第十章 定积分的应用（一） 一、平面图形的面积 面积公式（直角坐标，极坐标） 二、由平行截面面积求体积 由平行截面面积求体积 第十章 定积分的应用（一） 一、平面图形的面积 面积公式（直角坐标，极坐标） 二、由平行截面面积求体积 由平行截面面积求体积 直接应用－－－求旋转体的体积

一、平面图形的面积 复习： 如果函数y=f(x)( f(x)0)在区间[a, b]上连续，则由曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成的曲边梯形的面积为 O x y a b yf (x)

由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线x=a、x=b所围成的图形的面积 S 如何求？ 考虑如下问题： 由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线x=a、x=b所围成的图形的面积 S 如何求？ 1、若图形在x轴上方， 注意图形的形成 a b yf (x) y=g(x) O x y y=g(x)

由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线x=a、x=b所围成的图形的面积 S 如何求？ 考虑如下问题： 由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线x=a、x=b所围成的图形的面积 S 如何求？ 1、若图形在x轴上方， O x y 将图形平移到x轴的上方 yf(x)+m m y=g(x)+m a b yf(x) y=g(x) 2、若图形不在x轴上方，

结论：由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线 x=a、x=b所围成的图形的面积为 S 注： (1)当曲线f(x)=0或g(x)=0时，上述公式也成立。 O x y a b yf(x) g(x)=0 O x y a b yg(x) f(x)=0

结论：由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线 x=a、x=b所围成的图形的面积为 S 注： (1)当曲线f(x)=0或g(x)=0时，上述公式也成立。 (2)当左右两边缩为一点时，上述公式也成立。 (3)积分区间就是图形在x轴上的投影区间。 O x y a b yf(x) g(x)=0 O x y a b yf(x) g(x)=0

结论：由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线 x=a、x=b所围成的图形的面积为 S 注： (1)当曲线f(x)=0或g(x)=0时，上述公式也成立。 (2)当左右两边缩为一点时，上述公式也成立。 (3)积分区间就是图形在x轴上的投影区间。 (4)如果 y=f(x)有分段点 c，则需把图形分割后计算。 O x y a b yf(x) g(x)=0 c yf1(x) yf2(x)

结论：由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线 x=a、x=b所围成的图形的面积为 S 讨论： 由左右两条连续曲线x=y(y)、x=j(y)与上下两条直线y=c、 y=d所围成的图形的面积 S 如何求？ O x y 答案： c d x=y(y) x=j(y)

结论：由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线 x=a、x=b所围成的图形的面积为 S 例1. 求椭圆 所围成的图形面积。 解：设椭圆在第一象限的面积为S1，则椭圆的面积为 x y O a b S1

解： 由对称性，图形面积是第一 象限部分的两倍。 例 2 求曲线 y = 1 x 、 + 与直线 3 - 解： 由对称性，图形面积是第一 象限部分的两倍。 S =2[ ] x O -1 1 y

例 2 求曲线 y = 1 x 、 + 与直线 3 - 解： 由对称性，图形面积是第一 象限部分的两倍。 S =2[ ] =2[ ] ) 2 3 ( 1 - + = p » . 11

ò 例3 计算抛物线y22x 与直线xy4所围成的图形的面积。 S = 18 ] 6 1 4 2 [ ) ( 3 - + ò y dy 8 y -2 2 x O 4 (8, 4) (2, -2) =18。 思考：为什么不向x轴投影？

一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 则曲边梯形面积

极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为

例5. 计算阿基米德螺线 对应  从 0 变 到 2 所围图形面积 . 解:

例6. 计算心形线 所围图形的 面积 . (利用对称性) 解:

二、由平行截面面积求体积 设一立体在x轴上的投影区间为[a, b] ，过x点垂直于x轴的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。 (2)过xi(i=1, 2,  , n-1)且垂直于x轴的平面，把立体分割成n个小薄片，第i个小薄片体积的近似值S(xi)Dxi。 (1) 在[a, b]内插入分点： a=x0<x1<x2<  <xn-1<xn=b， 将n个小薄片体积的近似值相加得立体体积的近似值 a b (3)令l=max{Dxi}，则立体体积为 V = å ® n i 1 lim l S ( ) D x ò b a dx 。 x O x1 xi-1 xi xn

例7. 计算由曲面 所围立体(椭球体) 的体积. 解: 垂直 x 轴的截面是椭圆 它的面积为 因此椭球体体积为 特别当 a = b = c 时就是球体体积 .

例8. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并 与底面交成  角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 其面积为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 利用对称性

思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示:

区间[a, b]上截面积为S(x)的立体体积： 右图为由连续曲线 yf(x)、直线 xa 、 xb 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体。 O x b a y yf (x) 关键是确定截面面积

当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 截面面积为 于是有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

区间[a, b]上截面积为 S(x) 的立体体积： 曲线y=f(x)绕 x 轴旋转而成的立体体积： 例9 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线xh 及x轴围成一个直角三角形。将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体。计算这圆锥体的体积。 所求圆锥体的体积为 x y O h r

例10. 计算由椭圆 所围图形绕 x 轴旋转而 成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程 则截面面积 (利用对称性) 于是

方法2 利用椭圆参数方程 则 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积

所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 例11. 计算摆线 的一拱与 y＝0 所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 解: 绕 x 轴旋转而成的体积为 利用对称性

注意分段点！ 绕 y 轴旋转而成的体积为 注意上下限 !

注 (利用“偶倍奇零”) 分部积分

例12. 求曲线 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. 解: 利用对称性 , 在第一象限 故旋转体体积为 (94 考研) 解: 利用对称性 , 在第一象限 故旋转体体积为

注 (利用“偶倍奇零”) 分部积分

作业：P242 T1，5，P246 T2 预习：第三节 平面曲线的弧长与曲率