5.5 香烟过滤嘴的作用 烟草是一种有刺激、兴奋作用的植物。烟草在植物学分类上属于茄科烟属，是起源于中、南美洲的古老作物。人类使用烟草至少有 1500 年的历史，公元 432 年建于墨西哥恰帕斯州帕伦克的一座神殿里的浮雕上就刻有玛雅人吸烟的雕像。有文字记载的历史始于1492年，当时哥伦布到达西印度群岛，看到当地印第安人吸烟，于是吸烟迅速在欧洲大陆流行开来。据明代名医张介宾著《景岳全书》记载，烟草在明万历年间传人中国，“ 崇祯初重法禁之不止，末年遂遍地种矣......”。看来吸烟自崇祯末即已盛行。

香烟中有2540种成分, 燃烧后发生复杂的物理化学变化, 产生的烟气中有400多种致癌物质, 还有10多种促进癌发展的物质,其中对人体危害最大的是烟碱、焦油、二恶英、一氧化碳、氰化物及放射性物质。 烟碱又称尼古丁,是烟草中存在的一种植物碱,化学式为C10H14N2,为无色油状或淡黄色油状液体,具有特殊的烟臭味。烟碱对人体的中枢神经有强烈的刺激和麻醉作用,少量使人兴奋,大量则会引起晕眩、呕吐甚至中毒死亡。一支烟所含的尼古丁足以杀死一只小白鼠。吸一支烟通常可吸入0.2～0.5mg, 成年人一次吸入40～60 mg尼古丁就可能致命。

焦油是卷烟中有机物质在缺氧条件下不完全燃烧产生的复杂混合物，其中99. 4%的物质是有害的,0. 2%是致癌的引发剂, 0 焦油是卷烟中有机物质在缺氧条件下不完全燃烧产生的复杂混合物，其中99.4%的物质是有害的,0.2%是致癌的引发剂, 0.4%是癌的协同剂。目前认为烟气中的焦油是最重要的有害物, 这就是为什么香烟盒都标出焦油含量(高、中、低)的缘故。焦油中多环芳烃的含量最多,且都具有强烈的致癌作用。 最近日本学者研究表明，抽烟产生的烟雾中还含有迄今为止已知物质中毒性最强的化合物 “二恶英”。它会引发和恶化各种疾病，例如，癌症、肺炎、气管炎、高血压、骨质增生、各种心脑血管病、哮喘以及不育症等。

另外还发现有些物质具有辅助致癌的特性, 即所谓的癌的促进物质(协同剂或促癌剂)。目前认为焦油3,4-苯并芘是最强有力致癌物, 它的化学式为C20H12，结构式为:3,4-苯并芘，它的沸点是179℃，一支烟中大约有0.02～0.10μg。 香烟烟雾中存在有大量的一氧化碳。一氧化碳是无色无味不溶于水的气体，它同血红蛋白的结合能力比氧大240～300倍, 大量吸入人体内便与血红蛋白结合,严重地削弱了红细胞的携氧能力,因此吸烟使血液凝结加快, 容易引起心肌梗塞、中风、心肌缺氧等心血管疾病。

氰化氢是一种无色气体, 是香烟烟气中最具有纤毛毒性的物质, 它主要来源于烟草中的含氮化合物如硝酸盐、蛋白质、含氮杂环化合物。 烟雾中含有放射性钋-210, 它能产生辐射离子,这种离子易杀死人体细胞, 并使之成为癌细胞。专家们估计, 每日吸30支烟, 相当于每年300次X射线胸透的射线量。 吸烟有害健康,更为重要的是, 吸烟者还严重妨碍他人健康。研究结果表明:吸烟者吸烟时对别人的危害比对他自己的危害更大,妻子不吸烟但丈夫吸烟的妇女,其肺癌死亡率是其丈夫的2.4倍。

这种危害对儿童最为严重,吸烟者的子女患肺炎、支气管炎、呼吸道感染及其他疾病的危险性要比正常儿童大得多。由于吸烟与致病之间有个漫长的过渡期,其病变甚至于在20年后才发生, 致使一些人误认为吸烟是否有害尚无定论。 事实上, 吸烟有害健康是毋庸置疑的。吸烟对健康的危害已被越来越多的人所认识。世界卫生组织将吸烟列为全球性流行病, 并确认烟草是目前对人类健康的最大威胁。全世界各国政府和人民已开始行动起来, 开展了声势浩大的禁烟运动。我国已采用了一些措施如限制卷烟产量、在公共场所、工作地点禁止吸烟等。

