数学思想方法专题复习 数形结合思想 河南省社旗县第一高级中学 栾永超

数形结合思想 目标要求 数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考中也得到了加强，其发展趋势不容忽视。 运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，在选择、填空中更显优越。 数形结合在解题过程中应用十分广泛，巧妙运用数形结合的数学思想方法来解决一些抽象数学问题，可起到事半功倍的效果。

A B C 一、数形结合思想在解决集合问题中的应用 1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题． 例1、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？ 分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如右图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数 A B C

例2、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？ A B C 用card表示集合的元素，则有： ∴，即同时参加数理化小组的有1人

2、利用数轴解决集合的有关运算问题 例3、 已知集合 ⑴若 ，求a的范围.⑵若 ，求a的范围 ⑴ ：先在数轴上表示出集合A的范围，，要使 ，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A a 3a -1 3 a值不存在

2、利用数轴解决集合的有关运算问题 一、数形结合思想在解决集合问题中的应用 例4、 已知集合 ⑴若 ，求a的范围.⑵若 ，求a的范围 ⑵ ：要使 ，这时集合A应该覆盖集合 B，且B非空 a 3a －1 3

题目条件等价于抛物线y1的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线y2的顶点纵坐标． 二、利用数形结合思想解决方程根的问题 3、利用图像解决一元二次方程根的分布问题 例6、如果方程x2+2ax+k=0的两个实根在方程x2+2ax+a-4=0的两实根之间，试求a与k满足的关系式 x y y1 y2 题目条件等价于抛物线y1的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线y2的顶点纵坐标．

α+β= y=2x y=4-x y=2x y=4-x y=log B y=log y=4-x A y=x A(α,4- α) 例9、已知α是方程 x + log = 4 的实根,β是方程 2x + x = 4 的实根，那么 α +β= y=2x y=4-x y=2x y=4-x y=log B y=log y=4-x A y=x A(α,4- α) B(β,4- β) ( + )=( )+( ) α β 4- α 4- β α+β= 4

例10. 若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。 原方程变形为 即： 设曲线y＝(x－2)2 , x∈(0,3)和直线y＝1－m，如图 ① 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1; ②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3<m≤0, ∴ m＝1或－3<m≤0

1、利用图像解决不等式求解问题 分析 三、利用数形结合思想解决不等式问题 例11、 求不等式 5 – 4x – x2 ≥ x 的解集 y≥0 (x+2)2+y2=9 分析 令y= 5 – 4x –x2, y=x 则有 直线 一丶三象限角平分线 半圆 x y o

x y o 解:令y= 5 – 4x – x2 , y=x 则 y≥0 (x+2)2+y2=9 -2+ 14 2 即函数 表示一个以（-2 ，0）为圆心，R=3为半径的圆的上半部分（半圆），如图所示 5 – 4x – x2 ≥ x 的解集应为半圆位于y=x的上部分 的各点的横坐标的集合。 解方程 5 – 4x – x2 = x 得 x1= ; X2= （舍） 。 结合图象可知：解集为 y= 5 – 4x – x2 -2- 14 {x︱-5 ≤x ≤ }

四、利用函数图象性质解题 C y=x2 y=2x 解析：如图作出下列三个 函数图象： x=0.3 由比较三个函数图象与直线x=0.3 的交点的位置关系可得结论 .1 .1 y=log2x

四、利用函数图象性质解题 例15方程2-x+x2= 的实数解的个数为（ ） y=2-x y= -x2+ 2 2 C 解析：求原方程的解的个数等价 于求两线交点的个数。 y=2-x y=2-x y= -x2+ 2 2 . A 如图所示：两线交于两点A，B 所以原方程解的个数为2个。 .1 B y=-x2+

数形结合解决三角函数问题 一、 利用等分象限法 例17．设 是第二象限角，则必有（ ） A B C D 一、 利用等分象限法 例17．设 是第二象限角，则必有（ ） A B C D 分析：将各个象限4等分，如下图所示， 为第二象限角，则 应在图中标号为2的区域内， 此时 、 ， 所以选（A）。

例18．求函数 的最小正周期。 分析：本题极易由万能公式将函数 转 化为 作出周期为 的结论。事实上，转化前后函数已不是同一函数，y=tan2x 需加注 才与 为同一函数。 因此，要求最小正周期应结合图形考虑， 由下图可知周期为 。

