新版混凝土结构设计规范二阶效应的设计规定简介 武汉大学 侯建国 (13807136598, jghou@whu.edu.cn)

讲授内容 二阶效应的有关概念 忽略二阶效应影响的准则 二阶效应的计算方法 GB 50010-2010二阶效应的设计规定 结语 1 2 3 4

前 言 我国新修订的国家标准GB 50010-2010《混凝土结构设计规范》关于偏心受压构件的二阶效应的设计规定，较原规范GB 50010-2002《混凝土结构设计规范》作了重大修改，本文就GB 50010-2010关于偏心受压构件二阶效应的设计规定的修订情况作一简要介绍。

1 二阶效应的有关概念 结构的二阶效应泛指作用在结构上的重力或构件中的轴向压力在产生了层间位移和挠曲变形后的结构或构件中引起的附加变形和相应的附加内力，包括结构整体的侧移二阶效应（P -△效应）和受压构件的挠曲效应（P -δ效应）两部分。

1 二阶效应的有关概念 以框架结构为例，在有侧移框架中，二阶效应主要是指竖向荷载在产生了侧移的框架中引起的附加变形和相应的附加内力，通常称为P -△效应，在这类框架的各个柱段中， P -△效应将增大柱端控制截面的弯矩。 图1 有侧移框架的二阶效应

1 二阶效应的有关概念 在有侧移框架或无侧移框架中，各柱的轴向压力还将由于各柱本身的挠曲变形引起附加变形和相应的附加弯矩，通常称为P- 效应。 图1 有侧移框架的二阶效应

1 二阶效应的有关概念 P- 效应通常会增大杆件中间区段截面的弯矩，特别是当杆件较细长、杆件两端弯矩同号且两端弯矩的比值接近于1.0时，就可能出现杆件中间区段截面考虑P- 效应后的弯矩超过杆端弯矩的情况，从而使杆件中间区段的截面成为设计的控制截面。 除底层柱底外，P- 效应一般不增大柱端控制截面的弯矩。

1 二阶效应的有关概念 结构的侧移二阶效应的计算属于结构整体层面的问题，一般在结构整体分析中考虑，GB 50010-2010给出了两种计算方法：有限元法和增大系数法； 受压构件的挠曲效应计算属于构件层面的问题，一般在构件截面设计时考虑。

二阶弯矩 ：轴向压力N在产生了挠曲 变形的各个柱截面中引起 的附加弯矩。 1 二阶效应的有关概念 图2 标准偏压柱 一阶弯矩：Ne0 （e0为初始偏心距） 二阶弯矩 ：轴向压力N在产生了挠曲 变形的各个柱截面中引起 的附加弯矩。

1 二阶效应的有关概念 柱高中点截面的附加弯矩为N f2，总弯矩为N(e0+ f2)，其中f2为考虑二阶效应后的柱高中点挠度（ ），δ则为二阶效应引起的附加挠度。 图2 标准偏压柱中的一阶弯矩与二阶弯矩以及一阶挠度与二阶挠度

1 二阶效应的有关概念 我国规范GB 50010-2010及其他国外规范（如ACI 318M-08和BS 8110：1997等）将“标准偏压柱”柱高中点截面考虑二阶效应后的总弯矩与未考虑二阶效应的弯矩（也称为“一阶弯矩”）之比称为“偏心距增大系数”（或“弯矩增大系数”）ηns，即 (1)

1 二阶效应的有关概念 有侧移框架水平荷载弯矩二阶效应的“层效应”的偏心距增大系数（或弯矩增大系数）ηs都可用下式表达： (3) 这是有侧移框架二阶效应规律中的一个很重要的结论，也可称为有侧移框架水平荷载弯矩二阶效应的“层效应” 。

