第十四章 结构动力学 §14-1 概 述 §14-2 结构振动的自由度 §14-3 单自由度结构的自由振动 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 §14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 §14-6 多自由度结构的自由振动

§14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 §14-8 振型分解法 §14-9 多自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 §14-10 地震作用计算 §14-11 无限自由度结构的振动 §14-12 计算频率的近似法

§14-1 概 述 动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化，要考虑惯性力的影响。 动力荷载的种类 §14-1 概 述 动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化，要考虑惯性力的影响。 动力荷载的种类 (1) 周期荷载：随时间按一定规律变化的周期性荷载，如按正弦 (或余弦)规律变化的称为简谐周期荷载，也称为 振动荷载。 (2) 冲击荷载：很快地把全部量值加于结构而作用时间很短即行 消失的荷载。 (3) 突加荷载：在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载。

§14-1 概 述 (4) 快速移动的荷载。高速移动的列车、汽车等。 (5) 随机荷载：变化规律不能用确定的函数关系表示的荷载。 §14-1 概 述 (4) 快速移动的荷载。高速移动的列车、汽车等。 (5) 随机荷载：变化规律不能用确定的函数关系表示的荷载。 如风的脉动作用、地震等。 结构振动的形式 (1) 自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在振动 过程中不再受外部干扰力作用。 (2) 强迫振动：在振动过程中不断受外部干扰力作用。

§14-2 结构振动的自由度 结构振动的自由度：结构在弹性变形过程中确定全部质点位 置所需的独立参数的数目。 图a所示简支梁跨中固定一个 §14-2 结构振动的自由度 结构振动的自由度：结构在弹性变形过程中确定全部质点位 置所需的独立参数的数目。 图a所示简支梁跨中固定一个 重量较大的物体，如果梁本身的 自重较小可略去，把重物简化为 一个集中质点，得到图b所示的计 算简图。 梁在振动中的自由度=1 单自由度结构—具有一个自由度的结构。 多自由度结构—自由度大于1的结构。

§14-2 结构振动的自由度 图a所示结构有三个集中质点。 自由度=1 图b所示简支梁上有三个集中质量。 自由度=3 §14-2 结构振动的自由度 图a所示结构有三个集中质点。 自由度=1 图b所示简支梁上有三个集中质量。 自由度=3 图c所示刚架有一个集中质点。 自由度=2 自由度的数目不完全取决于质点的数目

§14-2 结构振动的自由度 图d所示刚架上有四个集中质点， 但只需要加三根链杆便可限制全部质 点的位置。如图e。 自由度=3 §14-2 结构振动的自由度 图d所示刚架上有四个集中质点， 但只需要加三根链杆便可限制全部质 点的位置。如图e。 自由度=3 图f所示梁，其分布质量集度为m， 可看作有无穷多个mdx的集中质量，是 无限自由度结构。 自由度的数目与结构是否静定或超静定无关

§14-2 结构振动的自由度 图a所示机器的块式基础，当机器运转时，若只考虑基础的垂直振动，可用弹簧表示地基的弹性，用一个集中质量代表基础的质量。使结构转化为图示的单自由度结构。 图b所示的水塔，顶部水池较重，塔身重量较轻，略去次要因素后，可简化为图示的直立悬臂梁在顶端支承集中质量的单自由度结构。 实际结构针对具体问题可以进行简化

§14-3 单自由度结构的自由振动 如图所示在跨中支承集中质量的简支梁，把质点m拉离原有的弹性平衡位置，然后突然放松，则质点将在原有平衡位置附近往复振动。在振动过程中不受外来干扰，这时的振动即是自由振动。

§14-3 单自由度结构的自由振动 1、不考虑阻尼时的自由振动 弹簧拉力(恢复力) Fe=－k11y 惯性力 质点处于动力平衡状态 可得 §14-3 单自由度结构的自由振动 1、不考虑阻尼时的自由振动 弹簧拉力(恢复力) Fe=－k11y 惯性力 质点处于动力平衡状态 可得 图a所示为一个简单的质点弹簧模型。取重物的静力平 衡位置为计算位移y的原点，规定位移y和质点所受的力都已 向下为正。 (1) 列动力平衡方程。取振动任一时刻的质点为隔离体如图b。 单自由度结构 自由振动微分方程 命 则有 (a)

§14-3 单自由度结构的自由振动 (2) 列位移方程。如图c。 质点m振动时，把惯性力FI看作是静力荷载作用在体系上，则质点处的位移为 §14-3 单自由度结构的自由振动 (2) 列位移方程。如图c。 质点m振动时，把惯性力FI看作是静力荷载作用在体系上，则质点处的位移为 对单自由度结构有 可得与(1)相同的结果 式(a)为一常系数线性齐次微分方程，其通解为 则有 振动的初始条件为 (b) 可得

