材料力学 第九章 应力状态分析与强度理论

第九章 应力状态分析和强度理论 §9–1 应力状态的概念 §9–2 平面应力状态分析——解析法 §9–3 平面应力状态分析——图解法 §9–1 应力状态的概念 §9–2 平面应力状态分析——解析法 §9–3 平面应力状态分析——图解法 §9–4 梁的主应力及其主应力迹线 §9–5 三向应力状态研究——应力圆法 §9–6 平面内的应变分析 §9–7 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律） §9–8 复杂应力状态下的变形比能

应力状态与应变状态 §9–１ 应力状态的概念 一、引言 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ P 铸铁拉伸 M P 铸铁压缩 2、组合变形杆将怎样破坏？

应力状态与应变状态 txy s 二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。 三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质——a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。 s y y txy s 四、普遍状态下的应力表示　　　　　　　 x sz x z

应力状态与应变状态 txy s 五、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。 s y y txy s x sz x z

应力状态与应变状态 s t s t 六、原始单元体（已知单元体）： 例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。 A P A M P x y z B C t yx s x B t xy tzx txz

应力状态与应变状态 七、主单元体、主面、主应力： sy 主单元体(Principal bidy)： y 各侧面上剪应力均为零的单元体。 sx 主面(Principal Plane)： 剪应力为零的截面。 sz x z 主应力(Principal Stress ）： 主面上的正应力。 s2 s1 主应力排列规定：按代数值大小， s3

应力状态与应变状态 s s 三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。 二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。 单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。 A s x tzx s x B txz

应力状态与应变状态 §9–2 平面应力状态分析——解析法 x y sx txy sy O sx txy sy x y z

应力状态与应变状态 txy txy x y sx sy O 一、任意斜截面上的应力 规定： 截面外法线同向为正； t a绕研究对象顺时针转为正； a逆时针为正。 图1 设：斜截面面积为S，由分离体平衡得： sy txy sx sa ta a x y O t n 图2

应力状态与应变状态 txy txy x y sx sy O 考虑剪应力互等和三角变换，得： 同理： 图1 sy sx sa ta a x y n 图2

应力状态与应变状态 二、极值应力 x y sx txy sy O ´

应力状态与应变状态 txy t s + - ± = î í ì ¢ ） （ x y sx sy O 在剪应力相对的项限内， 2 x y y x min max t s + - ± = î í ì ¢ ） （

应力状态与应变状态 t txy tyx 例2 分析受扭构件的破坏规律。 解：确定危险点并画其原 始单元体 C C M 求极值应力 y x O

应力状态与应变状态 破坏分析 低碳钢 铸铁

应力状态与应变状态 txy txy §9–3 平面应力状态分析——图解法 x y sx sy O 一、应力圆（ Stress Circle） §9–3 平面应力状态分析——图解法 x y sx txy sy O 一、应力圆（ Stress Circle） 对上述方程消去参数（2），得： sy txy sx sa ta a x y O t n 此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）

应力状态与应变状态 txy sx sy x y O n sa ta a 二、应力圆的画法 建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺） 在坐标系内画出点A( x，xy)和B(y，yx) D( sa , ta) 2a n O sa ta x AB与sa 轴的交点C便是圆心。 A(sx ,txy) B(sy ,tyx) C 以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；

应力状态与应变状态 txy sx sy x y O n sa ta a 三、单元体与应力圆的对应关系 面上的应力( ， ) 应力圆上一点( ， ) 面的法线 应力圆的半径 D( sa , ta) 2a n O sa ta x 两面夹角 两半径夹角2 ；且转向一致。 A(sx ,txy) B(sy ,tyx) C

应力状态与应变状态 四、在应力圆上标出极值应力 O C sa ta A(sx ,txy) B(sy ,tyx) x 2a1 2a0 s3

应力状态与应变状态 例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa) B 解：主应力坐标系如图 A 2 在坐标系内画出点 0  1 sa ta (MPa) O 20MPa AB的垂直平分线与sa 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆 B A C 2s0 s3 s2 s1

应力状态与应变状态 主应力及主平面如图 B A 2 0  1 sa ta (MPa) O 20MPa B A C 2s0 s3 s2

应力状态与应变状态 解法2—解析法：分析——建立坐标系如图 60° x y O

应力状态与应变状态 §9–4 梁的主应力及其主应力迹线 1 2 3 4 5 P1 P2 q §9–4 梁的主应力及其主应力迹线 1 2 3 4 5 P1 P2 q 如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q>0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。 单元体：