1 二阶效应的有关概念 在工程设计中，一般都是取图5a所示情况下由竖向荷载弯矩及水平荷载弯矩叠加后形成的较大柱端总弯矩M和相应轴向压力N作为截面设计的依据，其中较大柱端总弯矩从理论上应取为： M=Mv－Mv+Mh+ Mh* (4) 若将Mv这项有利影响忽略不计，并取： (5)

1 二阶效应的有关概念 则式(4)可以写成： M = Mv+ s Mh （6） 式中，s称为水平荷载偏心距增大系数（或水平荷载弯矩增大系数），中国规范GB 50010-2010称为P-效应增大系数。 s可根据“层效应”确定，也就是对同层各柱的s，原则上应是相同的。 实际工程常用的有侧移结构中，偏心距增大系数只应增大水平荷载弯矩，而不会增大竖向荷载弯矩。

1 二阶效应的有关概念 从理论上来说，在考虑几何非线性的前提下，叠加原理是不适用的；也就是从数量计算上说，Mv和Mh*是不能简单地在一个式子中进行叠加的，因而式（4）只适用于解释各类一阶弯矩与二阶弯矩之间的关系，而不适用于具体的计算。具体进行计算时，则可利用已不涉及叠加原理的简化后的式(6)。

2 忽略二阶效应影响的准则 GB 50010-2010根据国外相关文献资料、规范以及近期国内对不同杆端弯矩比、不同轴压比和不同长细比的杆件进行计算验证的结果，给出了可以忽略杆件自身挠曲产生的P −δ 效应影响的条件为：

2 忽略二阶效应影响的准则 l0 / i ≤ 34-12(M1/ M2) (7)

l0——构件的计算长度，可近似取偏心受压构件相应主轴方向上 下支撑点之间的距离； 2 忽略二阶效应影响的准则 l0 / i ≤ 34-12(M1/ M2) (7) 式中： M1、 M2——分别为已考虑侧移影响的偏心受压构件两端截面 按结构弹性分析确定的对同一主轴的组合弯矩设计 值，绝对值较大端为M2 ，绝对值较小端为M1 ，当 构件按单曲率弯曲时， M1/ M2为正，否则为负； l0——构件的计算长度，可近似取偏心受压构件相应主轴方向上 下支撑点之间的距离； i——偏心方向构件的截面回转半径。

3 二阶效应的计算方法 现有的二阶效应计算方法大体上可以分为以下四类： 考虑二阶效应的杆系结构非线性有限元法； 考虑二阶效应的弹性有限元法（亦称为“采用折减刚度的弹性有限元法”）； 计算有侧移结构的二阶效应的各种弹性简化方法（包括迭代P-法、层增大系数法、结构整体增大系数法、负刚度杆件法和负面积杆件法等）； 柱截面偏心距增大系数（或弯矩增大系数）的传统方法等。

3 二阶效应的计算方法 美国规范ACI 318M-08同时给出了上述四种方法供工程设计人员根据实际情况和需要选用；美国规范ACI 318M-08推荐的有侧移框架二阶效应的几种近似计算方法中，将考虑二阶效应的弹性有限元法作为首选的方法。 欧洲规范EN 1992-1-1：2004给出了基于非线性二阶分析的一般方法和基于名义刚度的简化方法及基于名义曲率的简化方法； 英国规范BS 8110：1997只选用了柱截面弯矩增大系数的传统方法。

3 二阶效应的计算方法 中国规范GB 50010-2010规定，混凝土结构由侧移产生的重力二阶效应可采用有限元分析方法进行计算，也可采用近似计算偏压构件侧移二阶效应的增大系数法（包括层增大系数法和结构整体增大系数法），即对未考虑P-效应的一阶弹性分析所得的构件端弯矩以及层间位移乘以增大系数进行计算，而对于构件自身挠曲引起的二阶效应（P-效应）的计算，则允许采用柱截面偏心距增大系数（或弯矩增大系数）的传统方法。