§14-3 单自由度结构的自由振动 式中y0—初位移， —初速度。 结构的自由振动由两部分组成： 一部分是初位移y0引起的，为余弦规律； §14-3 单自由度结构的自由振动 式中y0—初位移， —初速度。 结构的自由振动由两部分组成： 一部分是初位移y0引起的，为余弦规律； 一部分是初速度 引起的，为正弦规律。如图a、b。

§14-3 单自由度结构的自由振动 则有 令 式(b)可写为 (c) 简谐振动如图c a—为振幅，表示质点的最大位移； —为初相角。 —周期 §14-3 单自由度结构的自由振动 则有 令 式(b)可写为 (c) 简谐振动如图c a—为振幅，表示质点的最大位移； —为初相角。 —周期 —工程频率 —角频率或频率

§14-3 单自由度结构的自由振动 可得 (d) g—重力加速度；Δst—重量mg所产生静力位移。 §14-3 单自由度结构的自由振动 可得 (d) g—重力加速度；Δst—重量mg所产生静力位移。 式(d)表明：ω随Δst的增大而减小，即把质点放在结构最大位 移处，则可得到最低的自振频率和最大的振动周期。 例14-1 当不考虑梁的自重时，比较图中所示三种支承情况的梁 的自振周期。

§14-3 单自由度结构的自由振动 解：由式(d)可知，应先求结构在重量作用下的静力位移，有 代入式(d)可得 据此有 §14-3 单自由度结构的自由振动 解：由式(d)可知，应先求结构在重量作用下的静力位移，有 代入式(d)可得 据此有 说明：随着结构刚度的增大， 其自振频率也相应地增高。

§14-3 单自由度结构的自由振动 2、考虑阻尼作用时的自由振动 阻尼力的产生：外部介质的阻力，支承的摩擦等； §14-3 单自由度结构的自由振动 2、考虑阻尼作用时的自由振动 阻尼力的产生：外部介质的阻力，支承的摩擦等； 物体内部的作用，材料分子之间的摩擦等。 粘滞阻尼力：阻尼力与其振动的速度成正比，与速度的方向 相反。 —β称为阻尼系数 考虑阻尼力时，质点m的受力图如图所示 由动力平衡得 即 令

§14-3 单自由度结构的自由振动 则有 (f) 线性常系数齐次微分方程 设其解为 代入式(f)得特征方程 两个根为 讨论 §14-3 单自由度结构的自由振动 则有 (f) 线性常系数齐次微分方程 设其解为 代入式(f)得特征方程 两个根为 讨论 (1) k<ω—小阻尼情况：r1、r2是两个复数，式(f)的通解为 式中 —有阻尼自振频率 可得 由初始条件 则有

§14-3 单自由度结构的自由振动 可写为 (g) 式中 式(g)的位移-时间曲线如图所示。 —衰减的正弦曲线 k—衰减系数

§14-3 单自由度结构的自由振动 设阻尼比 则有 一般建筑结构中ξ=0.01~0.1，可认为 §14-3 单自由度结构的自由振动 设阻尼比 则有 一般建筑结构中ξ=0.01~0.1，可认为 某一时刻tn振幅为yn，经过一个周期后的振幅为yn+1，则有 等式两边取对数得 振幅的对数递减量 经过j个周期后，有

§14-3 单自由度结构的自由振动 (2) k>ω—大阻尼情况：r1、r2是两个负实数，式(f)的通解为 §14-3 单自由度结构的自由振动 (2) k>ω—大阻尼情况：r1、r2是两个负实数，式(f)的通解为 是非周期函数，不会产生振动，结构偏离平衡位置后将缓 慢回复到原有位置。 (3) k=ω—临界阻尼情况：r1=r2=-k，式(f)的通解为 —非周期函数，不发生振动。 此时阻尼比ξ=1，k=m，可得临界阻尼系数 故有 —阻尼比为阻尼系数与临界阻尼系数之比。

§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 受迫振动—结构在外来干扰力作用下产生的振动。 如图所示，干扰力F(t)直接作用在质点m上，可得 即 或 (h) 微分方程(h)的解有两部分：一是相应齐次方程的通解 y0， 二是与干扰力F(t)相应的特解 θ为干扰力的频率 F 为干扰力的最大值 当干扰力为简谐荷载时：

§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 (i) 振动方程(h)成为 设式(i)的一个特解为 代入式(i)解出 将y0与特解合并，由初始条件 可得 (j)

§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 由式(j)可知，振动由三部分组成： (1) 由初始条件决定的自由振动； (2) 伴随干扰力的作用发生的振动频率为ω’，称为伴生自由振动； (3) 按干扰力频率θ振动，称为纯强迫振动或稳态强迫振动如图。 前两部分振动很快衰减掉，最后只剩下纯强迫振动。 过渡阶段—振动开始的一段时间内几种振动同时存在的阶段； 平稳阶段—纯强迫振动阶段。

