第2章 多自由度系统振动 本章目的： 掌握多自由度系统建模方法，重点是刚度系数法 掌握多自由度振动系统的固有频率、主振型概念 掌握矩阵迭代法、传递矩阵法 掌握多自由度振动系统的模态分析方法 了解动力减振器的基本原理 2.1 多自由度系统的自由振动 2.2 动力减振器 2.3 多自由度系统的模态分析方法 2.4 确定系统固有频率与主振型的方法

2.1 多自由度系统的自由振动 1.振动微分方程的建立 2.多自由度系统的固有频率与主振型 3.初始条件和系统响应（模态叠加）

（一）多自由度振动微分方程的建立 牛顿运动方程（或达朗伯尔原理） 拉格朗日运动方程 影响系数法 哈密尔顿原理 有限单元法（第9章）

1.用牛顿定律建立微分方程 例题1（P24）：在不平路面上行驶的车辆的二自由度系统（图）。设刚性杆的质量为m，两端的支承刚度分别为k1、k2 ，杆绕质心G点的转动惯量为J。假设作用在质心G点的激励力为简谐力F和简谐转矩T，则刚性杆不仅沿x方向振动，而且绕其质心扭转振动。 『解』取刚性杆的广义坐标为 和 由牛顿定律，系统的振动微分方程为 写成矩阵表达式： 即 质量矩阵 刚度矩阵 力列阵

2.用拉格朗日方程建立微分方程 拉格朗日方程 讨论：质量矩阵、刚度矩阵的特性与广义坐标的关系！（P25） 和 在两个方程中出现，称为静力参数耦合或弹性耦合。 2.用拉格朗日方程建立微分方程 拉格朗日方程 T 为系统的动能 U为系统的势能 qi 为广义坐标 Fi为非有势广义力

例题2（P25）：用拉格朗日方程方法，列出车辆二自由度系统的动力学微分方程（右图）。 『解』广义坐标：取C点（G点为质心）的直线位移为 xc 为q1，转角为θc为q2 ，此时外力 Fc 和转矩 Tc作用在C点。 另设： 系统的动能： 系统的势能： 利用拉格朗日方程，得 写出矩阵

讨论：质量矩阵、刚度矩阵的特性与广义坐标的关系！（P26） 为对称阵 为对角阵 刚度矩阵 和 在两个方程中出现，称为惯性耦合。

3.影响系数法 刚度影响系数法 柔度影响系数法 刚度影响系数法又成为单位位移法 刚度影响系数kij ：在系统的 j 点产生单位位移（即 xj=1 ），而其余各点的位移均为零时，在系统的 i点所需要加的力。 例如，上图中k11表示在质量 m1 产生单位位移 xl=1，而其它各质量位移均为0时，在质量m1所施加的力。此时

『例』（P26）：质量 m1、m2 、m3 的位移为 x1 、x2 、x3 。列出三自由度系统的动力学微分方程。 『解』刚度影响系数kij ： 动力学微分方程为 则 讨论：（1）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！ （2）刚度影响系数kij = kji 与刚度矩阵的对称性！（P27）

柔度影响系数法又称为单位力法 柔度影响系数αij ：在系统的 j 点作用一个单位力（即Fj =1 ），而其余各点均无作用力时，在系统的i点产生的位移。 『例』（P27）：图2-3所示，简支梁上有质量 m1、m2 、m3，不计梁的自重。 的位移为 x1 、x2 、x3 。列出三自由度铅垂方向振动微分方程。 『解』柔度影响系数α ij ： α11表示在 m1上作用一个单位力 Fj =1 ，而质量m2、m3 上无作用力时，梁上 m1 处所产生得位移，由材料力学，得 α21表示在m1上作用一个单位力Fj =1 ，而质量m2、m3 上无作用力时，梁上m2处所产生得位移，由材料力学，得 同理，可以求出其他柔度系数。