4 GB 50010-2010二阶效应的设计规定 4.1 侧移二阶效应（P-效应）的计算方法 GB 50010-2010规定，混凝土结构的侧移二阶效应可采用 有限元分析方法计算，也可采用规范附录B所给出的近似计算 结构侧移二阶效应的增大系数法，不再采用原规范的η-l0法。 当采用有限元分析方法时，宜考虑混凝土构件开裂对构件刚度 降低的影响。

（1）无侧移柱。 1）l0的确定：ACI 318M-08取 l0=klu (5-94) 美国规范的弯矩增大系数法，首先把柱分为无侧移柱和有侧移柱两类。 （1）无侧移柱。 无侧移柱由于没有侧移，或者说其侧移可以忽略不计，因此P-效应可以不考虑，而只需考虑 P-效应，即只需考虑柱的纵向弯曲的影响。 1）l0的确定：ACI 318M-08取 l0=klu (5-94) 式中，l0为柱的等效长度；k为等效长度系数；lu

基于Furlong等的研究成果[27]，ACI 318M-08采用下列公式计算k值，对于无侧移柱取以下两式的较小值： 为柱的无支撑长度，即两端侧向支撑（如楼板）间的净距。 基于Furlong等的研究成果[27]，ACI 318M-08采用下列公式计算k值，对于无侧移柱取以下两式的较小值： (5-95a) (5-95b) (5-95c)

ACI 318M-08规定，当 klu/r≤34-12（ M1/ M2 ） ≤40 时，可作为短柱处理，即可忽略二阶弯距的影响。M1为柱端绝对值较小的弯矩，M2为柱端绝对值较大的弯矩，当柱按单曲率弯曲时， M1/ M2 为正值；当柱按双曲率弯曲时， M1/ M2 为负值。 2）弯矩增大系数ηns 。ACI 318M-08规定，无侧移柱应按乘了系数的轴向压力Nu和被构件挠曲效应增大了的下列弯矩Mu进行截面设计，即

Mu= ηns M2 (5-96) 式中，M2为该柱段绝对值较大的柱端弯矩。 关于ηns 的计算，ACI 318M-08根据MacGregor、Mirza等的研究[26,28]，采用了如下的轴力表达式： (5-97) (5-98) 式中，Cm为等效弯距修正系数；

根据MacGregor的研究[26]，ACI 318M-08采用的Cm计算公式为： (5-100) 式中，若柱为单曲率弯曲， M1/ M2 则为正值；如柱两端内作用有横向荷载， Cm应取为1.0。 3）式（5- 96）中乘了系数后的弯矩M2对每个主轴应分别取为不小于： M2min=Nu (15+0.03h) (5-101) 对于M2min超过了M2的构件，式（5- 100）中Cm的值或者取等于1.0，或者按照计算出的端弯矩

M1与M2的比值确定。 （2）有侧移柱。 有侧移的柱因为有侧移，因此，P-效应和P-效应都应考虑，问题比较复杂。 1）l0的确定：与无侧移柱类似，ACI 318M-08取 l0=klu (5-102) 式中，lu为柱的无支撑长度，即两端侧向支撑（如楼板）间的净距。 对于两端有约束的有侧移柱：

(5-103a) 当m<2时: 当m≥2时: (5-103b) 对于一端有约束的有侧移柱： k=2.0+0.3 (5-103c) 式中，m为柱两端的柱梁平均相对刚度;为有约束端的柱梁相对刚度。 等效长度系数k也可利用ACI 318M-08规范中给出的诺模图（见图5-33（b））求得。

2）有侧移柱的设计弯矩Mu的确定。 ACI 318M-08规定，对于有侧移框架，当满足下列条件之一时，可按无侧移框架进行设计： ①若一个结构中，一根柱的端弯矩因二阶效应而增大的幅度未超过一阶端弯矩的5%,则该柱应允许假定无侧移。 ②若一个结构中的一个楼层由下式计算的Q值小于或等于0.05，则该楼层也应允许假定为无侧移： (5-104)

