第4章 时变电磁场

本章内容 4.1 波动方程 4.2 电磁场的位函数 4.3 电磁能量守恒定律 4.4 惟一性定理 4.5 时谐电磁场

4.1 波动方程 在无源空间中，设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有 同理可得

4.2 电磁场的位函数 讨论内容 位函数的定义 位函数的性质 位函数的规范条件 位函数的微分方程

引入位函数的意义 引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。 位函数的定义

位函数的不确定性 满足下列变换关系的两组位函数 和 能描述同一个电磁场问题。 为任意可微函数 即 也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。 不同位函数之间的上述变换称为规范变换。 原因：未规定 的散度。

位函数的规范条件 造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 的散度。利用位函数的不确定性，可通过规定 的散度使位函数满足的方程得以简化。 在电磁理论中，通常采用洛仑兹条件，即 除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即

位函数的微分方程

同样

说明 应用洛仑兹条件的特点：① 位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解；② 矢量位只决定于J，标 量位只决定于ρ，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需 解出 就可得到待求的电场和磁场。 电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应 用不同的规范条件，矢量位A和标量位 的解也不相同，但最终 得到的电磁场矢量是相同的。 问题 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程? 具有什么特点?

4.3 电磁能量守恒定律 讨论内容 电磁能量及守恒关系 坡印廷定理 坡印廷矢量

电磁能量及守恒关系 电场能量密度： 磁场能量密度： 电磁能量密度： 空间区域V中的电磁能量： 特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随 时间改变，从而引起电磁能量流动。 电磁能量守恒关系： 进入体积V的能量＝体积V内增加的能量＋体积V内损耗的能量

坡印廷定理 表征电磁能量守恒关系的定理 微分形式： 积分形式： —— 单位时间内体积V 中所增加 的电磁能量。 其中： —— 单位时间内电场对体积V中的电流所做的功； 在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率。 —— 通过曲面S 进入体积V 的电磁功率。

推证 由 将以上两式相减，得到 再利用矢量恒等式：

在线性和各向同性的媒质中，当参数都不随时间变化时，则有 坡印廷定理的微分形式 在任意闭曲面S 所包围的体积V上，对上式两端积分，并应用散度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式 物理意义：单位时间内，通过曲面S 进入体积V的电磁能量等于 体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。

坡印廷矢量（电磁能流密度矢量） 描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量 定义： ( W/m2 ) 物理意义： 的方向 —— 电磁能量传输的方向 的大小 —— 通过垂直于能量传输方 向的单位面积的电磁功率

例4.3.1 同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径为b，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U ，导体中流过的电流为I 。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（2）当导体的电导率σ为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。 同轴线

解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内外导体之间的电场和磁场分别为 内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量

电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向负载，如图所示。 同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （理想导体情况） 穿过任意横截面的功率为

（2）当导体的电导率σ为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场 根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即 因此，在内导体表面外侧的电场为 内 同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况） 磁场则仍为 内导体表面外侧的坡印廷矢量为

由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如图所示。进入每单位长度内导体的功率为 同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况） 式中 是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。 以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。

4. 4 惟一性定理 惟一性问题 在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。 惟一性定理的表述 在以闭曲面S为边界的有界区域V 内， 如果给定t＝0 时刻的电场强度和磁场强度 的初始值，并且在 t  0 时，给定边界面S 上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在 t > 0 时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。

惟一性定理的证明 利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域内的解不是惟一的，那么至少存在两组解 、 和 、 满足同样的麦克斯韦方程，且具有相同的初始条件和边界条件。 令 则在区域V 内 和 的初始值为零；在边界面S 上电场强度 的切向分量为零或磁场强度 的切向分量为零，且 和 满足麦克斯韦方程

根据坡印廷定理，应有 根据 和 的边界条件，上式左端的被积函数为 所以 由于场的初始值为零，将上式两边对 t 积分，可得

上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有 即 （证毕） 惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场 问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的 应用。