1支烟中的尼古丁可毒死一只老鼠 25支烟中的尼古丁可毒死一头牛 40—60毫克的尼古丁可毒死一个人 中国每年约有100万人死于吸烟引起的疾病，居世界第一 中国肺癌死亡率增长为世界第一，且以每年4.5％的速度上升 吸烟者冠心病发病率是不吸烟者的4倍 53.6％的不吸烟者受到被动吸烟的危害 每天一包烟，一年花费约800元，十年花费近万元

问题 模型分析 既要满足瘾君子的需要，又要减少吸烟的危害，于是给香烟装上了过滤嘴。 过滤嘴的作用到底有多大，与它的材料和长度有什么关系，人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中哪些因素影响大，哪些因素影响小？ 问题 模型分析 分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型。 吸烟时毒物进入人体的过程：毒物在烟草中均匀分布，吸烟时点燃处的烟草大部分化为烟雾，毒物在烟雾中均匀分布，一部分直接进入空气，另一部分沿烟草穿行。

在穿行过程中又有一部分被未点燃的烟草和过滤嘴吸收，而沉淀下来。剩下的进入人体。 被烟草吸收而沉淀下来的部分，当香烟燃烧到那里的时候又通过烟雾部分进入空气，部分沿烟草穿行。直到香烟燃烧到过滤嘴为止。 结论：原来分布在烟草中的毒物一部分进入空气，一部分被过滤嘴吸收，剩下的全部进入人体。 实际吸烟过程非常复杂，为建模方便，设想一个“机器人”在典型环境下吸烟，吸烟方式和外部环境认为是不变的。

模型假设 定性分析 1）l1 ~ 烟草长， l2 ~ 过滤嘴长， l = l1+ l2，毒物量 M 均匀分布，密度 w0 = M / l1 2）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是 a´: a, a´+ a = 1 3）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的 (单位时间) 吸收率分别是 b 和  不考虑从空气的烟雾中吸入的毒物量 4）烟雾沿香烟穿行速度是常数 v，香烟燃烧速度是常数 u， v >> u Q ~ 吸一支烟毒物进入人体的　 总量 定性分析

模型建立 t = 0, x = 0，点燃香烟 q(x, t) ~ 表示时刻 t 单位时间内通过香烟截面 x 处（0 < = x < = l）毒物量称为毒物流量 w ( x, t ) ~ 表示时刻 t 截面 x 处单位长度烟草中的毒物含量（0 < = x < = l 1）称为毒物密度，由假设得 　　如果知道了流量函数 q(x, t)，吸入毒物量 Q 就是 x = l 处的流量在吸一支烟时间内的总和。注意到关于烟草长度和香烟燃烧速度的假设，有

1) 求q(x,0) =q(x) 　 t=0时瞬间由烟雾携带的毒物单位时间内通过x处的数量记为 q(x,0), 由假设v>>u, 可以认为香烟点燃处x = 0静止不动。 记q(x,0)= q(x), 考察(x, x+△x), 根据守恒定律, q(x)与q(x+△x) 之差应等于这一段未点燃的烟草或过滤嘴对毒物的吸收量

在 x = 0 处点燃的烟草单位时间内放出的毒物量记作 H0 , 则 于是得到 初值问题 求解时先求出q(x) (0<= x <=l1), 再利用 q(x) 在 x = l 1 连续性确定 q(x) ( l1 <= x <=l )，其结果为

2) 求 q ( l , t ) t 时刻，香烟燃至 x = u t，记此时点燃的烟草单位时间内放出的毒物量为H(t), 则 根据与第 1 ）完全相同的分析与计算，可得 从而有

3) 求 w ( u t , t ) w(x, t) 随时间 t 的增大而增加，故有

4) 计算 Q

结果分析 1）Q与a,M成正比， aM是毒物集中在x=l 处的吸入量 2) ~过滤嘴因素，, l2 ~ 负指数作用 3）(r)~ 烟草的吸收作用 烟草为什么有作用? b, l1~ 线性作用

结果分析 4) 与另一支不带过滤嘴的香烟比较，w0, b, a, v, l 均相同，吸至 x=l1扔掉 带过滤嘴 不带过滤嘴 提高 -b 与加长l2，效果相同

5.7 烟雾的扩散与消失 现象和 问题 问题分析 炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形不透光区域。 5.7 烟雾的扩散与消失 炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形不透光区域。 现象和 问题 不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失。 建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失时间与各因素的关系。 无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化。 问题分析 观察的烟雾消失与烟雾对光线的吸收，以及仪器对明暗的灵敏程度有关。

模型假设 模型建立 1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风的影响；扩散服从热传导定律。 2）光线穿过烟雾时光强的减少与烟雾浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强。 3）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。 模型建立 1）烟雾浓度 的变化规律 热传导定律：单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比

1）烟雾浓度 的变化规律 曲面积分的奥氏公式

1）烟雾浓度 的变化规律 初始条件 Q~炮弹释放的烟雾总量  ~单位强度的点源函数 对任意t, C的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; RC 仅当 t, 对任意点(x,y,z), C0