式中，Q为楼层稳定指数。 ACI 318M-08认为，有侧移框架柱上、下端控制截面中由不引起框架明显侧移的荷载（如竖向荷载）产生的弯矩Mns（相当于公式（5-76）中的Mv）不会被二阶效应所增大，只有引起框架明显侧移的荷载（如水平荷载）产生的弯矩Ms（相当于公式（5-76）中的Mh）才可能被二阶效应所 增大，故设计所取用的柱端弯矩Mu应为： Mu= Mns+ηs Ms (5-105) 式中,ηs为有侧移柱的弯矩增大系数。

ACI 318M-08规定，有侧移柱的二阶弯矩 ηs Ms的确定可按以下三种情况考虑。 ① klu／r<22，此时可忽略二阶弯矩的影响，亦即取 ηs =1.0。 ② klu/r≥22和 （Nu为乘了系数的 轴向压力设计值；Ag为柱的毛截面面积）。此时

弯矩设计值Mu应取两者（M1或M2）的较大 M1=M1ns+ηsM1s (5-106a) M2=M2ns+ηsM2s (5-106b) 式中，M1和M2分别为柱端1和柱端2增大了的弯矩；M1ns和Mls分别为由不引起明显侧移的荷载（竖向荷载）和引起明显侧移的荷载（横向荷载）在柱端1产生的一阶端弯矩；M2ns和M2s分别为由不引起明显侧移的荷载（竖向荷载）和引起明显侧移的荷载（横向荷载）在柱端2产生的一阶端弯矩；ηs为有侧移柱的弯矩增大系数。 弯矩设计值Mu应取两者（M1或M2）的较大

增大，故设计所取用的柱端弯矩Mu应为： Mu= Mns+ηs Ms (5-105) 式中,ηs为有侧移柱的弯矩增大系数。 ACI 318M-08规定，有侧移柱的二阶弯矩 ηs Ms的确定可按以下三种情况考虑。 ① klu／r<22，此时可忽略二阶弯矩的影响，亦即取 ηs =1.0。 ② klu/r≥22和 （Nu为乘了系数的 轴向压力设计值；Ag为柱的毛截面面积）。此时

弯矩设计值Mu应取两者（M1或M2）的较大 M1=M1ns+ηsM1s (5-106a) M2=M2ns+ηsM2s (5-106b) 式中，M1和M2分别为柱端1和柱端2增大了的弯矩；M1ns和Mls分别为由不引起明显侧移的荷载（竖向荷载）和引起明显侧移的荷载（横向荷载）在柱端1产生的一阶端弯矩；M2ns和M2s分别为由不引起明显侧移的荷载（竖向荷载）和引起明显侧移的荷载（横向荷载）在柱端2产生的一阶端弯矩；ηs为有侧移柱的弯矩增大系数。 弯矩设计值Mu应取两者（M1或M2）的较大

值。M1和M2的计算可以采用下列三种方法之一： （a）采用考虑了二阶效应的弹性有限元法，构件刚度采用折算刚度。ACI 318M-08建议的刚度折减系数为：对于梁可取0.35；对于柱可取0.70；对于剪力墙可分别取0.35（混凝土开裂）及0.70（混凝土不开裂）。由此算得的弯矩M1和M2可直接用于截面设计，这是ACI 318M-08有侧移柱计算二阶效应的首选方法。

（b）采用线弹性有限元法（构件的折算刚度的取值原则与法（a）的相同），算得一阶弯矩和 侧移值，然后用弯矩增大系数ηs加以修正。

在得到一阶弯矩和侧移值后，弯矩增大系数ηs可由下式计算： (5-107) 式中Q应按式（5-104）进行计算。 如算得的ηs ≤1.5，则根据已求得的ηs ，由公式（5-106）计算M1和M2，取M1或M2的较大值与相应的Nu进行截面设计；如算得的ηs >1.5，则应按法（a）或法（c）进行计算。 （c）采用与式（5-97）类似的公式计算有侧移柱的弯矩增大系数：

