数 值 分 析 （第 4 版） 李庆扬 王能超 易大义 编 清华大学出版社 施普林格出版社

数值分析课程 学时：50＋10 讲课时间：3～16周 上机时间：16～18周 平时成绩：上机 测验 作业 出勤 期末考试：半开卷 教师：罗蕴玲 电话：81720522 E-mail: yunlingluo@126.com 办公室：1－812 答疑时间： 周一下午2：30－4：30 周三下午3：30－5：00 具体考核方案

第1章 绪 论 1.1 数值分析研究对象与特点

例1 求方程 x2=2sinx，在区间(1,2)内的根。 先看两个例子。 例1 求方程 x2=2sinx，在区间(1,2)内的根。 理论上可知显然找不出根的解析式，即无法求出精确解。 例2 用Cramer法则求解n元线性方程组。 显然理论上可行，且有精确表达式。实际计算时会出现什么问题呢？

看用数学和计算机解决实际问题的过程： 实际问题 应用数学研究的任务 数学模型 数值计算方法 数值分析研究的对象 上机计算求出结果 最终提供的是针对各类数学问题的数值算法（即计算公式、计算方案、计算过程）

数值分析提供的算法具有下面四个特点： 1、面向计算机 2、有可靠的理论分析 3、具有好的计算复杂性 4、通过数值实验验证有效性

本门课程学习的主要内容： 误差分析，插值法与拟合，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法和迭代方法，非线性方程求根，矩阵特征值问题计算．

1. 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本 任务，主动适应“公式多”的特点； 2. 注重各章建立算法的问题的提法，搞清问题的基 如何进行学习？ 1. 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本 任务，主动适应“公式多”的特点； 2. 注重各章建立算法的问题的提法，搞清问题的基 本提法，逐步深入； 3. 理解每个算法建立的数学背景，数学原理和基本 线索，对最基本的算法要非常熟悉； 4. 认真进行数值计算的训练，学习各章算法完全是 为用于实际计算，必须真会算。

本课程的基本要求 掌握数值方法的基本原理 掌握常用的科学与工程计算的基本方法 能用所学方法在计算机上算出正确结果

课程学习结束后你具备的能力 1. 对具体的数值计算问题，你会选择合适的算法，并通过计算机计算出正确结果； 2. 对给定的算法会从理论上分析其优劣性； 3. 会根据原理构造解决较简单数值计算问题的算法。

1.2 数值计算的误差 1.2.1 误差来源与分类 引言——为什么要进行误差分析？ 例1 用具有舍入功能的八位计算器直接计算下式： 结果为 1.2 数值计算的误差 1.2.1 误差来源与分类 引言——为什么要进行误差分析？ 例1 用具有舍入功能的八位计算器直接计算下式： 结果为 事实上 结果 不可靠

例2 用求根公式在尾数为八位的浮点计算机上，求下面方程的根： 例2 用求根公式在尾数为八位的浮点计算机上，求下面方程的根： 解 计算机上 计算机上 求得 事实上

用计算机解决实际问题的一般过程 建立数 上机求解 实际问题 确定数 学模型 值解法 应用数学解决的问题 数值分析解决的问题 截断误差 舍入误差 模型误差、观测误差 在此主要研究这两种误差

1.2.2 误差与有效数字 一、绝对误差 设 为准确值， 定义1 为 的一个近似值， 称 为近似值的绝对误差， 简称误差. 1.2.2 误差与有效数字 一、绝对误差 设 为准确值， 定义1 为 的一个近似值， 称 为近似值的绝对误差， 简称误差. 误差 可正可负，当绝对误差为正时近似值偏大，叫 强近似值； 当绝对误差为负时近似值偏小，叫弱近似值. 通常准确值 是未知的， 因此误差 也未知. 若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界，即 则 叫做近似值的误差限， 它总是正数.

对于一般情形 ， 即 也可以表示为 解 因为 ，而 所以 注意:（1）绝对误差限不是唯一的，但越小越好； （2）绝对误差限的大小并不能完全表示近似值的好坏。

二、相对误差 把近似值的误差 与准确值 的比值 定义2 称为近似值 的相对误差， 记作 . 实际计算中， 由于真值 总是未知的， 通常取 条件是 较小， 作为 的相对误差， 此时利用 知

是 的平方项级， 故可忽略不计. 相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限， 即 记作 ，

三、有效数字 当准确值 位数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到 的前几位近似值 ， 例如 取3位 取5位 它们的误差都不超过末位数字的半个单位， 即

若近似值 的误差限是某一位的半个单位， 定义3 该位到 的第一位非零数字共有 位，就说 有 位有效数字. 表示为 （2.1） 其中 是0到9中的一个数字， 为整数， 且 （2.2） 例如 3.142，3.141,3.1416分别作为π的近似值时分别有几位有效数字?

重力常数g， 例4 如果以 m/s2 为单位， 若以km/s2为单位， ，它们具有几位有效数字？绝对误差和相对误差有区别吗？与量纲有关吗？ 因为按第一种写法 按(2.1)的表示方法， 按第二种写法 这里 它们虽然写法不同，但都具有3位有效数字. （2.1）

至于绝对误差限，由于单位不同所以结果也不同, 但相对误差都是 注意相对误差与相对误差限是无量纲的，而绝对误差 与误差限是有量纲的. 例4说明有效位数与小数点后有多少位数无关.

