上各点的真空度如图中箭头所示，顶盖中心点O处的流体静压力为 或 可见，角速度ω越大，则中心处的真空度越大。工程上所用的离心式泵和离心式风机都是应用流体静力学的这一规律制作的。当叶轮回转时，在中心处形成真空，将流体吸入，再借离心惯性力的作用甩向边缘，提高压力，而后输送出去。

第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 内 容 提 要 一、 解析法 (一) 确定总压力的大小和方向 (二) 确定总压力的作用点——压力中心 二、 图解法

第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 在工程实际中，有时需要解决液体对固体壁面的总作用力问题。在已知流体的静压力分布规律后，求总压力的问题，实质上就是求受压面上分布力的合力问题。本节讨论作用在平面上的总压力及其压力中心。 作用在平面上总压力的计算方法有两种：解析法和图解法。 一、解析法 (一)确定总压力的大小和方向 设有一面积为A的任意形状的平面ab，与水平液面成α的夹角，液面上的压力为p0，如图2-24所示。取平面ab的延伸面与水平液面的交线为ox轴，取ab所在平面上与ox轴垂直的线为

第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 图2-24 作用在平面上的液体总压力

第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 oy轴。为了分析方便起见，我们将平面ab绕oy轴转动90°(如图2-24)。图中C点为ab面的形心，D点为总压力的作用点。 由于流体静压力的方向指向作用面的内法线方向，所以，作用在平面上各点的静压力的方向相同，其合力可按平行力系求和的原理来确定。设在受压平面上任取一微元面积dA，其中心点在液面下的深度为h，作用在dA中心点上的压力为p=p0+γh，则作用在微元面积dA上的总压力为 dP=pdA=(p0+γh)dA=p0dA+γysinαdA 根据平行力系求和原理，作用在整个面积A上的总压力为 P=∫ＡpdA=∫Ａp0dA+γsinα∫ＡydA

第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 =p0A+γsinα∫ＡydA 式中∫ＡydA为面积A对ox轴的静面矩，由理论力学知，它等于面积A与其形心坐标yc的乘积，即∫ＡydA=ycA。如以pc代表形心C处液体的静压力，则上式可写成 P=p0A+γsinαycA=(p0+γhc)A=pcA (2-33) 上式表明：静止液体作用在任意形状平面上的总压力的大小，等于该平面形心处的静压力与平面面积的乘积。 液体总压力的方向垂直指向受压面的内法线方向。

第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 (二)确定总压力的作用点——压力中心 总压力的作用点又称为压力中心。由于液体的静压力与液深成正比，越深的地方其静压力越大，所以压力中心D在y轴上的位置必然低于形心C。 压力中心D的位置，可根据理论力学中的静力矩定理求得，即各分力对某一轴的静力矩之和等于其合力对同一轴的静力矩。现在，作用在每个微元面积dA上的微小总压力dP对ox轴的静力矩之和为 ∫ＡydP=∫Ａy(p0+γysinα)dA =p0∫ＡydA+γsinα∫Ａy2dA

第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 =p0ycA+γsinαIx (a) 式中Ix=∫Ａy2dA为面积A对ox轴的惯性矩。 总压力P对ox轴的静力矩为 PyD=(p0+γhc)AyD=(p0+γycsinα)AyD (b) 由于合力对某轴之矩等于各分力对同轴力矩之和，因此有  (p0+γycsinα)AyD=p0ycA+γsinαIx (c) 根据惯性矩平行移轴定理，如果面积A对通过它的形心C并与x轴平行的轴的惯性矩为Ixc，则Ix=Ixc+y2cA，代入(c)式后得

第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 即 (2-34) 当p0=0时，上式简化为  (2-35) 或写成 (2-35a) 由于Ixc/(ycA)恒为正值，故有yD＞yc。说明压力中心D点总是低于形心C。