(5-108) 注意此式与式（5-97）的不同之处在于，∑Nu和∑Ncr都是对整个楼层的柱求和，这是因为假定整个楼层的柱的侧移都是相同的，式中Ncr按式（5-98）计算,其中k的取值见前述式（5-103）, EI的取值见前述式（5-99），但d的取值原则与法（a）的相同。 ACI 318M-08还规定，按上述三种方法确定ηsMs时，在考虑包括侧向荷载的荷载组合之外，还应以下列方式考虑结构作为一个整体在乘了系

数的重力荷载下的承载力和稳定性： a）当ηsMs按法（a）计算时，在乘了系数的恒载和活荷载加上乘了系数的侧向荷载作用于结构的情况下，二阶侧向挠度与一阶侧向挠度之比不应超过2.5。 b）当ηsMs按法（b）计算时，用乘了系数的恒载和活荷载下的∑Nu计算出的Q值不应超过0.60。 c）当ηsMs按法（c）计算时，用乘了系数的恒载和活荷载下的∑Nu和∑Ncr计算出的ηs应为正 值且不应超过2.5。

在以上的a）、b）、c）中，在确定构件的折算刚度时， d应取乘了系数的最大持续作用轴向力与乘了系数的最大轴向力之比。 ③ 如柱的 ,此时还必须考虑柱 的纵向挠曲的影响，即最大弯矩可能出现在柱的两端点之间。此时需在完成了②中的计算后，再按无侧移柱的方法计算Mu，然后按Mu和Nu进行截面设计。

ACI 318M-08还特别强调，在有侧移框架中,受弯构件应按节点处各受压构件总的增大后的端弯矩进行设计。

4 GB 50010-2010二阶效应的设计规定 经过大量的对不同结构形式P-效应的非线性分析研究，GB 50010-2010在修订后的P-近似计算方法中，首先对02版规范用增大系数s统乘（Mv+Mh）的不准确概念进行了修正（这里Mv为竖向荷载在柱端控制截面中引起的一阶弯矩，Mh为水平荷载在柱端控制截面中引起的一阶弯矩），即 P-效应只增大由引起结构侧移的荷载或作用所产生的杆端弯矩，而不增大由不引起结构侧移的荷载（例如较为对称的结构上作用的对称竖向荷载）所产生的杆端弯矩。

4 GB 50010-2010二阶效应的设计规定 GB 50010-2010规定，框架结构中，所计算楼层各柱的s可按下列公式计算： (22) 式中，D——所计算楼层的侧向刚度。在计算结构构件弯矩 增大系数与计算结构位移增大系数时，应考虑结 构构件所处的受力状态，分别取用与受力状态相 对应的梁、柱刚度值； Nj——计算楼层第j列柱轴向压力设计值； H0——计算楼层的层高。

4.2 偏心受压构件自身挠曲引起的二阶效应（P效应）的计算方法 4 GB 50010-2010二阶效应的设计规定 4.2 偏心受压构件自身挠曲引起的二阶效应（P效应）的计算方法 GB 50010-2010给出的考虑偏心受压构件自身挠曲引起 的二阶效应（P效应）的计算方法——Cmns法，与美国 规范ACI 318M-08无侧移柱的弯矩增大系数的计算方法基本 相同。 ACI 318M-08在计算无侧移柱的二阶效应的弯矩增大系数ns时采用的是“轴力表达式”，为沿用我国的工程设计习惯，GB 50010-2010在计算偏心受压构件自身挠曲引起的二阶效应的偏心距增大系数（或弯矩增大系数）ns时，仍沿用了02版规范在理论上完全等效的“曲率表达式”。

