结构力学 结构力学教研室 长安大学建筑工程学院

第八章 力 法

§8.1 力法基本概念 力法基本未知量 1. 力法基本概念 §8.1 力法基本概念   1. 力法基本概念 力法基本未知量 超静定结构是有多余约束的几何不变体系，具有多余约束是其与静定结构在几何组成上的区别，也是造成其仅用静力平衡条件不能求解的显见原因。 力法的基本未知量是超静定结构多余约束中的多余力。

力法基本体系 (a)原结构 (b)基本体系 图8-1-1

如图8-1-1(a)所示为有一个多余约束的几何不变体系。取B支座链杆为多余约束，去掉后代以多余力x1，见图(b)。 设想x1是已知的，图(b)所示体系就是一个在荷载和多余力共同作用下的静定结构的计算问题。换句话说，如果x1等于原结构B支座的反力，则图(b)所示体系就能代替原结构进行分析。

超静定结构去掉多余约束，并代以多余力后的体系，作为原结构的力法基本体系。本章中，力法基本体系的结构一定是静定结构，力法基本体系的结构叫力法基本结构。 力法基本方程 力法基本方程，应是求解结构多余约束中多余力的条件方程。

受力条件只能从原结构的外荷载、多余约束，与基本体系的外荷载及相应的多余约束力定性一致考虑，见图8-1-1。 变形和位移条件是结构内部对外力响应的外部表现形式，见图8-1-2(a)、(b)所示，可以由基本结构中的多余力处沿该多余力方向的位移与原结构一致的条件定量分析。

利用叠加原理，将基本体系分解为在荷载、多余力单独作用下的两种情况，分别分析后再叠加。分解后，见图(c)、(d)所示 (a)原结构 (b)基本体系 该条件可表示为： (a) 利用叠加原理，将基本体系分解为在荷载、多余力单独作用下的两种情况，分别分析后再叠加。分解后，见图(c)、(d)所示

(c) (d) 叠加， 与 得： 即： + = (b) = 使 式(b)改写成： + = (c)

例8-1-1试用力法计算图(a)所示超静定梁，并作梁的弯矩图。 力法基本方程，是基本结构上多余力处沿多余力方向的位移与原结构一致的条件。即位移条件。 例8-1-1试用力法计算图(a)所示超静定梁，并作梁的弯矩图。 (a)原结构

解： (1)取基本体系如图(b)。 (b)基本体系 见图(c)、(d) 和 (2)作 图 (c) (d)

确定力法基本未知量，即要求确定多余力的数量，同时也要求确定相应的基本体系。 (3)作弯矩图，见图(e)。 (e) 2.力法基本未知量的确定 确定力法基本未知量，即要求确定多余力的数量，同时也要求确定相应的基本体系。

如图8-1-3(a)所示连续梁，去掉两个竖向支座链杆后为悬臂梁，见图(b) (c)基本结构2 图8-1-3

一个超静定结构的多余约束数是一定的，但是基本体系却不是唯一的。 力法基本未知量数=结构的多余约束 数=结构的超静定次数  

对于较复杂的超静定结构，则可采用拆除约束法。即，逐一拆除结构的约束，直到其成为静定结构（力法基本结构），则拆除的约束就是多余约束，其数量就是力法的基本未知量数。 拆除约束法常要用到约束的约束数，现归纳如下： 切断一根二力杆或去掉一根支座链杆， 相当于去掉一个约束；

切开一个单铰或去掉一个固定 铰支座，相当于去掉两个约束； 切断一根连续杆或去掉一个固 定支座，相当于去掉三个约束； 将固定端换成固定铰支座或在 一根连续杆上加一个单铰，相 当于去掉三个约束。

用拆除约束法判定结构的力法基本未知量，应注意： 结构上的多余约束一定要拆干净， 即最后应是一个无多余约束的几 何不变体系； 要避免将必要约束拆掉，即最后 不应是几何可变体系或几何瞬变 体系。

例8-1-2 试确定图(a)、(b)所示结构的基本未知量。

(b) (b1) (b2)

§8.2 在荷载作用下的力法方 程及示例 1. 两次超静定结构的力法方程

取原结构的力法基本体系如图(b) (b) 方向的位移条件 方向的位移条件

分别考虑基本结构在各个多余力、荷载单独作用下的位移情况，见图(c)、(d)、(e)所示。

将各因素单独作用基本结构的位移叠加，得： (e) 将各因素单独作用基本结构的位移叠加，得： (a)