第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 如果平面ab在x方向不对称，则可用与上述同样的方法求得压力中心的x坐标为 (3-36) 式中 Ixy=∫AxydA为面积A对x轴和y轴的惯性积；Ixyc是对通过形心C且平行于x轴和y轴的轴的惯性积。在工程实际中，受压面常是对称于y轴的，则压力中心D一定在平面的对称轴上，不必另外计算xD。

第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 二、图解法 用图解法来计算静止液体作用在平面上的总压力，仅适用于底边平行于水平面的矩形平面的情况。使用图解法，首先需要绘制静压力分布图，然后再根据它来计算总压力。 静压力分布图是依据水静力学基本方程p=p0+γh，直接在受压面上绘制表示各点静压力大小和方向的图形。现以图2-25中垂直壁面AB左侧为例绘制静压力分布图。设横坐标为p，纵坐标为h，坐标原点与壁面的A点重合。根据静压力与液深成线性变化的规律，先按比例定出AB两端点的静压力，并用线段表示在相应点上，用箭头表示静压力作用的方向，然后用

第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 图2-25 静压力分布图

第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 直线连接线段的两端点C、D，便绘出壁面AB左侧的静压力分布图(梯形ABCD)。 现把静压力分布图分成p0和γh作用的两部分。过A点作AE∥CD，平行四边形AEDC部分就是液面上静压力p0作用的静压力分布图；三角形ABE部分就是液柱高h产生的静压力γh作用的静压力分布图。实际中，液面上的压力常为大气压，大气压不仅对AB的左侧面有作用对AB的右侧面也同样有作用，而且两侧面的压力大小相等，方向相反，互相抵消，对受压面不产生力学效应。因此工程计算中，只考虑相对压力的作用，不计及大气压的影响，即只考虑静压力分布图ABE。

第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 图2-26绘出了几种常见受压面的静压力分布图。 图2-26 不同受压面上的静压力分布图

第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 现在用式(2-33)对高为H、宽为b、底边平行于水平面的垂直矩形平面AB(如图2-25)，计算其总压力，为 由图2-25看出，上式中(2p0+γH)H/2 恰为静压力分布图ABCD的面积，我们用S表示，则上式可写成 P=S·b (2-37) 由此可见，液体作用在底边平行于水平面的矩形平面上的总压力，等于静压力分布图的面积与矩形平面宽度的乘积。

第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 第九节 静止液体作用在平面上的 总压力及压力中心 或者说，其总压力等于静压力分布图的体积。 由于静压力分布图所表示的正是力的分布情况，而总压力则是平面上各微元面积上所受液体压力的合力。所以总压力的作用线，必然通过静压力分布图的形心，其方向垂直指向受压面的内法线方向。而且压力中心位于矩形平面的对称轴上。如果静压力分布图为三角形，则压力中心位于距底边三分之一高度处。

第十节 静止液体作用在曲面上的总压力 内 容 提 要 1、静止液体作用在曲面上的总压力的水平分力 2、静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力 内 容 提 要 1、静止液体作用在曲面上的总压力的水平分力 2、静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力 3、压力体的概念 4、实压力体与虚压力体 5、总压力作用点的确定

第十节 静止液体作用在曲面上的总压力 计算静止液体作用在曲面上的总压力，同样是求作用在每个微元面积上微小压力的合力问题。但是，组成整个曲面的各个微元面各自具有不同的方位，它们的法线方向既不平行，也不一定交于一点。因此，作用在各微元面积上的压力不是平行力系，而是空间力系。所以，不能用平行力系求和的原理或直接积分的方法来计算其总压力。一般是将作用在曲面上的总压力分解为水平方向和垂直方向的分力分别进行计算。本节以工程上常见的二维曲面为例，分析曲面上总压力的计算方法，进而将结论推广到一般曲面。 如图2-28所示，设有一面积为A的二维曲面，它在纸面上的投影为AB，垂直于纸面的宽度为b，液体在曲面左侧。设在