从(2.2)可得到具有 位有效数字的近似数 ，其绝对 误差限为 在 相同的情况下， 越大则 越小，故有效位数越 多，绝对误差限越小. （2.2）

关于有效数字说明 ① 用四舍五入取准确值的前n位x*作为近似值,则x*必有n位 有效数字。如3.142作为 的近似值有4位有效数字，而 3.141为3位有效数字； ② 有效数字相同的两个近似数，绝对误差不一定相同。例 如，设x1*=12345,设x2*=12.345,两者均有5位有效数字但 绝对误差不一样  x - x1* = x - 12345 ≤ 0.5= 1/2  100  x - x2* = x - 12.345≤0.0005=1/210-3 ③ 把任何数乘以10 p(p=0,1,…)不影响有效位数； ④ 准确值具有无穷多位有效数字,如1/2=0.5 因0.5是真值, 没有误差,*=0,因此n,准确值具有无穷位有效数字。

四、有效数字与相对误差限的关系 设近似数 表示为 定理1 其中 是0到9中的一个数字， 为整数. 若 具有 位有效数字， 则其相对误差限为 反之， 若 的相对误差限 ， 则 至少具有 位有效数字.

要使 的近似值的相对误差限小于0.1%，需取 例5 几位有效数字? 设取 位有效数字， 由定理1 由于 知 ， 故只要取 ， 就有 即只要对 的近似值取4位有效数字，其相对误差限就 小于0.1%. 此时由开方表得 .

1.2.3 数值运算的误差估计 一般情况下，当自变量有误差时函数值也产生误差， 其误差限可利用函数的微分进行估计. 1.2.3 数值运算的误差估计 一般情况下，当自变量有误差时函数值也产生误差， 其误差限可利用函数的微分进行估计. 设 是一元函数， 的近似值为 ，以 近 似 ，其误差界记作 ， 利用微分 由此可得：

当 为多元函数，如计算 时, 如果 的近似值为 ， 则 的近似值为 于是由全微分， 函数值 的误差 为 于是误差限

而 的相对误差及相对误差限限分别为

练习：

1.3 误差定性分析与避免误差危害 1.3.1 病态问题与条件数 对一个数值问题本身, 如果输入数据有微小扰动（即误 1.3 误差定性分析与避免误差危害 1.3.1 病态问题与条件数 对一个数值问题本身, 如果输入数据有微小扰动（即误 差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，这就是病 态问题. 若 有扰动 ，其 相对误差为 ， 例如计算函数值 时， 函数值 的相对误差为

相对误差比值 （3.1） 称为计算函数值问题的条件数. 自变量相对误差一般不会太大，如果条件数 很大， 将引起函数值相对误差很大，出现这种情况的问题就是病态问题.

例如， ， 则有 它表示相对误差可能放大 倍. 如 ， 有 ， 若取 自变量相对误差为 ， 函数值相对误差为 ， 这时问题可以认为是病态的. 一般情况下,条件数 就认为是病态， 越大 病态越严重.

1.3.2 算法的数值稳定性 用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中传播 使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定的. 1.3.2 算法的数值稳定性 用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中传播 使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定的. 计算 并估计误差. 例6 由分部积分可得计算 的递推公式 （3.2） 问题：由递推公式（3.2）可以构造几种计算积分序列{In}(n=1,2, …,N)的算法？假设计算中只有初始值带有误差，计算过程中不 产生新的误差，请判断哪种方法能给出更精确的结果。

算法A：计算公式为 若初值 有误差 则由此引起以后各步计算的误差 满足关系 则 这说明 的误差被放大了 倍. 算法B：计算公式为 记 ， 则 ， 比 缩小了 倍。 看数值计算结果，见书p13. 显然算法B的计算结果更精确、更可靠，当用算法A计算时， 由于误差传播是逐步扩大的，因而计算结果不可靠. 此例说明，数值不稳定的算法是不能使用的.

一个算法如果输入数据有误差，而在计算过 程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称 此算法为不稳定的. 定义4 在例6中算法（B）是数值稳定的，而算法（A）是不 稳定的.

1.3.3 避免误差危害的若干原则 数值计算中首先要分清问题是否病态和算法是否数 值稳定，计算时还应尽量避免误差危害，防止有效数字 1.3.3 避免误差危害的若干原则 数值计算中首先要分清问题是否病态和算法是否数 值稳定，计算时还应尽量避免误差危害，防止有效数字 的损失，有下面若干原则. 1. 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法 用绝对值小的数作除数舍入误差会增大，如计算 若 ， 则可能对计算结果带来严重影响，应尽量避免.

在数值计算中两相近数相减有效数字会严重损失. 2. 要避免两相近数相减 在数值计算中两相近数相减有效数字会严重损失. 分析前述例1 0位有效数字 8位有效数字 8位有效数字 这说明必须尽量避免出现这类运算. 最好是改变计算方法，防止这种现象产生.

改变计算公式： 精度提高了很多。此例说明，可通过改变计算公式避免或 减少有效数字的损失。 类似地，如果 和 很接近时，由 用右边算式有效数字就不损失. 当 很大时， 也应该用右端算式代替左端.

3. 要防止大数“吃掉”小数 在数值运算中参加运算的数有时数量级相差很大， 而计算机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉”小数的现象，影响计算结果的可靠性. 前面用求根公式求根的例2中， 现改变计算公式如下：

4. 注意简化计算步骤，减少运算次数 同样一个计算问题，如果能减少运算次数，不但可节省计算机的计算时间，还能减少舍入误差. 这是数值计算必须遵从的原则，也是“数值分析”要研究的重要内容.

例7 计算多项式 的值， 若直接计算 再逐项相加，一共需做 次乘法和 次加法. 若采用秦九韶算法 只要 次乘法和 次加法就可算出 的值. 在“数值分析”中，这种节省计算次数的算法还有不少.