2）穿过烟雾光强的变化规律 光强的减少与烟雾浓度成正比

穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。 3）仪器灵敏度与烟雾明暗界限 烟雾浓度连续变化 不透光区域有扩大、缩小、消失的过程 烟雾中光强连续变化 穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。 仪器 z -  设光源在z=-, 仪器在z=,则观测到的明暗界限为 ~不透光区域边界

4）不透光区域边界的变化规律 对任意t, 不透光区域边界是圆周 不透光区域边界半径

结果分析 r(t) rm t1 t2 t 观测到不透光区域边界达到最大的时刻t1，可以预报烟雾消失的时刻t2

5.8 万有引力定律的发现 牛顿（Newton1642-1727）是迄今为止人类历史上最伟大的科学家之一，他不但在物理学上有卓越的贡献，而且是数学上微积分的两大奠基人之一。牛顿在研究力学的过程中发明了微积分(流数法)，又用这一发明做工具，在开普勒(Kepler1571-1630)三定律和牛顿力学第二定律的基础上，演绎出了著名的万有引力定律。这一定律成功地定量解释了许多自然现象，直到今天仍是物理学中的一条基本定律。同时这一创造性成就也可以看作是人类历史上最著名的数学模型之一。

历史背景 15世纪下半叶，人类社会发展到了一个新阶段，欧洲商品经济的繁荣促进了航海业的发展，哥伦布发现新大陆、麦哲伦扬帆远航,引起了社会的普遍关注。当时远洋航船的方位全靠星球的位置来确定，在强大的社会需求带动下，天文观测的精确程度不断提高。在大量的实验观测数据面前，一直处于天文学统治地位的“地心说”开始动摇了。哥白尼(Copernicus1743-1543)在天文观测的基础上冲破宗教传统和“地心说” 的束缚, 提出了“日心说”，这是天文学乃至整个科学的一大革命。

但是由于历史条件和科学水平的限制，他的理论尚不十分完善，比如他认为行星绕太阳运行的轨道是圆形的。之后，丹麦天文学家第谷 但是由于历史条件和科学水平的限制，他的理论尚不十分完善，比如他认为行星绕太阳运行的轨道是圆形的。之后，丹麦天文学家第谷 .布拉赫（Tycho Brahe1546-1601）对行星运动作了大量观测, 积累了20年的资料。第谷过世后，把他一生的天文观测资料留给了开普勒。开普勒是德意志的天文学家，幼年患猩红热导致视力不好，后来有幸结识第谷。开普勒继承第谷的大量而又非常准确的天文观测资料后，经过20年的深入分析整理、反复研究计算于1609年发表了行星运动的第一、第二定律。后来又经过十年发表了行星运动的第三定律。这就是天文学史上至今仍十分著名的开普勒三定律：

（1）行星轨道是椭圆，太阳位于其中一个焦点上； （2）行星运行过程中，行星和太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等； （3）行星公转周期的平方同轨道长半轴立方成正比。 这三条定律阐明了行星的运动情况，但行星为什么会按这些规律运行并没有得到合理的解释。这一问题也引起了牛顿的注意，他以敏锐的洞察力觉察到一切运动都有其力学原因，开普勒三定律的背后必定有某个力学规律在起作用。于是他想构造一个模型加以解释。

模型假设 开普勒三定律和牛顿第二定律是导出万有引力定律的基础,所以把它们作为模型的假设条件. 极坐标系 (r,) 太阳 (0,0) O (太阳)  P (行星) r 极坐标系 (r,) 太阳 (0,0) 行星位置：向径 1. 行星轨道 a~长半轴, b~短半轴, e~离心率 2. 单位时间 扫过面积为常数 A 3. 行星运行周期 T  ~ 绝对常数 4. 行星运行受力 m ~ 行星质量

模型建立 万有引力定律研究的是引力的大小和方向，由牛顿第二定律，它取决于向径的二阶导数，从而必须研究向径r及其导数。 向径 的基向量 r  O (太阳)  P (行星) r 向径 的基向量

O (太阳)  P (行星) r

模型建立 l p / = A 万有引力定律 需证明 4A2/p =kM （与哪一颗行星无关） A~单位时间 扫过面积 r  (习题) O (太阳)  P (行星) r A~单位时间 扫过面积 l p / 2 = A (习题)

评注 在上述模型中简洁优美的数学处理令人叹为观 止，尤其是当我们把这一理论与导致这一理论出 现的冗长乏味的观测结果相对照时更是如此。但 是，如果没有这些枯燥的数据，谁能想象到这一 强有力的物理定律？还有，若没有新发明的微积 分这一新的数学技术，也不可能作出上述计算。