第十节 静止液体作用在曲面上的总压力 曲面AB上，液深为h处取一与底边平行的长条形微元面积dA，作用在dA上的微小总压力为 第十节 静止液体作用在曲面上的总压力 曲面AB上，液深为h处取一与底边平行的长条形微元面积dA，作用在dA上的微小总压力为 dP=(p0+γh)dA dP垂直于dA，并与水平面成夹角α。现将其分解为水平方向和垂直方向的两个分力dPx和dPz。那么 dPx=dPcosα=(p0+γh)dAcosα dPz=dPsinα=(p0+γh)dAsinα 由于dAcosα和dAsinα分别为微元面积dA在垂直面上和水平面上的投影面积，分别以dAx和dAz表示，代入上式得 dPx=(P0+γh)dAx dPz=(P0+γh)dAz

第十节 静止液体作用在曲面上的总压力 图2-28 作用在二维曲面上的总压力

第十节 静止液体作用在曲面上的总压力 将上两式分别积分，即得到总压力的水平分力和垂直分力为 第十节 静止液体作用在曲面上的总压力 将上两式分别积分，即得到总压力的水平分力和垂直分力为 Px=∫Ax(p0+γh)dAx=p0Ax+γ∫AxhdAx (2-38) Pz=∫Az(p0+γh)dAz=p0Az+γ∫AzhdAz (2-39) 式(2-38)中∫AxhdAx=hcAx为曲面AB在垂直面上的投影面积Ax对水平轴y的静面矩。因此式(2-38)可写成 Px=p０Ax+γhcAx=(p０+γhc)Ax=pcAx (2-40) 上式表明，静止液体作用在曲面上的总压力的水平分力，等于该曲面在垂直于所求分力的垂直投影面上的总压力。因此，可以运用上节所讨论的求解平面上的总压力及其作用点的方法来确定曲面上总压力的水平分力。

第十节 静止液体作用在曲面上的总压力 由图2-28可见，式(2-39)中∫AzhdAz为受压曲面AB与其在自由液面上的投影面CD之间的柱体ABCD的体积。由于该体积的大小决定于Pz的值，所以又称此体积为压力体，用VP表示。因此式(2-39)可写成 Pz=p0Az+γVP (2-41) 上式表明，静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力,等于自由液面上的压力作用在该曲面在水平面的投影面积上的总压力与压力体内液体的重量之和。总压力的垂直分力的作用线通过压力体的形心(重心)而指向受压面。 总压力的垂直分力Pz的方向取决于受压曲面与液体的相对位置以及曲面所受相对压力的正负，可能是向下的，也可能是

第十节 静止液体作用在曲面上的总压力 向上的，要根据具体情况加以判断。一般地，如果压力体与作用液体位于曲面的同一侧，Pz的方向向下，这种压力体称为实压力体；如果压力体与作用液体分别位于曲面的两侧，则Pz的方向向上，这种压力体称为虚压力体。 在求出液体对二维曲面的分力Px和Pz后，就不难求出液体对曲面的总压力P。即 (2-42) 总压力P的作用线与水平线的夹角α为 α=tg-1(Pz/Px) (2-43) P的作用线通过Px和Pz作用线的交点，但该交点不一定在曲面上。要确定总压力P在曲面上的作用点，可先作出Px和Pz

第十节 静止液体作用在曲面上的总压力 的作用线，然后作出P的作用线，这条作用线与曲面的交点即为总压力P的作用点。 第十节 静止液体作用在曲面上的总压力 的作用线，然后作出P的作用线，这条作用线与曲面的交点即为总压力P的作用点。 以上是对二维曲面所受液体总压力的分析和计算，对于三维曲面所受液体总压力的计算，上述方法同样适用。只要再求出另一个水平分力Py即可。类似于Px的计算，总压力P在y轴方向的水平分力为 Py=(p0+γhc)Ay=pcAy (2-44) 则三维曲面所受液体的总压力为  (2-45)

本 章 小 结 一、基本概念 二、基本定律和基本方程 三、重要的性质和结论