可以证明，柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵，即 最后得出总柔度系数矩阵 可以证明，柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵，即 三自由度铅垂方向振动微分方程为 讨论：（1）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！难度多大？ （2）上述方程为什么不用刚度影响系数法？难度多大？用拉格朗日方程方法？ （3）什么时候用柔度影响系数法？什么时候用刚度影响系数法？（P28） 结论：（1）对于质量弹簧系统，应用刚度影响系数法较容易 （2）对于梁、多重摆系统则用柔度影响系数法容易 （3）对于杆件机构，应用拉格朗日方程方法较容易

（二）多自由度系统的固有频率与主振型 对于一个多自由度的自由振动系统（以二自由度系统为例） （2-5） 设质量块作简谐振动，即 带入（2-5）式，则 上式对于任意时间t 成立，则 （2-6） 振幅列阵 即为振型 特征方程

求解二自由度系统的固有频率与主振型 二自由度系统特征矩阵方程的展开式为 （2-7） 该方程具有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零 （2-8） 也可表示为 易解出

为一阶固有频率（或第一阶主频率） 为二阶固有频率（或第二阶主频率） 固有频率的大小仅取决于系统本身的物理性质。 将所求得的固有频率 和 代入系统特征矩阵方程 得出两个固有频率下的振幅比值 2×2方阵 因此，振型可表示为 第一主振型 第二主振型

对于 n 个自由度振动系统 由特征方程，可求出 n 个固有频率 其振型可表示为 n×n方阵

（三）初始条件和系统响应（模态叠加） 以二自由度系统为例，质量块 m1、m2 组成的二自由度振动系统有两组解，而其全解由这两组解叠加而成，即 （2-14） 系统的响应为 引入振型 已知： 求： 设初始条件：t=0 时， 推导出

2.2 动力减振器 在工程中，为减少振动带来的危害，可以在主系统上装设一个辅助的弹簧质量系统。该辅助装置与主系统构成一个二自由度系统。该辅助装置能使主系统避开共振区，并有减振效果，故称为动力减振器。 动力减振器与隔振器是本质不同的。 该二自由度系统的动力学微分方程为 （2-18） 采用复数法求解微分方程（参见第1.9节，P20） 带入（2－18）式，得

为了比较安装动力减振器前后的减振效果，用减振后主系统的振幅与主系统在激振力幅值 作用下产生的静位移 之比来评价。 展开后，求出 B1 ，再将B1的复数值求模，得 （2-20） 为了比较安装动力减振器前后的减振效果，用减振后主系统的振幅与主系统在激振力幅值 作用下产生的静位移 之比来评价。 静位移为 设 注意：为了工程设计方便，与二自由度系统两阶固有频率概念有别。 减振器固有频率 原机械固有频率 带入（2－20）式，得 注意希腊字母 ξ(ksi)

然而，减振器的引入，却出现了两个新的共振点 ： 和 （2-22） 如果 则 （2-23） 无阻尼动力减振器的设计讨论 当减振器的固有频率等于激振频率时，即 则 达到了消振目的 理想情况 然而，减振器的引入，却出现了两个新的共振点 ： 和 取式（2-23）分母为零（意味着共振），并令 则 （2-24） 即：新的共振频率仅由减振器与主系统质量之比 为使主系统能远离新的共振点的范围内，希望 与 相差较大 一般在设计无阻尼动力减振器时，取 注意希腊字母 ξ(ksi)

2.3 多自由度系统的模态分析方法 1.方程的耦合与坐标变换 2.主振型的正交性 3.模态矩阵和模态坐标 4.多自由度系统的模态分析方法 5.模态矩阵正则化 6.振型截断法（Cut Off）

1.方程的耦合与坐标变换 回顾（第2.1节P24、P25） 针对行驶车辆的二自由度系统，用牛顿定律，以 和 （G点为质心）为刚性杆的广义坐标时，有 称谓弹性耦合 用拉格朗日方程，以 和 为刚性杆的广义坐标时，有 称谓惯性耦合

适当的坐标变换，可以使相互耦合的方程解除耦合，即解耦。 结论 对于同一系统，采用的坐标系统不同，微分方程的形式和耦合情况就不同。即微分方程的耦合状态是由所选的坐标系统决定的。 如果振动微分方程组的各系数矩阵均为对角阵，各方程间不存在任何耦合，各分别求解，与单自由度求解完全相同。 适当的坐标变换，可以使相互耦合的方程解除耦合，即解耦。 问题 如何进行坐标变换？