解：原方程可化为 ，由 的图象( )可知，a∈（－2，1）∪（1，2）时， 方程 在[0, ]上有两个不同实根。

例20．已知数y=︱sinx︳+︱cosx︳，x∈[0, ],求出函数的值域。 解：原函数关系式可化为： 图象如图。 当x=0， 时 当x= 时 ∴所求函数值域为[1， ]

五、数形结合思想在解析几何中的应用 解析： N(-2,-1) M

例22、已知x= ,求 最大值和最小值。 y+5 y 9- x+2 表示右半圆上的点与点(-2,-5)连线斜率的最值 Y X 2 3 -2 O -3 -5 -2 表示右半圆上的点与点(-2,-5)连线斜率的最值

(x+2) 例23、从点P(m , 3)向圆 引切线，则切线长最小值为--------。 (y+2) + =1 2 2 6 P Y X 3 O 3 -2 P P A

例24: 直线l 过点M(-1 , 2)且与以P(-2 , -3)、Q(4,0)为端 [5,+∞) ∪(- ∞ , ] 5 2 2 Y X O 4 -2 -3 -1 M π 2 Y X O Q P

六、利用几何图形的性质解题 x2 a2 y2 b2 + =1 例25 设P(x0,y0)是椭圆 上任一点，F2为椭圆的右 + =1 例25 设P(x0,y0)是椭圆 上任一点，F2为椭圆的右 焦点，求证分别以｜PF2｜及椭圆长轴为直径的两圆必内切。 分析：欲证两圆内切，只证两圆心距等于半径差即可。 解：如图： 取PF2中点M，连OM、F1P 则OM∥F1P，且｜OM｜＝　｜F1P｜ 1 2 又a= (|F1P|+|F2P|) 1 2 　　(|F1P|+|F2P|)－ |F2P| = |F1P|＝｜OM｜ 1 2 M 所以两圆相切。

六、利用几何图形的性质解题 + (1)解：如图： 连A1F，B1F，由定义， ｜FA｜＝｜A1A｜ ｜FB｜＝｜B1B｜ ∴ ∠1＝ ∠2， ∠3＝ ∠4， ∠A＋ ∠B＝1800 x2=2py 又∠A＝1800－2 ∠2 ∠B＝1800－2 ∠4 ∠A＋ ∠B＝3600－2（ ∠2＋ ∠4）＝1800 ∴ ∠2＋ ∠4＝900， ∠A1FB1＝900 ∴A1F⊥B1F

六、利用几何图形的性质解题 + (2)解：设A(2ph1,2ph12),B (2ph2,2ph22),(h1<0,h2>0) |FA| |FB| (2)解：设A(2ph1,2ph12),B (2ph2,2ph22),(h1<0,h2>0) 则|FA|＝2ph12+ , P 2 |FB|＝2ph22+ , P 2 P 2 ∵AB过焦点F（0， ） x2=2py ∴kAB= =h2+h1 2ph22-2ph12 2ph2-2ph2 直线AB方程为： y-2ph12=(h1+h2)(x-2ph1) -2ph12=(h2+h1)(0-2ph1) P 2

六、利用几何图形的性质解题 + 整理得：h1h2=－ ∴ + = + = x2=2py = ∴ + 是一定值 1 |FA| |FB| 1 4 ∴ + = 1 |FA| |FB| 2ph12+p/2 2ph22+p/2 + 4[2(h22+h12)+1] P[16h12h22+4(h12+h22)+1] = x2=2py 4[2(h12+h22)+1] P[4(h12+h22)+2] 2 p = ∴ + 是一定值 1 |FA| |FB|

x 例24：已知双曲线 的右焦点为F， 点A(9 , 2)不在双曲线上，在这个曲线上 求一点M，使 最小，并 求出这个最小值。 9 y 16 =1 MA 3 5 MF + F d 2 Y X O 9 -2 3 5 -3 -5 M M A(9,2)