应力状态与应变状态 t 1 s3 s t s3 2 s a0 s1 t s3 3 s –45° t s1 s3 4 a0 t s s1 s1 D1 A2 A1 D2 s C O D1 t s3 2a0 A2 A1 2 O s a0 C D2 s1 t D1 s3 2a0= –90° D1 3 s C O –45° t s1 s3 D2 D1 2a0 A2 A1 O 4 a0 t s C s1 D2 D2 A2 A1 D1 s1 C s O 5

应力状态与应变状态 主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示 着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。 拉力 压力 实线表示拉主应力迹线； 虚线表示压主应力迹线。 1 3 1 3

应力状态与应变状态 y 主应力迹线的画法： x q 3 1 1 3 a 1 2 3 4 i n b c d 1 截面 2 截面 3

应力状态与应变状态 §9–5 三向应力状态研究——应力圆法 1、空间应力状态 s2 s1 x y z s3

应力状态与应变状态 t 2、三向应力分析 y s1 s2 s3 x z max 2、三向应力分析 s2 s1 x y z s3 图a 图b 弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。 整个单元体内的最大剪应力为：

应力状态与应变状态 t （M Pa ） (M Pa) 例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa） x y z 建立应力坐标系如图，画应力圆和点1′,得: 10 (M Pa) sa （M Pa ） ta B C t max A A B 40 50 30 解：由单元体图知：y z面为主面 s3 s2 s1

应力状态与应变状态 §9–6 平面内的应变分析 一、叠加法求应变分析公式 剪应变： 直角的增大量！ （只有这样，前后才对应）  y x b §9–6 平面内的应变分析 一、叠加法求应变分析公式 剪应变： 直角的增大量！ （只有这样，前后才对应） x y O  a b c d A O B  D D1 E E1

应力状态与应变状态 D D2 E E2  x y O a b c d A B

应力状态与应变状态 D D3 E E3  x y O a b c d A B

应力状态与应变状态

应力状态与应变状态 二、应变分析图解法——应变圆（ Strain Circle） 1、应变圆与应力圆的类比关系 ea ga/2 B C 建立应变坐标系如图 在坐标系内画出点 A(x，xy/2) B(y，-yx/2) AB与a 轴的交点C便是圆心 以C为圆心，以AC为半径画圆——应变圆。

应力状态与应变状态 三、方向上的应变与应变圆的对应关系 方向上的应变( ， /2) 应变圆上一点(， /2) ea ga/2 n D(，/2) A B C 2 20 min max  方向线 应变圆的半径 两方向间夹角 两半径夹角2 ；且转向一致。

应力状态与应变状态 四、主应变数值及其方位

应力状态与应变状态 例5 已知一点在某一平面内的 1、 2、 3、方向上的应变 1、 2、 3，三个线应变，求该面内的主应变。 解：由 i =1,2,3这三个方程求出  x， y， x y；然后在求主应变。

应力状态与应变状态 例6 用45°应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。 x y u 45o 0 max

应力状态与应变状态  x y §9–7 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律） 一、单拉下的应力--应变关系 y sx §9–7 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律） 一、单拉下的应力--应变关系 x y z sx x y z  x y 二、纯剪的应力--应变关系

应力状态与应变状态 三、复杂状态下的应力 --- 应变关系 sy x y z sx txy sz 依叠加原理,得:

应力状态与应变状态 主应力 --- 主应变关系 s1 s3 s2 方向一致 四、平面状态下的应力---应变关系:

应力状态与应变状态 主应力与主应变方向一致?