引入位移影响系数,并代入位移条件，式(a)写成： (b) 式(b)既是两次超静定结构在荷载作用下的力法方程。

2.次超静定结构的力法方程（力法典型方程） 由两次超静定结构的力法方程推广，得： …………….. (8-2-1)

力法方程是力法基本结构与原结构一致的位移条件。  写成矩阵形式： + = (8-2-1a)

柔度矩阵特征 在柔度矩阵的主对角线上（左上角至右下角的斜直线）排列的是主系数。主对角线两侧，排列的是副系数。根据位移互等定理，在主对角线两侧对称位置上的副系数互等。所以，力法方程的柔度矩阵是一个对称方阵，其独立的柔度系数为 个。

例8-2-1 使用力法计算图(a)所示超静定梁，并作弯矩图。

解： (1)判定梁的超静定次数，并确定相应的力法基本体系。见图(b)。 (b)基本体系

1)作基本结构分别在各多余力及荷载作用下的弯矩图。见图(c)、(d)、(e)。 (2)写力法方程。 (a) (3)求力法方程中的系数和自由项。 1)作基本结构分别在各多余力及荷载作用下的弯矩图。见图(c)、(d)、(e)。

(c) (d) (e)

2) 图乘求系数和自由项。

可由 的面积与该面积形心处的竖标相乘得出，叫做自乘。 可由 图的面积与该面积形心对 应的图的竖标相乘得出（由位移互等定理，也可交换取面积和竖标），叫做互乘。 由此，将求柔度系数和自由项的过程，演变成各弯矩图自乘或互乘的过程。

3)将所的系数和自由项代入力法方程(a)，并求解多余力。 简化为： (b)

解方程，得： (c) 4)作弯矩图。见图(f)。 (f)M图

利用前面已作各弯矩图，叠加求出杆端（控制截面）弯矩值： （上侧受拉） （下侧受拉）

说明： (1)超静定结构的内力只与杆件刚度EI的 相对值有关，而与其绝对值无关。 (2)作最后弯矩图的叠加公式。 (3)力法解题一般步骤：（针对梁和刚 架，并仅在荷载作用下） 确定结构的力法基本未知量，并绘出 相应的力法基本体系；

作基本结构的各单位多余力弯矩 图及荷载作用下的弯矩图； 求力法方程中的系数和自由项； 将系数和自由项代入力法方程， 求解多余未知力； 叠加法计算控制截面的弯矩值， 作结构的弯矩图； 由弯矩图作结构的剪力图，再由 剪力图作结构的轴力图；

校核力法计算结果。 例8-2-2 计算图(a)所示超静定刚架， 并作弯矩图。 (a)

解： (1) 确定基本未知量，并选择基本体系。 对图(b)、(c)所示的两个基本体系比较。 (b)基本体系1 (c)基本体系1

(b1) (b2) (b3) (c1) (c2) (c3)

(2) 计算系数和自由项

(3)将系数和自由项代入力法方程，并求解： 解得： (4)计算杆端弯矩，并作弯矩图 （右侧受拉） （左、上侧受拉）

(d)M图 说明： 力法简化计算主要是使力法方程解耦或使联立数目减少。当所有的副系数等于零时，力法方程是完全解耦的。所以，在选择力法基本体系时，应使尽可能多的副系数等于零 。

在选择力法基本体系上注意比较对照，往往起到使力法方程解耦、或减少计算量的效果，节省时间并有利于得出正确的结果。 例8-2-3 用力法计算图(a)所示组合结构，求出各桁架杆的轴力，并作梁式杆的弯矩图。已知梁式杆的抗弯刚度EI=常数，各桁架杆的轴向刚度EA=常数，且A=I/16。

(a) (1)确定力法基本体系 解： (b)

因本例仅在梁式杆上有均布荷载，桁架部分上无轴力发生，只有梁式杆上有弯矩，见图(d)。 力法方程为： (2)计算力法方程中的系数和自由项 (c) (d) 因本例仅在梁式杆上有均布荷载，桁架部分上无轴力发生，只有梁式杆上有弯矩，见图(d)。