4 GB 50010-2010二阶效应的设计规定 GB 50010-2010规定，除排架结构柱以外的偏心受压构件，在其偏心方向上考虑杆件自身挠曲影响的控制截面弯矩设计值可按下列公式计算： (27) (28) (29) (30) 当Cmns小于1.0时，取Cmns =1.0；对于剪力墙及核心筒 墙，可取Cmns =1.0。

4 GB 50010-2010二阶效应的设计规定 式中, Cm为柱端截面偏心距调节系数，当小于0.7时取0.7； ns为弯矩增大系数； M1为偏心受压构件两端截面中弯矩设计值的绝对值较小者, M2为偏心受压构件两端截面中弯矩设计值的绝对值较大者, 当构件按单曲率弯曲时，M1/ M2为正，否则为负； N为与弯矩设计值M2相应的轴向压力设计值； ea为附加偏心距； ζc为截面曲率修正系数，当其计算值大于1.0时取ζc =1.0 h为截面高度； h0为截面有效高度。

4 GB 50010-2010二阶效应的设计规定 与02版规范相比，GB 50010-2010给出的二阶效应的相关设计规定，在概念上更为准确，在设计理念和设计方法上都是一个很大的进步，但GB 50010-2010给出的考虑偏心受压构件自身挠曲引起的二阶效应（P效应）的计算方法—— Cm—ηns法，在应用上则不够方便。

4 GB 50010-2010二阶效应的设计规定 截面设计时，在判断是否可以不考虑P −δ效应的影响，或是要考虑P −δ效应的影响计算ηns时，均需先确定偏心受压构件两端截面按结构弹性分析求得的对同一主轴的组合弯矩设计值M1、M2，其中绝对值较大端为M2 ，绝对值较小端为M1 。

4 GB 50010-2010二阶效应的设计规定 据笔者推测，这里的柱两端截面的组合弯矩设计值M1、M2 ，应为同一组合项次下的组合弯矩设计值，也就是说，在组合柱子i端截面的Mimax及相应的Ni、V i时，必须同时组合柱子j端截面在同一组合项次下的的Mj及相应的 Nj、V j ；同理，在组合柱子i端截面的Mimin时，必须同时组合柱子j端截面在同一组合项次下的的Mj及相应的 Nj、V j ，等等，显然，直接拿 Mimax 、 Mimin与Mjmax 、 Mjmin来确定M1、M2 及其比值M1 /M2是不合适的，因为Mimax与Mjmax 及Mjmin的组合项次不一定相同，同样地， Mimin与Mjmax 及Mjmin的组合项次也不一定相同。 可见，要确定柱子i、j两端截面的 M1、M2 ，无形当中要额外增加很多计算工作量，给设计应用带来不便，有待作进一步简化。

4 GB 50010-2010二阶效应的设计规定 GB 50010-2010增加了500N/mm2级带肋钢筋，考虑到混凝土结构中钢筋强度将由原来的主要以335N/mm2、400N/mm2为主转变为以400N/mm2、500N/mm2钢筋为主。当采用500N/mm2级带肋钢筋时，截面的极限曲率有所增大。 为便于计算，同时偏于安全考虑，GB 50010-2010将02版规范弯矩增大系数ns计算公式（34）中的1400改为1300； (34)

4 GB 50010-2010二阶效应的设计规定 基于式（24）同样的理由，GB 50010-2010取消了02版规范构件不同长细比对截面曲率的修正系数 2，并将考虑小偏心受压截面受力特点的截面曲率修正系数 1改用符号 c表示，同时将ei / h0改为(M2 / N+ea)/h0，即得GB 50010-2010给出的的计算公式（29）。 （29）

4 GB 50010-2010二阶效应的设计规定 GB 50010-2010给出的柱端截面偏心距调节系数Cm的计算公式（28），是在经典弹性解析解的基础上，考虑了钢筋混凝土柱非弹性性质的影响，并根据国内外的系列试验数据，经拟合调整后得出的。 (28)