应力状态与应变状态 五、体积应变与应力分量间的关系 s1 s3 s2 a1 a2 a3 体积应变： 体积应变与应力分量间的关系:

应力状态与应变状态 例7 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6， 2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。 所以，该点处的平面应力状态

应力状态与应变状态 m e 3 34 2 . - =

应力状态与应变状态 例8 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350×l06，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。 D x A B y s1 p sm p O x l 图a

1、轴向应力:(longitudinal stress) 应力状态与应变状态 解：容器的环向和纵向应力表达式 1、轴向应力:(longitudinal stress) 用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程 p sm x D 图b

应力状态与应变状态 y p s t D q dq z 图c O 2、环向应力：(hoop stress) 用纵截面将容器截开，受力如图c所示 3、求内压（以应力应变关系求之） t m 外表面

应力状态与应变状态 §9－8 复杂应力状态下的变形比能 2 3  1 图 a 图 c 3 -m  1 2 m 图 b

应力状态与应变状态 称为形状改变比能或歪形能。 图 c 3 -m  1 2

应力状态与应变状态 txy 例9 用能量法证明三个弹性常数间的关系。 纯剪单元体的比能为： A 纯剪单元体比能的主应力表示为： 3 例9 用能量法证明三个弹性常数间的关系。 纯剪单元体的比能为： txy A 纯剪单元体比能的主应力表示为： 1 3

§9–9 强度理论的概念 §9–10 四个强度理论及其相当应力 §9–11 莫尔强度理论及其相当应力 §9-12 强度理论的应用

强度理论 §9–9 强度理论的概念 一、引子： 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ P 铸铁拉伸 M P 铸铁压缩 低碳钢 2、组合变形杆将怎样破坏？

强度理论 二、强度理论：是关于“构件发生强度失效（failure by lost strength）起因”的假说。 三、材料的破坏形式：⑴ 屈服； ⑵ 断裂 。 1、伽利略播下了第一强度理论的种子； 2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽； 3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪应力理论； 4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论（maximum distortion energy theory）；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。

强度理论 §9–10 四个强度理论及其相当应力 一、最大拉应力（第一强度）理论： §9–10 四个强度理论及其相当应力 一、最大拉应力（第一强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。 1、破坏判据： 2、强度准则： 3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。

强度理论 二、最大伸长线应变（第二强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。 1、破坏判据： 2、强度准则： 3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。

强度理论 三、最大剪应力（第三强度）理论： 认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。 1、破坏判据： 2、强度准则： 3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。

强度理论 四、形状改变比能（第四强度）理论： 认为构件的屈服是由形状改变比能引起的。当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就破坏了。 1、破坏判据： 2、强度准则 3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。

强度理论 §9–11 莫尔强度理论及其相当应力 莫尔认为：最大剪应力是使物体破坏的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律）。综合最大剪应力及最大正应力的因素，莫尔得出了他自己的强度理论。

强度理论 一、两个概念： 1、极限应力圆： 2、极限曲线：极限应力圆的包络线（envelope）。 极限应力圆 t O 极限应力圆的包络线 s O 近似包络线

t o 强度理论 s  3  1 a 二、莫尔强度理论：任意一点的应力圆若与极限曲线相接触， 则材料即将屈服或剪断。 1、破坏判据： M [ y] s a o t [ L] O1 O2 莫尔理论危险条件的推导 M K L P N O3  1  3 2、强度准则：

强度理论 3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件及其拉压极限强度不等的处于复杂应力状态的脆性材料的破坏（岩石、混凝土等）。 三、相当应力：（强度准则的统一形式）。 其中， *—相当应力。

强度理论 §9–12 强度理论的应用 一、强度计算的步骤： 1、外力分析：确定所需的外力值。 2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。 §9–12 强度理论的应用 一、强度计算的步骤： 1、外力分析：确定所需的外力值。 2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。 3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体， 求主应力。 4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行 强度计算。

强度理论 二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。 1、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论； 当最小主应力小于零而最大主应力大于零时，使用莫尔理论。 当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。 2、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论； 其它应力状态时，使用第三或第四理论。 3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用： 4、破坏形式还与温度、变形速度等有关！

强度理论 例1 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, 为铸铁构件，[]=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。 P T 解：危险点A的应力状态如图： A A s t 故，安全。

所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。 例2 薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4, y=7.3710-4,已知钢的E=210GPa，[]=170MPa,泊松比=0.3，试用第三强度理论校核其强度。 x y A 解：由广义虎克定律得: A s x y 所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。

强度理论 例3 一铸铁构件 bL= 400MPa， by= 1200MPa，一平面应力状态点按莫尔强度理论屈服时，最大剪应力为450MPa，试求该点的主应力值。 [ y] s a o t [ L] O1 O2 莫尔理论危险图 解：做莫尔理论分析图 M K L P N O3  1  3 a 破坏判据：

强度理论 解 上述联立方程得 ：

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