遗憾：前面这个变换矩阵不能达到解耦目的 要做的工作： 结论： 仍然采用行驶车辆的二自由度系统图，有如下关系 写成矩阵 对于任意的线性变换可表达为 为变换矩阵 遗憾：前面这个变换矩阵不能达到解耦目的 要做的工作： 寻找一个合适的变换矩阵，使原来方程解耦 结论： 这个变换矩阵 就是主振型矩阵

2.主振型的正交性 以二自由度系统为例 特征方程 或 将两个固有频率和相应振型代入，得 将上式两边分别前乘以 和 将第二式转置，有 与第一式相减，有

条件：主振型的正交性只有在质量矩阵和刚度矩阵为对称矩阵时才成立 当 时，有 主振型对质量矩阵的正交性 同理可得 主振型对刚度矩阵的正交性 推论： 条件：主振型的正交性只有在质量矩阵和刚度矩阵为对称矩阵时才成立 主振型的正交性的物理意义：各阶主振型之间的能量不能传递，保持各自的独立性，但每个主振型内部的动能和势能是可以相互转化的（P33）

3.模态矩阵和模态坐标 由主振型 对质量矩阵 和刚度矩阵 的正交性 以主振型 线性变换矩阵， 线性变换矩阵， 对系统的原方程进行坐标变换 可使[M]、[K] 变为对角矩阵。 设系统原方程为（仍以二自由度为例） 主振型 称为模态矩阵或振型矩阵 坐标变换 为模态坐标 （2-35） 代入原方程，并在等号两边分别前乘以 ，得

理解： （2-35） 运用主振型的正交性 为模态质量矩阵 为第一、二阶模态质量或主质量 为模态刚度矩阵 为第一、二阶模态刚度或主刚度 为模态力列阵

4.多自由度系统的模态分析方法 理解： 在二自由度系统模态分析基础上扩展 多自由度系统运动微分方程为 坐标变换 有 （2-38） （2-40） 系统的模态方程 是一组不耦合的方程组 理解： 运用主振型的正交性

小结：多自由度系统模态分析的基本步骤（P34） （1）求系统的固有频率与主振型，构成主振型矩阵 （2）坐标变换 得 （3）求模态方程的解。一般可由杜哈美积分，或待定系数法求微分方程的特解。将广义坐标表示的初始条件，变换为用模态坐标表示，并代入模态方程，求出各积分常数。 注意：此时的变量为Y！ （4）把模态坐标响应变换成广义坐标响应，即为系统的响应 即 理解：通过坐标变换后，模态方程中各参量均无任何物理含义！

5.模态矩阵正则化（P35）（本科生略） 将模态方程的模态质量矩阵变为单位矩阵，该坐标变换称为模态矩阵正则化，即 第 i 阶模态质量为 （2-41） 所以，必须对系统主振型加以修正： （2-42） 为系统的 i 阶振型； 为系统的 i正则阶振型 为正则化因子 将（2-42）代入（2-41），得 为 i阶模态质量

将正则化因子排成一个对角矩阵 正则模态矩阵为 用正则模态矩阵进行坐标变换，有 （2-44） 理解：正则模态质量矩阵为单位矩阵；正则模态刚度矩阵为对角阵 正则模态矩阵为 （2-45） 用正则模态矩阵进行坐标变换，有 （2-47）

6.振型截断法（Cut Off） 在 n 个主振型中，取 个主振型，且 进行坐标变换，有 适用于：（1）对于自由度很大的系统，可以进行自由度缩减，求解大模型的少数阶（前几阶）模态。（2）对于外力随时间变化较慢，系统初始条件中包含高阶主振型分量较少的情况。 在 n 个主振型中，取 个主振型，且 进行坐标变换，有 n×n1矩阵，无逆阵正 n1个方程，即自由度缩减

