数学分析 江西财经大学 统计学院 2012级 公共邮箱：jcsxfx2012@163.com 密码: sxfx2012 ( Mathematical analysis) 江西财经大学 统计学院 2012级 公共邮箱：jcsxfx2012@163.com 密码: sxfx2012 2017年3月21日星期二

§8.2 反常积分的收敛判别法 （4课时） 8.2.1 反常积分的Cauchy收敛原理(P370） §8.2 反常积分的收敛判别法 （4课时） 8.2.1 反常积分的Cauchy收敛原理(P370） 8.2.2 非负函数反常积分收敛判别法P371） 8.2.3 一般函数反常积分收敛判别法P373） 8.2.4 无界函数反常积分收敛判别法P376） 2017年3月21日星期二

一非负函数无穷积分的收敛判别法 定理 (非负函数无穷积分的判别法) 设定义在 上的非负函数 f 在任何 收敛的充要条件是: 设 证 2017年3月21日星期二

非负函数 f , g 在任何有限区间[a, u]上可积, 且 从而 F (u) 是单调递增的 由单调递 增函数的收敛判别准则, 定理8.2.2 (比较判别法) 设定义在 上的两个 非负函数 f , g 在任何有限区间[a, u]上可积, 且 存在 满足 2017年3月21日星期二

第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立. 证 由非负函数无穷积分的判别法, 第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立. 2017年3月21日星期二

例1 判别 的收敛性. 解 显然 设 f (x), g(x) 是 上的非负连续函数. 证 例2 2017年3月21日星期二

推论1 设非负函数 f 和 g 在任何 [a,u] 上可积, 且 证 由于 推论1 设非负函数 f 和 g 在任何 [a,u] 上可积, 且 2017年3月21日星期二

证 即 2017年3月21日星期二

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推论2 设 f 是定义在 上的非负函数, 在任何 2017年3月21日星期二

说明: 推论3是推论2的极限形式，同学应不难写 推论3设 f 是定义在 上的非负函数,在任何有 限区间 [a, u] 上可积. 说明: 推论3是推论2的极限形式，同学应不难写 出它的证明. 2017年3月21日星期二

例3讨论 的收敛性 ( k > 0 ). 解 (i) 2017年3月21日星期二

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二、一般函数无穷积分的判别法 若无穷积分 以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性. 定理 (绝对收敛的无穷积分必收敛) 若 f 在任 何有限区间 [a, u]上可积, 2017年3月21日星期二

证 由柯西准则的必要性, 对 因 因此 再由柯西准则的充分性, 又对任意 2017年3月21日星期二

例4 的收敛性. 判别 解 由于 收敛的无穷积分 不一定是绝对收敛的. 2017年3月21日星期二

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定理 (积分第二中值定理) 设 f 在[a, b]上可积. 则存 (i) 若函数 g 在 [a, b] 上单调减,且 则存 (ii) 若函数 g 在 [a, b] 上单调增, 且 则存 2017年3月21日星期二

这里只证 (i), 类似可证 (ii). 证明分以下五步: (1) 对任意分割 T： 2017年3月21日星期二

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(4) 综合 (2), (3), 得到 2017年3月21日星期二

即 推论 2017年3月21日星期二

证 若 g 为单调递减函数， 则 h 非负、单调减, 由(i) 因此 2017年3月21日星期二

即得 2017年3月21日星期二

一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷判 别法和阿贝尔判别法判别其收敛性(A-D判别法) . 定理 (Dirichlet判别法） 证 故 2017年3月21日星期二

使得 2017年3月21日星期二

由 g 的单调性,用积分第二中值定理，对于任意的 因此, 由柯西准则， 定理 (Abel判别法) 证 [证法1] 由 g 的单调性,用积分第二中值定理，对于任意的 使得 2017年3月21日星期二

由柯西准则, [证法2] 2017年3月21日星期二

由狄利克雷判别法 收敛,所以 2017年3月21日星期二

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例7 的收敛性. 解 由狄利克雷判别法推知 另一方面， 狄利克雷判别 法条件, 是收敛的； 2017年3月21日星期二

类似可证: 2017年3月21日星期二

复习思考题 反之呢? 2017年3月21日星期二

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定理 （瑕积分收敛的柯西准则） 证 柯西准则，此等价于 2017年3月21日星期二

性质1 性质2 2017年3月21日星期二

性质3 定理 (非负函数瑕积分的判别法) 2017年3月21日星期二

定理 (比较法则) 2017年3月21日星期二

推论1 2017年3月21日星期二

推论2 2017年3月21日星期二

推论3 可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性. 2017年3月21日星期二

例1 由于 2017年3月21日星期二

例2 解 2017年3月21日星期二

例3 解 2017年3月21日星期二

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a I (a) 发散 收敛 定积分 J (a)  (a) 2017年3月21日星期二

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小结： 收敛时，能否导出 问题 当 答案 否！即便 f (x)非负也是“否”！ f (x)甚至可以无界！ 则 收敛. (2) 存在； (1) f (x)在[a, +)上单调； (4) f (x)在[a, +)上有界. (3) f (x)U.C[a, +)； 2017年3月21日星期二

小结： 例1判断题 设 收敛, 且 f 非负, 则 f 有界. 例2 讨论 收敛, 绝对收敛与平方收敛间的关系. 例2 讨论 收敛, 绝对收敛与平方收敛间的关系. 结论 绝对收敛  收敛, 反之不然！ 收敛、绝对收敛与平方收敛都无联系！ 收敛, 绝对收敛与平方收敛间的关系. 例3 讨论 结论 平方收敛  绝对收敛  收敛, 反之不然！ 2017年3月21日星期二