§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 1、不考虑阻尼的纯受迫振动 此时ξ=0，由式(j)的第三项可知纯受迫振动方程为 最大动力位移即振幅为 因 yst=Fδ11： F作为静力荷载引起的静力位移 —位移动力系数，最大动力位移与 静力位移之比值。

§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 当θ<ω时：μ为正，动力位移与动力荷载同向； 当θ>ω时：μ为负，动力位移与动力荷载反向。 对单自由度结构，当干扰力与惯性力的作用点重合时，位移动力系数与内力动力系数是相同的，统称为动力系数。 工程设计中应尽量避免发生共振 μ随θ/ω 而变化，当干扰力频率θ接近于结构的自振频率ω时，动力系数迅速增大； θ =ω时，理论上μ无穷大，此时内力和位移都将无限大→共振。

§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 2、考虑阻尼的纯受迫振动 将式(j)的第三项写为 相位差 振幅 振幅A可写为 —动力系数

§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 动力系数μ与θ/ω及ξ的关系如图所示。

§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 讨论 (1) μ<<ω时，θ/ω很小，μ接近于1。可近似地将Fsinθt 作为 静力荷载。此时振动很慢，因而FI、FR都很小。 无阻尼时，位移与荷载是同步的； 有阻尼时，位移与荷载基本上同步。 (2) μ>>ω时，μ很小，质量近似于不动或作振幅很微小的颤动。 结构的Fe、FR可以忽略，位移与荷载的相位差为180°。 (3) μ→ω时，μ增加很快，μ受阻尼的影响很大 。当阻尼较小 时，μ值很大，共振现象仍很危险。 工程设计中一般常取

§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 例14-2 如图发电机的重量G=35kN，梁的I=8.8×10-5m4， E=210GPa，发电机转动时离心力的垂直分力幅值F=10kN。不考 虑阻尼，试求当发电机转数为n=500r/min时，量的最大弯矩和挠 度（不计梁的自重）。 解：在G作用下，梁中点的最大静位移为 自振频率为 干扰力频率为 求得动力系数 梁中点的最大弯矩 梁中点最大挠度

§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 图a所示简支梁，干扰力不作用在质点上。建立质点m的振动方程。 F=1作用在点1时使点1产生的位移为δ11，如图b。 F=1作用在点2时使点1产生的位移为δ12，如图c。 作用在质点m上的惯性力为 在惯性力FI和干扰力F(t)共同作用下，任一时刻质点m处的位移为 即

§14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 §14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 瞬时冲量作用下的振动问题 瞬时冲量：荷载F(t)在极短的时间Δt≈0内给与振动物体的冲量 图a所示荷载大小为F，作用时间为Δt ，其冲量I=FΔt ，即图中阴影部分的面积。 瞬时冲量作用下质点的动量增值为 可得 由 当质点获得初速度后冲量即时消失，质点在这种冲击下将产生自由振动。将初始条件代入式(g)可得瞬时冲量I作用下质点m的位移方程为

§14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 §14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 若瞬时冲量不是在t=0而是在t=τ时加于质点上，其位移方程为 图b所示一般形式的干扰力F(t)可认为是一系列微小冲量F(τ)dτ连续作用的结果，应此有 (k) (m) 不考虑阻尼ξ=0，ω’=ω则有 式(k)及式(m)—称为杜哈梅积分

§14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 §14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 若在t=0质点原来还具有初始位移和初始速度，则质点位移为 若不考虑阻尼则有 (n)

§14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 §14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 （1）突加荷载。变化规律如图a所示。 设：加载前结构处于静止状态，将 F(τ)=F代入式(k)求得 时最大动位移yd为 动力系数为 不考虑阻尼 其振动曲线如图b。

§14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 §14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 （2）短期荷载。变化规律如图所示。 当t=0时， 有突加荷载加入并一直作用在结构上； 当t=t0时， 有一个大小相等方向相反的突加荷载加入。 利用（1）得到的突加荷载作用下的计算公式按叠加法求解： 自由振动

§14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 §14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 当t0<T/2时，最大位移发生在后一阶段。 动力系数为 与荷载作用时间长短有关 当t0>T/2时，最大位移发生在前一阶段。 短期荷载的最大动力效应与突加荷载相同。

§14-6 多自由度结构的自由振动 1、振动微分方程的建立 刚度法 图a所示无重量简支梁，略去梁的轴向变形和质点的转动，为n个自由度的结构。 §14-6 多自由度结构的自由振动 1、振动微分方程的建立 刚度法 图a所示无重量简支梁，略去梁的轴向变形和质点的转动，为n个自由度的结构。 加入附加链杆阻止所有质点的位移，如图b。 各质点的惯性力为 各链杆的反力为