显然，计算系数或自由项均应分别考虑梁式杆和桁架杆不用变形特点的位移计算式。计算如下： (3)将系数和自由项代入力法方程，并 解之：

(4)计算内力 （下侧受拉） 桁架杆轴力： （压力） （拉力）

(e) 力法方程中的柔度系数和荷载作用时自由项计算公式： 梁和刚架：

桁架： 对于曲杆或拱结构，将梁和刚架相应的计算式中对x的积分换乘对曲线杆轴的积分，即将dx换成ds。 组合结构中的梁式杆和桁架杆分别按各自的计算式计算后叠加。

力法解题的主要步骤为： 判定结构的力法基本未知量，确 定基本体系，并写出力法方程； 计算基本结构在各因数单独作用下 的内力，然后计算力法方程中的系 数和自由项； 将系数和自由项代入力法方程，并 求解出多余力； 计算控制截面内力，做内力图，并 进行最后结果的校核。

§8.3 力法中的对称性利用 若结构是对称的，荷载是正对称时，结构的内力分布也是正对称的；荷载是反对称时，结构的内力分布也是反对称的。

若取对称的基本结构，并且多余力也具有正或（和）反对称性，则，在正对称荷载作用下，结构只有正对称多余力，反对称多余力等于零；在反对称荷载作用下，结构只有反对称多余力，正对称多余力等于零。

例8-3-1 计算并绘制一超静定刚架分别在图(a)、(b)所示荷载作用下的弯矩图。

解： (1)图(a)，刚架在正对称荷载下的内力计算： (a1) (a2)

由图(a2)、(a3)图乘求系数和自由项： (a3)

代入力法方程，解得： 计算杆端弯矩： （外侧受拉） 弯矩图见图(c)。

(2)图(b)，刚架在反对称荷载作用下的内力计算： (c) (2)图(b)，刚架在反对称荷载作用下的内力计算： 取对称的基本结构，只考虑反对称的多余力，见图(b1)、(b2)。

(b2) (b1) (b3) 由图(b2)、(b3)图乘求系数和自由项：

代入力法方程，解得： 计算杆端弯矩： （左侧受拉） （右侧受拉）

弯矩图见图(d)。 (d) 力法利用对称性需要且仅需要(1)取对称的基本结构；(2)使多余力具有正对称或（和）反对称性。这两条必须同时满足。而不需要考虑荷载是否具有对称或反对称性。

如上述图(a)所示为一般荷载作用下的对称结构，力法基本未知量为3,因而力法方程为：

其上的多余力具有正对称和反对称性。基本结构在各多余力单独作用下弯矩图自然具有相应的对称和反对称性。 取对称的基本结构如图(b)，其上的 多余力具有正对称和反对称性。 (b)基本体系 其上的多余力具有正对称和反对称性。基本结构在各多余力单独作用下弯矩图自然具有相应的对称和反对称性。

(c) (d) (e) (f)

副系数为两个单位弯矩图的互乘，由于正对称与反对称的弯矩图互乘等于零，所以有副系数： 代入方程(a)，得： (b)

例8-3-2 利用对称性计算图(a)所示对称刚架。

取图(c)所示基本结构，但在对称位置上的两个多余力在一般荷载作用下不具有对称性，也不具有反对称性。

仍然取与图(c)相同的基本结构，所不用的是将在对称位置上的两个多余力进行分组，分成一组正对称的和一组反对称的，见图(b)所示。

计算系数和自由项：

代入力法方程，求多余力： 计算杆端弯矩： （左侧受拉） （上侧受拉）

（上侧受拉） 弯矩图见图(g) (g)

§8.4 在支座移动、温度改 变时的力法方程及示例 概念 除荷载(狭义上的外力)以外其它因数使结构发生的内力，常称为结构的自内力。

1.支座移动时的内力计算 与荷载作用下力法思路和建立方程的方法相同，所不同的是： 基本结构（静定结构）在支座移 动时是刚体位移，并且无内力发生; 基本结构多余力处沿多余力方向上 与原结构一致的位移条件一般不全 等于零。

以图8-4-1(a)所示超静定梁为例，考虑超静定结构在支座移动时的力法方程

取力法基本体系如图(b) (b)基本结构 其多余力处沿多余力方向上与原结构一致的位移条件为：

－分别表示基本结构在 注：基本结构的支座移动，指基本结构保留的支座上的位移。 叠加基本结构在各因数单独 作用下的位移，得力法方程： 式中 (a) 式中 －分别表示基本结构在 支座移动时沿多余力方向上的位移 注：基本结构的支座移动，指基本结构保留的支座上的位移。