讨论：振型截断法必然会带来计算精度的降低。但计算效率多大提高，在工程实际中得到广泛应用。 问题 由于 无逆阵，运用 不能直接求出模态坐标的初始条件 方法 利用 则 （2-51） 则可求出模态坐标的初始条件 讨论：振型截断法必然会带来计算精度的降低。但计算效率多大提高，在工程实际中得到广泛应用。

振型截断的正则化（P36）（本科生略） 振型截断正则模态矩阵为 坐标变换 模态方程 模态坐标的初始条件 （2-54）

2.4 确定系统固有频率与主振型的方法 1.矩阵迭代法 2.瑞雷(Rayleigh)法 3.邓克莱(Dunkerley)法 4.传递矩阵(Transfer Matrix)法

1.矩阵迭代法（P36） 基本方法：基于数值计算方法的迭代计算方法 特征方程 改写为 （2-56） 或 （2-57） 动力矩阵 依次从最低阶固有频率和主振型开始计算 动力矩阵 依次从最高阶固有频率和主振型开始计算 引入一个迭代初始列阵 ，进行迭代计算： （2-60） n为固有特性阶数 k 为迭代次数 得到下一步迭代初始列阵 是 中的最后一个元素（最好是绝对值最大的元素）

注意：到此，只求出第一阶主振型、第一阶固有频率！ 注意：请比较 容易看出：每次迭代中计算 精度设置：若满足 （也可以对其他值进行精度设置） 迭代过程终止， 则 第一阶主振型 第一阶固有频率（Hz） 过程示范： 初选 注意：到此，只求出第一阶主振型、第一阶固有频率！

下一步目的：用矩阵迭代法求出二阶及所有固有频率和主振型 方法：用清除法——从动力矩阵D中清除与上一阶算出的主振型有关的部分 清除法 清除（矩阵）部分 上一阶算出的主振型固有频率和 上一阶用于迭代计算的动力矩阵。如果上一阶计算的是第一阶，即为原始动力矩阵 将 ，应用前面的迭代式，即可求解下一阶固有特性 说明：固有特性就是指固有频率和主振型

问题：有刚体运动的机械系统，刚度矩阵K是半正定的，无法求逆，也就无法直接形成动力矩阵 D，不能直接使用上述算法 提问：请列举有刚体运动的机械系统？ 例如：空中的飞行器；齿轮减速器中的齿轮——轴扭转（不计摩擦力）… … 方法： 改写为 α是任意正数 （2-64） 是正定矩阵 令 （2-65） 原问题改变为 （2-66） 利用前面的计算方法，得到固有频率与主振型

讨论（P37） 课后练习（P37） （1）采用（2-64）式后，系统的主振型（特征失量）不变，只是 原系统的固有频率（特征值）变了， 变为 （2）α一般取比系统估计的最低固有频率的平方 略小一些为宜。 对经验不足者，这一点难以把握。可以随意取一个正数，试算之后调整。 课后练习（P37） 课后，请对图2-8所示的3自由度水平振动系统、图2-9所示的13自由度扭转振动系统，运用MATLAB或自己熟悉的计算机语言，求出所有各阶固有频率与主振型。要求：编写程序、打印计算结果，最好是图形显示结果。

下一小结之引言：人们早就认识到多自由度系统有多个固有频率与振型。但是，一方面由于微分方程组精确求解困难，另一方面，工程实际中最关心的是低阶固有特性，尤其是第一阶固有频率。在电子计算机问世之前，瑞雷法、邓克莱法等具有一定的实用价值。 2.瑞雷（Rayleigh）法（P42） 采用系统的机械能守恒原理求系统的固有频率。 基本思想：先根据经验和理论分析，假定一个振型，然后用能量法求出与这个假定振型相应的系统固有频率。 局限性：只能求一阶固有频率（基频）

『例』（P42）：右图所示的三自由度横向振动系统，在一根无质量弹性梁上，固定三个集中质量，用瑞雷法求其基率。 解：（1）假定一阶振型 根据经验和理论分析，这个系统的一阶振型十分接近它的静绕度曲线。 因此，其振型可用各点静绕度 （由材料力学）来表示。 （2）梁振动至极限位置的变形能 （3）梁恢复到平衡位置的动能 由于 则 （4）机械能守恒 对于保守系统（系统作自由振动，且忽略系统的阻尼时） （5）推广到 n 个自由度