§14-6 多自由度结构的自由振动 令各链杆发生与各质点实际位置相同的位移，如图c。 各链杆上所需施加的力为 §14-6 多自由度结构的自由振动 令各链杆发生与各质点实际位置相同的位移，如图c。 各链杆上所需施加的力为 不计阻尼，各链杆上的总反力应等于零。 以质点mi为例有 kii、kij为刚度系数其物理意义见图d、e。 可得i质点的动力平衡方程为

§14-6 多自由度结构的自由振动 对每个质点都列出一个动力平衡方程，于是可得 多自由度结构无阻尼自由振动微分方程 写成矩阵形式为

§14-6 多自由度结构的自由振动 简写为 式中：M为质量矩阵，在集中质点的结构中是对角矩阵； K 为刚度矩阵，是对称矩阵； §14-6 多自由度结构的自由振动 简写为 式中：M为质量矩阵，在集中质点的结构中是对角矩阵； K 为刚度矩阵，是对称矩阵； 为加速度列向量；Y为位移列向量。 将各质点的惯性力看作是静荷载如图a。 柔度法 结构上任一质点mi处的位移应为

§14-6 多自由度结构的自由振动 δii、δij为柔度系数其物理意义见图b、c。 由此，可以建立n个位移方程 §14-6 多自由度结构的自由振动 δii、δij为柔度系数其物理意义见图b、c。 由此，可以建立n个位移方程 多自由度结构无阻尼自由振动微分方程

§14-6 多自由度结构的自由振动 写成矩阵形式为 简写为 δ为结构的柔度矩阵，是对称矩阵。 可推得 柔度矩阵与刚度矩阵是互为逆阵。

§14-6 多自由度结构的自由振动 2、按柔度法求解 设位移方程的特解为 代入位移方程可得 振幅方程

§14-6 多自由度结构的自由振动 写成矩阵形式 单位矩阵 式中 —振幅列向量 要得到振幅不全为零的解答，振幅方程组的系数行列式为零。 §14-6 多自由度结构的自由振动 写成矩阵形式 单位矩阵 式中 —振幅列向量 要得到振幅不全为零的解答，振幅方程组的系数行列式为零。 频率方程

§14-6 多自由度结构的自由振动 或写为 将行列式展开→含 的n次代数方程，从而可得到n个自振频率ω1，ω2，…，ωn，将频率从小到大排列，分别称为第一，第二， …，第n频率。 将任一ωk代入特解得 此时各质点按同一频率ωk作同步简谐振动，各质点位移的比值为 任何时刻结构的振动都保持同一形状。 主振动—多自由度结构按任一自振频率ωk进行的简谐振动。 主振型—相应的特定振动形式，简称振型。

§14-6 多自由度结构的自由振动 将ωk代回振幅方程得 可写为 §14-6 多自由度结构的自由振动 将ωk代回振幅方程得 可写为 系数行列式为零，n个方程中只有(n-1)个是独立的，不能确定各质点的幅值，但可确定其比值即振型。

§14-6 多自由度结构的自由振动 —振型向量 设 ，即可求出其余各元素的值，此时振型称为标准化振型。 §14-6 多自由度结构的自由振动 —振型向量 设 ，即可求出其余各元素的值，此时振型称为标准化振型。 主振动的线性组合构成振动微分方程的一般解： 各主振动分量的振幅、初相角 由初始条件确定。 自振频率、振型：与结构的质量分布和柔度系数有关； 反映了结构本身固有的动力特性。

§14-6 多自由度结构的自由振动 两个自由度结构的振幅方程为 令 频率方程为 解得

§14-6 多自由度结构的自由振动 可得两个自振频率 求第一阵型 将ω=ω1代入振幅方程可得 求第二阵型 将ω=ω2代入振幅方程可得

§14-6 多自由度结构的自由振动 例14-3 试求图a所示等截面简支梁的自振频率并确定主振型。 解：自由度=2，由图b、c可得 求得 得到

§14-6 多自由度结构的自由振动 第一阵型 如图d，振型是正对称的。 第二阵型 如图e，振型是反对称的。 结构的刚度和质量分布是对称的， §14-6 多自由度结构的自由振动 第一阵型 如图d，振型是正对称的。 第二阵型 如图e，振型是反对称的。 结构的刚度和质量分布是对称的， 则其主振型是正对称的或反对称的。 取一半结构计算。

§14-6 多自由度结构的自由振动 例14-4 图a所示刚架各杆EI都为常数，假设其质量集中于各结 §14-6 多自由度结构的自由振动 例14-4 图a所示刚架各杆EI都为常数，假设其质量集中于各结 点处，m2=1.5m1。试确定其自振频率和相应的振型。 超静定结构 解：结构是对称的，其振型为正、反对称两种。由受弯直杆的 假定，判定不可能发生正对称形式的振动，其振型只能是 反对称的。可取图b所示一半结构计算。