例8-4-1 图(a)所示刚架，固定支座A在三个约束方向上都有位移发生，即水平位移a，竖向位移a/2，转角位移a/L。各杆EI相等，并为常数。只用力法计算该刚架，并作弯矩图。

(a) (b) 取基本体系如图(b)所示。力法方程为： 解： (a)

作各单位多余力单独作用下的弯矩图，并求出相应的支座反力见图(c)、(d)

计算柔度系数方法同前，即：

自由项的计算是静定结构在支座移动时的位移计算，可按演变过来的(自由项位移）计算公式计算。即 (8-4-1)

上式中： ——表示基本结构由于支座移动引起的在多余力 方向上的位移 ——多余力 =1单独作用在基 本结构上时引起的支座反力 ——基本结构的支座位移

本例自由项计算如下： 求解多余力：

计算杆端弯矩： （右侧受拉） （左侧、上侧受拉）

结构在支座移动下的最后弯矩叠加公式仅含各多余力的影响。即： 弯矩图见图(e) (e) 结构在支座移动下的最后弯矩叠加公式仅含各多余力的影响。即： (8-4-2)

2.温度改变时的内力计算 (a)原结构 (b)基本结构 (c) 图8-4-2

(d) (e) 图8-4-2

图8-4-2(a)所示两次超静定梁，温度改变影响下的力法方程 ： (b) 式中： 自由项 ——分别表示基本结构在温度改变时沿多余力 和 方向上的位移。

——分别表示基本结构在多 自由项的计算式可写成一般形式： 式中： 余力 =1单独作用下，结构的杆件 中产生的轴力值和弯矩图的面积。 (8-4-3) 式中： ——分别表示基本结构在多 余力 =1单独作用下，结构的杆件 中产生的轴力值和弯矩图的面积。

例8-4-2 图(a)所示结构，除承受图示的荷载外，内外侧的温度也发生了改变，其内侧升高了，外侧也升高了。杆件截面为矩形，尺寸见图示。已知：材料在温度下的线膨胀系数为 。用力法计算并作弯矩图和轴力图。

该刚架为一次超静定结构，基本体系如图(b)，力法方程： 解: (a) (b)基本结构 (a)原结构

(c) (d) (e) (f)

计算系数和自由项： 由图(e)弯矩图自乘，得： 由图(e)和图(c)两弯矩图互乘，得: 由式(8-4-3)计算： (b)

由题给条件知： 温度升高 外侧温度高 则,

将以上所得值代入力法方程(a)式中，解得： 矩形截面的抗弯刚度： 将以上所得值代入力法方程(a)式中，解得： 计算杆端弯矩： 右侧受拉

AB杆轴力： 拉力 注意: 超静定结构在支座移动或温度改变 的影响下，会产生自内力，并且自 内力与结构刚度的绝对值有关；

超静定结构在支座移动下，或由于 温度改变的影响，自内力是由多余 力作用在基本结构上的内力体现的， 因基本结构是静定结构，在上述因 素下不产生内力。或者更简单的说， 自内力是由多余力引起的。

超静定结构在支座移动或温度改 变的影响下的位移，应考虑所取 力法基本结构的位移。

§8.5 超静定结构的位移计算 及力法结果的校核 1.超静定结构的位移计算 (7-3-3) (1) 荷载作用下的位移计算 (7-4-1)

虚力状态（单位力作用下），仍可由力法基本体系（基本结构在荷载等其它一切外因和多余力共同作用下的体系）与原结构一致的位移条件考虑。

基本体系不仅在多余力方向与原结构的位移一致（力法方程条件），并且显然应满足基本结构在任一截面上的位移都必须与原结构一致。

静定结构的位移计算就是其任意一个基本体系的位移计算（因超静定结构的基本体系不是唯一的，见图8-5-1(b)、(c)）。计算超静定结构位移时的虚单位力可加在其原结构的任意一个基本结构上。

超静定结构位移计算时的单位虚弯矩图可以是一个静定结构的计算。见图8-5-1(e)、(f)。 为了区别位移计算公式(7-4-1)相同的内力符号（分别表示结构在荷载作用下的最后内力），并使位移计算公式更具一般形式，将式(7-4-1)改写成： (7-5-1)

超静定结构在荷载作用下的位移计算步骤： 计算超静定结构（原结构）在荷 载作用下的内力（实际状态）； 在原结构的任意一个基本结构上 沿拟求位移方向施加虚单位力， 并计算由此产生的内力； 将以上所得两种状态内力代入位 移计算公式（7-5-1）计算。