3.邓克莱(Dunkerley)法（P43） 19世纪邓克莱在通过试验方法确定多圆盘轴的横向振动固有频率时，发现了这样一个关系： 系统的基频 当轴上只有圆盘1，而其余圆盘都不存在时，单圆盘轴系统的固有频率 依此类推 的计算是一个单自由度问题。 可以利用材料力学公式（可查表），先计算相应点的挠度， 然后计算相应点的刚度 ，再计算

4.传递矩阵(Transfer Matrix)法 链状系统：由许多单元一环连一环结合起来的结构 例如：汽轮发电机转子、内燃机曲轴、齿轮传动系统等，经等效转换后，可转化成一个多盘转子式的链状系统 ——扭转振动型（本节介绍） 连续梁可离散成若干个集中质量，各集中质量之间以无质量的弹性梁相联接的链状系统 ——横向振动（弯曲）型（第八章第三节介绍） 传递矩阵法的优点： （1）所使用的矩阵阶次不随系统的自由度多少而变 对扭转系统，其矩阵始终为2阶（转角和扭矩） 对横向振动系统，其矩阵始终为4阶（2个位移和2个力） （2）很容易采用计算机计算，用同一程序可计算出系统的各阶固有频率与主振型

扭转振动的传递矩阵法 第i个圆盘的振动方程 牛顿定律 简谐扭转振动 则 图示一个多盘扭振系统。根据结构，划分成 n 个单元，每个单元由一个无质量的弹性轴段与一个无弹性的质量圆盘所组成。 第 i个单元：第 i 个圆盘与第 i 个轴段 上标L——表示圆盘或轴段的左面或左端 上标R——表示圆盘或轴段的右面或右端 转矩T与角位移θ 的方向——采用右手螺旋法则，且规定以右向为正 第i个圆盘的振动方程 牛顿定律 简谐扭转振动 则 （2-75） 圆盘无扭转变形 点矩阵（Point Matrix）：体现了轴上第 i 个点从左到右状态的传递关系

第 i个轴段振动方程 第 i段轴的扭转刚度 轴段只具有弹性而无质量 轴段的弹性变形 第 i段轴的极惯性矩 第 i段轴的长度 G为轴材料的剪切弹性模量 则 则 （2-79） 场矩阵（Field Matrix）：反映了第段轴由左到右端状态的传递关系

圆盘和轴段的微分方程联立 称为传递矩阵 （2-81） 可求出 n 单元个传递矩阵： 点矩阵 场矩阵 第 i 个单元的传递矩阵 （2-81） 可求出 n 单元个传递矩阵： 整个系统的左端状态矢量（边界条件）与右端状态矢量（边界条件）的关系： （2-82） 称为传递矩阵

讨论 （1）每个单元的传递矩阵都是2×2阶方阵，因此，系统的传递矩阵 也必然是2×2阶方阵，在整个计算中不会出现高阶矩阵。 与 （2）传递矩阵中含有固有频率，如果将实际的边界条件 代入 式(2-82) ，便可解出系统的固有频率与主振型。 （3）实际运用中的几个问题 单元划分、单元传递矩阵计算、边界条件。运用传递矩阵法时，不一定要构成从左到右递推的轴+圆盘系统，且单元可以是单个轴、单个圆盘。 从左到右递推 单元1的传递矩阵等于点矩阵 单元4的传递矩阵等于场矩阵 边界条件：固定端 ；自由端 初学者很容易搞错！见（2-73）式 但是

从右到左递推 3个单元传递矩阵中均含有点矩阵、场矩阵 按（2－81）式计算

求解多个固有频率：需要在一个范围内搜索，满足边界条件的精度要求。编写程序时，要合理取频率搜索步长值（参见例题2-5） 固有频率与振型显示：在频率搜索，满足边界条件的精度要求的n个频率即为固有频率，对应各质量的角度列阵即为对应振型。编写程序时请注意。 作 业—— 2-1 ；2-2 ；2-6 ；2-7