§14-6 多自由度结构的自由振动 作超静定结构在F1=1和F2=1作用下的弯矩图，如图a、b。 取静定的基本结构作 图，如图c、d。 §14-6 多自由度结构的自由振动 作超静定结构在F1=1和F2=1作用下的弯矩图，如图a、b。 取静定的基本结构作 图，如图c、d。 计算得

§14-6 多自由度结构的自由振动 有 可得 第一阵型 第二阵型 反对称振动， 质点同向振动 反对称振动， 质点反向振动

§14-6 多自由度结构的自由振动 3、按刚度法求解 利用柔度矩阵与刚度矩阵互为逆阵的关系，通过变换可得 振幅方程 频率方程 §14-6 多自由度结构的自由振动 3、按刚度法求解 利用柔度矩阵与刚度矩阵互为逆阵的关系，通过变换可得 振幅方程 频率方程 由频率方程可解出n个自振频率，代回振幅方程得 确定相应的n个主振型

§14-6 多自由度结构的自由振动 两个自由度的结构频率方程为 展开 解得 两个主振型为

§14-6 多自由度结构的自由振动 例14-5 图a所示三层刚架横梁的刚度可视为无穷大，设刚架的 §14-6 多自由度结构的自由振动 例14-5 图a所示三层刚架横梁的刚度可视为无穷大，设刚架的 质量集中在各层的横梁上。试确定其自振频率和主振型。 解：刚架振动时各横梁只能水平移动，自由度=3，结构的刚度 系数如图b、c、d。

§14-6 多自由度结构的自由振动 建立刚度矩阵为 质量矩阵为

§14-6 多自由度结构的自由振动 有 由频率方程得 展开 解得 自振频率

§14-6 多自由度结构的自由振动 确定主振型 将ωk=ω1即ηk=η1=0.392代入振幅方程有 设 标准化的第一振型为 同理可求得

§14-6 多自由度结构的自由振动 第一、二、三振型分别如图a、b、c。

§14-6 多自由度结构的自由振动 4、主振型的正交性 n个自由度的结构有n个自振频率及n个主振型， §14-6 多自由度结构的自由振动 4、主振型的正交性 n个自由度的结构有n个自振频率及n个主振型， 每一频率及相应的主振型均满足振幅方程即： —分别设k=i，k=j，可得 两边左乘以 两边左乘以 (1) 则有 (2) K、M均为对称矩阵，将式(2)两边转置有 (3)

对于质量矩阵M，不同频率的两个主振型是彼此正交的。 对于刚度矩阵K，不同频率的两个主振型是彼此正交的。 §14-6 多自由度结构的自由振动 将式(1)减去式(3)得 当i≠j时，ωi ≠ ωj，应有 对于质量矩阵M，不同频率的两个主振型是彼此正交的。 将此关系代入式(1)得 对于刚度矩阵K，不同频率的两个主振型是彼此正交的。 主振型的正交性是结构本身固有的特性，可以用来简化结构的动力计算，可用以检验所得主振型是否正确。

§14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 平稳阶段的纯受迫振动 图(a)所示无重量简支梁，用柔度法建立振动微分方程。任一质点mi的位移yi为 式中 各动力荷载幅值在质点mi处引起的静力位移 对n个质点有

§14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 写成矩阵形式 式中 —荷载幅值引起的静力位移向量 纯受迫振动的解答为 为质点mi的振幅。 代入位移方程可得 —振幅方程

结论：位移、惯性力、干扰力将同时达到最大值。 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 或写为 式中I是单位矩阵，Y0是振幅向量。求解此方程即得各质点在纯受迫振动中的振幅，从而得各质点的惯性力为 —惯性力的最大值 结论：位移、惯性力、干扰力将同时达到最大值。 计算最大动力位移和内力时，可将惯性力、干扰力的幅值作为静力荷载加于结构上计算，如图b。

§14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 将振幅方程改写为 最大惯性力向量 可写为 当θ=ωk (k=1,2,…,n)，振幅、惯性力、内力值均为无限大—共振

§14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 例14-6 图a为一等截面刚架，已知m1=1kN， m2=0.5kN，F=5kN，每分钟振动300次，l=4m， EI=5×103kN·m2。试作刚架的最大动力弯矩图。 三个自由度： m1的水平位移 m2的水平位移 m3的竖向位移 解：此对称刚架承受反对称荷载，可取图b所示半刚架计算。

§14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 —m1的最大惯性力 —m2沿水平、竖向最大惯性力 (1) 则有

§14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 求系数和自由项，作相应弯矩图如图c~f。 由图乘法得

§14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 集中质量的数值为 振动荷载的频率为 代入式(1)得 解得 由叠加法 最大动力弯矩图如图g。