例8-5-1 求图8-5-1(a)所示刚架在 (c)基本结构2 荷载作用下C端截面的转角位移qC。 图8-5-1 (a)原结构 (b)基本结构1 (c)基本结构2 图8-5-1

(d)M图 (e) (f) 图8-5-1

解:刚架在荷载作用下的最后弯矩图已在例8-2-2中得出，见图(d)。图(e)、(f)示出了原结构的两个基本结构在虚单位力作用下的弯矩图，比较后，显然后者与最后弯矩图互乘较简单，因此取图(f)为原结构的虚力系。

一般选择虚单位弯矩图在结构上分布尽可能少的基本结构作虚力系。 将图(d)、(f)互乘，得 （） 注意 一般选择虚单位弯矩图在结构上分布尽可能少的基本结构作虚力系。

(2).支座移动和温度改变时的 位移计算 1)支座移动时的位移计算 一般形式: (7-5-1)

例8-5-2 求图(a)所示超静定梁由于B支座位移引起的梁中点的竖向位移。

解: (1)用力法计算原结构，作梁在支座移动时的最后弯矩图（实际状态）。取图(b)所示简支梁为力法基本结构，力法方程为：

方程中的系数和自由项：基本结构在单位多余力作用下的弯矩图和支座移动单独作用下的刚体位移见图(d)、(f)。 (c) (d)

(e)M图 (f)M图

将系数和自由项代入力法方程，求解多余力： 作最后弯矩图： 杆端弯矩： 上侧受拉 梁的最后弯矩图见图(e)所示。

(2)虚设单位力见图(g)，作虚单位弯矩图并求支座反力（虚力状态)。 (h) (i)虚单位弯矩图 (j)

(3)利用位移计算公式(7-3-3)求 位移 (a) 则, （）

说明： 根据所取虚单位力所在基本结构的 不同，公式(a)的右侧后一项做相应 的取舍。如若取悬臂梁建立虚单位 力系，见图(i)示，位移计算公式(a) 为零。 即, （）

超静定结构在支座移动时的位移，在 力法中应表现为由多余力（自内力） 作用在基本结构上引起的位移，再加上 基本结构在支座移动时的位移。因基本 结构若有支座移动时有位移发生。

2)温度改变时的位移计算 一般形式： (8-5-2)

例8-5-3 图(a)所示单跨超静定梁，其上下侧的温度改变量分别为t1、t2，且 t2=3t1，h=L/10，材料的线膨胀系数为a。求梁B端的转角位移qB。

(c) (d) (e) (f)

解： (1)用力法计算超静定梁在温度改变时的内力，作弯矩图、轴力图。力法基本体系见图(c)。由单位多余力作用下的弯矩图见图(f)，自乘得：

自由项: 代入力法方程: 解方程得：

虚单位力作用在简支梁上并绘虚单位弯矩图，见图(h) 作梁的最后弯矩图，见图(g)。 (g) (h) (2)求超静定梁B端转角位移 虚单位力作用在简支梁上并绘虚单位弯矩图，见图(h)

若取虚单位力作用在悬臂梁上，见下页图(i)，则角位移: 由公式(8-5-2)计算如下： （） 若取虚单位力作用在悬臂梁上，见下页图(i)，则角位移: （）

(i) (i) 2.力法结果校核 力法结果的主要校核条件是位移条件。具体校核方法是，选择结构上某一已知位移点，计算该点位移看是否等于已知值。

例8-5-4 已用力法求得图(a)刚架弯矩图如图(b)，校核该弯矩图。 (c)

解： (1)选已知位移点 C点的竖向位移等于零： (2)计算该位移 虚设单位力系见(c)，由图(b)、(c) 互乘得：

例8-5-5 由力法得在支座移动时梁 的弯矩图见图(b)，校核该弯矩图。 (a) (b) (d) (c)

解: (1)选择已知位移点 梁支座A端的角位移等于零： (2)计算该位移 虚设单位力系见图(d)

说明： 在计算超静定结构的未知位移时，选 择虚单位力所在的基本结构应使单位 弯矩图的图形越简单、在结构上分布 得越少越好；

在力法结果校核的已知位移计算 中，选择虚单位力所在的基本结构 应使单位弯矩图尽可能布满结构的 所有杆件上。