4. 5 时谐电磁场 时谐电磁场的复数表示 复矢量的麦克斯韦方程 复电容率和复磁导率 亥姆霍兹方程 时谐场的位函数 平均能流密度矢量

4.5.1 时谐电磁场的复数表示 时谐电磁场的概念 如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。 研究时谐电磁场具有重要意义 在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、电视和通信 的载波等都是时谐电磁场。 任意的时变场在一定的条件下可通过傅里叶分析方法展开为不 同频率的时谐场的叠加。

 时谐电磁场的复数表示 时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问题的分析得以简化。 　 设　　　 是一个以角频率 随时间t 作正弦变化的场量，它可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，它与时间的关系可以表示成 实数表示法或 瞬时表示法 式中的A0为振幅、 为与坐标有关的相位因子。 利用三角公式  复数表示法 其中 复振幅 空间相位因子 时间因子

照此法，矢量场的各分量Ei（i 表示x、y 或 z）可表示成 各分量合成以后，电场强度为 复矢量 有关复数表示的进一步说明 复数式只是数学表示方式，不代表真实的场。 真实场是复数式的实部，即瞬时表达式。

例4.5.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式 （1） （2） 解：（1）由于 所以

（2）因为 所以 故

例4.5.2 已知电场强度复矢量 其中kz和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量 解

4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程 以电场旋度方程 为例，代入相应场量的矢量，可得 将 、 与 交换次序，得 上式对任意 t 均成立。令 t＝0 ，得 令ωt＝π/2 ，得 即

— 从形式上讲，只要把微分算子 用 代替，就可以把时谐电磁场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量的麦克斯韦方程 从形式上讲，只要把微分算子 用 代替，就可以把时谐电磁场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量的麦克斯韦方程 — 略去“.”和下标m

4.5.3 复电容率和复磁导率 　实际的介质都存在损耗： 导电媒质——当电导率有限时，存在欧姆损耗。 电介质——受到极化时，存在电极化损耗。 磁介质——受到磁化时，存在磁化损耗。 损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质 的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。 导电媒质的等效介电常数 对于介电常数为 、电导率为 的导电媒质，有 其中c=  －jσ/ω、称为导电媒质的等效介电常数。

电介质的复介电常数 对于存在电极化损耗的电介质，有 ，称为复介电常数或复电容率。其虚部为大于零的数，表示电介质的电极化损耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。 同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质 对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复介电常数为 磁介质的复磁导率 对于磁性介质，复磁导率数为 ，其虚部为大于零的数，表示磁介质的磁化损耗。

损耗角正切 工程上通常用损耗角正切来表示介质的损耗特性，其定义为复介电常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有 电介质 导电媒质 磁介质 导电媒质导电性能的相对性 导电媒质的导电性能具有相对性，在不同频率情况下，导电媒质具有不同的导电性能。 —— 弱导电媒质和良绝缘体 —— 一般导电媒质 —— 良导体

4.5.4 亥姆霍兹方程 在时谐时情况下，将 、 ，即可得到复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。 瞬时矢量 复矢量 理想介质 导电媒质

4.5.5 时谐场的位函数 在时谐情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以表示成复数形式。 瞬时矢量 复矢量 洛仑兹条件 达朗贝尔方程

4.5.6 平均能流密度矢量

例4.5.4　已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量为　　　　　　 ，其中k 和 E0 为常数。求：（1）磁场强度复矢量 ；（2）瞬时坡印廷矢量 ；（3）平均坡印廷矢量 。 解：（1）由　　　　　　　　得 （2）电场和磁场的瞬时值为

瞬时坡印廷矢量为 （3）平均坡印廷矢量为 或直接积分，得

练习：已知截面为 的矩形金属波导中电磁场的复矢量为 式中H0 、ω、β、μ都是常数。试求：（1）瞬时坡印廷矢量； （2）平均坡印廷矢量。 解：（1） 和 的瞬时值为

所以瞬时坡印廷矢量 （2）平均坡印廷矢量