§14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 （a） 图a所示n个自由度的结构，当干扰力均作用在质点处时，可得动力平衡方程为 写成矩阵形式 若干扰力为同步简谐荷载 式中F=( F1 F2 … Fn )T，为荷载幅值列向量。

§14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 在平稳阶段各质点均按频率θ作同步简谐振动。 代入动力平衡方程整理得 求得各质点振幅值 各质点的惯性力为 可得 求得惯性力幅值 位移、惯性力、干扰力同时达到最大值，将FI、F(t)最大值作为静力荷载作用于结构，计算最大动力位移和内力。

§14-8 振型分解法 多自由度结构无阻尼受迫振动微分方程为 只有集中质量的结构，M为对角阵，K不是对角阵—方程耦联 各质点的位移向量 §14-8 振型分解法 多自由度结构无阻尼受迫振动微分方程为 只有集中质量的结构，M为对角阵，K不是对角阵—方程耦联 各质点的位移向量 —几何坐标 坐标变换 结构标准化的主振型向量表示为 设 —位移向量按主振型分解 展开

§14-8 振型分解法 简写为 把几何坐标Y变换成数目相同的另一组新坐标 —正则坐标 —主振型矩阵，几何坐标与正则坐标 之间的转换矩阵 令 §14-8 振型分解法 简写为 把几何坐标Y变换成数目相同的另一组新坐标 —正则坐标 —主振型矩阵，几何坐标与正则坐标 之间的转换矩阵 令 —第i个主振型的广义质量 —广义质量矩阵，对角矩阵

§14-8 振型分解法 —广义刚度矩阵，对角矩阵 主对角线上的任一元素 利用振型正交性可得 令i=j，可得 或 与单自由度结构的频率公式相似

§14-8 振型分解法 设 有 —广义荷载向量 —相应第i个主振型的广义荷载 振动方程变换为 —解除藕联，各自独立

振型分解法（振型叠加法）：将位移Y分解为各主振型的叠加 §14-8 振型分解法 整理得 —与单自由度结构无阻尼强迫振动方程形式相同。 初位移、初速度为零时，由杜哈梅积分求得 —n个自由度结构的计算简化为n个单自由度计算问题 振型分解法（振型叠加法）：将位移Y分解为各主振型的叠加

§14-8 振型分解法 振型分解法计算步骤 (1) 求自振频率和振型 (2) 计算广义质量和广义荷载 (3) 求解正则坐标的振动微分方程 §14-8 振型分解法 振型分解法计算步骤 (1) 求自振频率和振型 (2) 计算广义质量和广义荷载 (3) 求解正则坐标的振动微分方程 与单自由度问题一样求解。 (4) 计算几何坐标 求出各质点位移→计算其他动力反应。

§14-8 振型分解法 例14-7 图a所示结构在结点2处受有突加荷载作用，试求两 结点的位移和梁的弯矩。 解： §14-8 振型分解法 例14-7 图a所示结构在结点2处受有突加荷载作用，试求两 结点的位移和梁的弯矩。 解： (1) 结构的自振频率和振型(图b、c) (2) 广义质量

§14-8 振型分解法 广义荷载 (3) 求正则坐标 (4) 求位移

§14-8 振型分解法 两质点位移图形状如图d。

§14-8 振型分解法 (5) 求弯矩 两质点的惯性力为 由图e可求梁的动弯矩，如

§14-9 多自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 §14-9 多自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 1、振动微分方程的建立 图示结构有n个自由度，各质点受任意荷载Fi(t)及黏滞阻尼力FDi作用。 由前述知识，可得动力平衡方程为：

§14-9 多自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 §14-9 多自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 上式写成矩阵形式为： 简写为： （1） 2、振动微分方程组的解耦 引入正则坐标及主振型矩阵，全式左乘主振型矩阵的转置矩阵，式（1）变为： （2）

§14-9 多自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 §14-9 多自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 非对角矩阵，将 改造成对角矩阵，解除耦联。 由瑞利阻尼假设，设 各项左乘φT右乘φ得 对角矩阵，方程组完全解耦。 3、确定待定常数a、b ξi—与振型i 对应的阻尼比，常用参数。 经推导得

§14-9 多自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 §14-9 多自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 4、求解步骤 （1）计算自振频率ωi和振型Φ（i）：i=1，2，…，n （2）计算广义质量和广义荷载： （3）由ω1、ω2、ξ1、ξ2确定a、b后，计算ξi。 （4）求解正则坐标表示的振动微分方程： （5）计算几何坐标：

§14-9 多自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 §14-9 多自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 例14-8 图示结构在各层横梁处受有水平方向的突加荷载作用，试求各层柱顶位移。考虑阻尼，ξ1=ξ2=0.05。 解：（1）计算自振频率和振型 （2）计算广义质量和广义荷载

§14-9 多自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 §14-9 多自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 （3）计算阻尼比ξ （4）正则坐标表示的振动微分方程为