(三)利用几何图形的性质解题 x2 a2 y2 b2 + =1 例25 设P(x0,y0)是椭圆 上任一点，F2为椭圆的右 + =1 例25 设P(x0,y0)是椭圆 上任一点，F2为椭圆的右 焦点，求证分别以｜PF2｜及椭圆长轴为直径的两圆必内切。 分析：欲证两圆内切，只证两圆心距等于半径差即可。 解：如图： 取PF2中点M，连OM、F1P 则OM∥F1P，且｜OM｜＝　｜F1P｜ 1 2 又a= (|F1P|+|F2P|) 1 2 　　(|F1P|+|F2P|)－ |F2P| = |F1P|＝｜OM｜ 1 2 M 所以两圆相切。

练习1：直线 与圆 在第 x+ x 一象限内有两个不同的交点,则m的取值范 围是------------------。 3 y -m=0 练习1：直线 与圆 在第 一象限内有两个不同的交点,则m的取值范 围是------------------。 3 y x+ -m=0 x 2 =1 + 3 < m < 2 O -1 Y X 1

x 练习2：已知x，y满足条件 ， 求y-3x的最值。 y =1 练习3.方程lgx=sinx的根的个数是 ； 16 25 Y X 5 -5 + y 25 =1 Y X O 5 -5 -4 4 y-3x最大值为： 13 y-3x最小值 为：-13 练习3.方程lgx=sinx的根的个数是 ； 三个

练习3 如果实数x、y满足等式 (x－2)2＋y2＝3，那么y/x的最大值是_____ 练习4 若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集非空，那么实数m的取值范围是_____

课堂小结 数形结合思想：数（式） 形 “几何意义” 观察形的变 化得出结论 数形结合思想：数（式） 形 观察形的变 化得出结论 小结1：在确定超越方程的根的个数或含参数的不等式问题时，应由数思形，观察该方程或不等式对应的在同一坐标系中两个函数图象的交点个数或交点的情况即可 小结2：数形结合方法在解决与函数性质有关的问题时，常常画出该函数的草图或示意图，即以形助数。

备考建议 1.立足基础。课本上的基础概念、定义、定理、公理、公式，需要熟练掌握。对一些基本方法要熟练运用。 2.既要把握传统知识，也要注重新增内容的考查。概率、统计、向量等知识要重点把握。

备考建议 3.强调学生的计算能力、知识迁移、运用的能力。同时还要注重对学生意志品质的培养。 4.注重应试技巧的提高，有针对性地进行专项训练。学会合理的分配时间，同时注意心态的调整。还要注意答题的规范性和常规的解题格式。

5.隐性失分主要集中在试卷中偏易的地方，有三个方面： 备考建议 5.隐性失分主要集中在试卷中偏易的地方，有三个方面： 　　(1)速度。客观题整体难度不大，但考试的时间紧，是争分夺秒，有些学生用时多，即使对了也是“潜在丢分”，建议复习一定要有速度意识，加强速度训练，要避免“小题大做”、 “超时失分”的现象。客观题要注意解法，要“不择手段”

备考建议 (2)审题。学生对基础题部分有很强的轻敌思想，建议复习时不要将此类问题一味的归结为由粗心引起，要对“一题多变”进行适当的训练，当处理的题目达到一定的数量后，决定复习效果的关键性因素就不再是题目的数量，而在于题目的质量和处理水平。

(3)表达。立体几何题和概率统计题的规范表达仍然是一个老大难问题。很多同学抓不住得分要点，思维不严谨。这与平时只顾做题，不善于归纳、总结有关。在以中低档题为主体的高考中，获得正确的思路相对容易，如何准确而规范地表达就变得重要了。建议要养成严谨细致的作风。数学推理、计算的一些过程必须要完整；数学表示及计算推导过程要讲究严格无误；填空题要算出最后的结果；今年我省全部采用网上阅卷，一定要注意卷面整洁，不要字迹潦草；涂改一定要划掉后再写，不能涂改得看不清；一定要用规定型号的笔、墨水答题；一定要在规定范围的区域内答题。

备考建议 　建议同学们在临考前做做近几年的高考试题(或有标准答案和评分标准的模拟卷)，并且自评自改，精心研究并吃透评分标准，对照自己的习惯，力争减少无谓的失分，保证会做的不错；即使不完全会做，也要理解多少做多少，以增加得分机会。

谢谢大家