§14-9 多自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 §14-9 多自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 可求得正则坐标（略）， 由此计算得各层柱顶位移为：

§14-10 地震作用计算 地震作用（earthquake action） —由地震动引起的结构动态作用，包括水平地震作用和竖向地 震作用。 §14-10 地震作用计算 地震作用（earthquake action） —由地震动引起的结构动态作用，包括水平地震作用和竖向地 震作用。 1、单自由度结构的地震作用计算 图(a)为单自由度结构地震时的位移和变形示意图。 yg(t)—地震引起的地面位移，实测得到； y (t) —质点相对于地面的位移反应，未知的。

§14-10 地震作用计算 取质量为m的质点为隔离体，如图(b)，由达朗贝尔原理得动力平衡方程为： 展开平衡方程得 振动微分方程 或 §14-10 地震作用计算 取质量为m的质点为隔离体，如图(b)，由达朗贝尔原理得动力平衡方程为： 惯性力 展开平衡方程得 振动微分方程 或 当初始位移、初始速度均为0时，应用杜哈梅积分可求得 有阻尼自振频率

§14-10 地震作用计算 经推导可得结构受到的地震作用为： 抗震设计中最有意义的是地震作用的最大值Fmax amax α—地震影响系数

§14-10 地震作用计算 2、多自由度结构的地震作用计算 —线弹性结构、满足瑞利阻尼假设 刚度法 多自由度结构地震作用时的振动微分方程为： §14-10 地震作用计算 2、多自由度结构的地震作用计算 —线弹性结构、满足瑞利阻尼假设 刚度法 多自由度结构地震作用时的振动微分方程为： I—单位矩阵 振型分解法求解 用正则坐标α和振型矩阵Φ表示振动微分方程：

§14-10 地震作用计算 推导得对应第i 振型的单自由度振动微分方程为： 振型参与系数 由杜哈梅积分可得零初始条件时正则坐标的解答为： §14-10 地震作用计算 推导得对应第i 振型的单自由度振动微分方程为： 振型参与系数 由杜哈梅积分可得零初始条件时正则坐标的解答为： →第i 振型广义位移

§14-10 地震作用计算 结构第i 自由度的相对位移反应为： 用矩阵表示为： 质点i 的地震作用为： 由振型的正交性，可推得： §14-10 地震作用计算 结构第i 自由度的相对位移反应为： 用矩阵表示为： 质点i 的地震作用为： 由振型的正交性，可推得： 第j 振型广义加速度反应函数

§14-10 地震作用计算 αj(t)—地震影响函数 第j 振型对应第i自由度的地震作用函数 第j 振型的地震最大作用为： §14-10 地震作用计算 αj(t)—地震影响函数 第j 振型对应第i自由度的地震作用函数 第j 振型的地震最大作用为： 第j 振型地震影响系数的最大值 第i质点的重量

§14-10 地震作用计算

§14-11 无限自由度结构的振动 图a所示具有均布质量的单跨梁，其振动时弹性曲线上任一点的位移y是横坐标x和时间t的函数： §14-11 无限自由度结构的振动 图a所示具有均布质量的单跨梁，其振动时弹性曲线上任一点的位移y是横坐标x和时间t的函数： 设：梁的均布自重为q， 单位长度的质量m=q/g， 惯性力的集度为 取微段隔离体如图b。 由材料力学可得

§14-11 无限自由度结构的振动 如梁上承受均布简谐荷载psinθt，则梁的振动微分方程为 或 §14-11 无限自由度结构的振动 如梁上承受均布简谐荷载psinθt，则梁的振动微分方程为 或 微分方程的解有两部分：相应齐次方程的一般解-梁的自由振动 特解-梁的强迫振动 (1) 梁的自由振动 微分方程为 设位移y为坐标位置函数F(x)和时间函数T(t)之积，即 代入微分方程有

§14-11 无限自由度结构的振动 左边为变量t的函数 右边为变量x的函数 上式可写为 (1) (2) 可设 得 方程(1)的解为 令 或 §14-11 无限自由度结构的振动 左边为变量t的函数 右边为变量x的函数 上式可写为 (1) (2) 可设 得 方程(1)的解为 令 或 频率特征值 式(2)可写为

§14-11 无限自由度结构的振动 上式通解为 位移为 振幅曲线为 A、B、C、D—待定任意常数 引入新的常量 代入yx式中有 §14-11 无限自由度结构的振动 上式通解为 位移为 振幅曲线为 A、B、C、D—待定任意常数 引入新的常量 代入yx式中有 —克雷洛夫函数

§14-11 无限自由度结构的振动 克雷洛夫函数有如下关系 由这些关系可写出梁的挠度yx、角位移 、弯矩和剪力的公式 (3)

§14-11 无限自由度结构的振动 当x=0时，设 有 (4) 可得 全解为各特解的线性组合

§14-11 无限自由度结构的振动 例14-8 试求图a所示等截面梁的自振频率和振型。 解：由梁的边界条件， 由式(4)可得 §14-11 无限自由度结构的振动 例14-8 试求图a所示等截面梁的自振频率和振型。 解：由梁的边界条件， 由式(4)可得 —系数行列式为零 展开 化简为

§14-11 无限自由度结构的振动 由双曲函数和三角函数的图形可估计出 试算法可求得前四个值为 相应的自振频率为 可求得 由式(4)可得

§14-11 无限自由度结构的振动 任意常数 —M0为待定值 §14-11 无限自由度结构的振动 任意常数 —M0为待定值 将k=k1，k2，…分别代入yx可得出第一、第二、 …主振型曲线，其形状如图b~e。

§14-11 无限自由度结构的振动 (2) 简谐均布干扰力作用下的振动 此时微分方程为 设特解为 代入上式有 令 可得方程

§14-12 计算频率的近似法 (1) 能量法 由能量守恒原理，结构在无阻尼自由振动时，动能T和应变能Vε之和应为常数，即 应有 即 §14-12 计算频率的近似法 (1) 能量法 由能量守恒原理，结构在无阻尼自由振动时，动能T和应变能Vε之和应为常数，即 应有 即 设梁的振动方程为 速度为 动能为

§14-12 计算频率的近似法 应变能为 由Tmax=Vεmax得 如结构上还有集中质量mi（i=1，2，…，n），上式为

§14-12 计算频率的近似法 计算时，通常采用结构自重作用下的弹性曲线作为y(x)，此时应变能可用外力功来代替，即 频率计算公式改写为 §14-12 计算频率的近似法 计算时，通常采用结构自重作用下的弹性曲线作为y(x)，此时应变能可用外力功来代替，即 频率计算公式改写为 如求水平方向振动的频率，则重力应沿水平方向作用。

§14-12 计算频率的近似法 例14-9 试用能量法求图a所示等截面梁的第一自振频率。 解：取梁在自重q作用下的挠曲线 §14-12 计算频率的近似法 例14-9 试用能量法求图a所示等截面梁的第一自振频率。 解：取梁在自重q作用下的挠曲线 作为第一振型，如图b，即 q=mg，因而 代入公式得 精确值为

§14-12 计算频率的近似法 例14-10 试能量法求图a所示刚架的最低自振频率。 §14-12 计算频率的近似法 例14-10 试能量法求图a所示刚架的最低自振频率。 解：将各层重量mi g作为水平力加于结构如图b，此时位移作 为第一振型。

§14-12 计算频率的近似法 一般说，n层刚架中第i层位移为 代入公式得 精确值

§14-12 计算频率的近似法 (2) 集中质量法 例14-11 试求图a所示具有均布质量m的简支梁的自振频率。 §14-12 计算频率的近似法 (2) 集中质量法 例14-11 试求图a所示具有均布质量m的简支梁的自振频率。 解：(1) 将梁分为两段，将每段的 质量集中于该段的两端， 梁化为单自由度结构。 精确解 (2) 如求第一、第二频率，至少把结构化为有两个自由度如图b。 精确解

§14-12 计算频率的近似法 (3) 如求第一、第二、第三频率，至少把结构化为有三个自 由度如图c。 精确解 §14-12 计算频率的近似法 (3) 如求第一、第二、第三频率，至少把结构化为有三个自 由度如图c。 精确解 结论：集中质量法能给出较好的近似结果，在工程上 常被采用。

§14-12 计算频率的近似法 (3) 用相当梁法计算桁架的最低频率 相当梁：一个在某一特征点处位移与桁架位移相等的梁。 §14-12 计算频率的近似法 (3) 用相当梁法计算桁架的最低频率 相当梁：一个在某一特征点处位移与桁架位移相等的梁。 当桁架变形时，任一结点k的竖向位移ΔkP为 相当梁同一点k的竖向位移vkP将是其惯性矩I的函数，可写为 二者相等即可算出相当梁的惯性矩I。

§14-12 计算频率的近似法 简支桁架的自重为q，则在具有相同重量的相当梁重点的竖向位移为 令 可按简支梁的频率公式求其最低频率 §14-12 计算频率的近似法 简支桁架的自重为q，则在具有相同重量的相当梁重点的竖向位移为 令 可按简支梁的频率公式求其最低频率 将m=q/g和EI代入得

§14-12 计算频率的近似法 如图所示对称桁架，设m=10kg，E=200GPa，在所示质量的重力作用下，结点3的竖向位移可求得 §14-12 计算频率的近似法 如图所示对称桁架，设m=10kg，E=200GPa，在所示质量的重力作用下，结点3的竖向位移可求得 代入频率公式可得