电力系统分析 裴胜利 天津理工大学中环信息学院

第四章 复杂电力系统潮流的计算机算法 复习上一章内容： 2. 电压降落（损耗、偏移）、功率损耗的计算 3. 手算潮流的原理和方法 1. 潮流计算的目的及内容 2. 电压降落（损耗、偏移）、功率损耗的计算 3. 手算潮流的原理和方法 1)辐射型： 同一电压等级：已知末端电压或首末端电压 不同电压等级：归算电压或折算参数 2)两端型： 计算自然功率（力矩原理）、强迫功率 找功率分点、打开、按辐射型计算 3)环网型： 单级：从电源点打开——无强迫功率 多级：电磁环网——归算法、等值法 4. 潮流调整： 自然分布、串联电容、串联电抗、附加串联加压器 TCSC、STATCOM、 UPFC、 FACTS

第四章 复杂电力系统潮流的计算机算法 2. 功率方程、节点分类及约束条件 3. 迭代法计算潮流 4. 牛顿—拉夫逊法计算潮流 本章主要内容： 1. 建立数学模型： 节点电压方程、导纳矩阵的形成与修改 2. 功率方程、节点分类及约束条件 3. 迭代法计算潮流 功率方程的非线性性质 高斯—塞德尔法 用于潮流计算———速度慢、易于收敛 4. 牛顿—拉夫逊法计算潮流 原理：局部线性化 用于潮流计算———速度快、但注意初值选择 直角座标法、极座标法、PQ分解法

第一节 电力网的数学模型 一、节点电压方程 B U Y = . I YB—节点导纳矩阵 二、导纳矩阵的形成 三、导纳矩阵的修改

第一节 电力网的数学模型 1、节点电压方程（示例）  参考节点的选取—接地点 ① ② ③ y20 y10 y30 y12 y13 y23 Z12 Z23 Z13 Z3 Z2 Z1

第一节 电力网的数学模型 ① ② ③ y20 y10 y30 y12 y13 y23 自导纳 互导纳 注：Y距阵的维数（n-1）

U Y = I 第一节 电力网的数学模型 2、导纳矩阵的形成 节点导纳距阵的特点： 1、阶数 2、对称性 自导纳 3、稀疏性 互导纳 . 其余节点j: 全部接地 节点 i 注入网络电流 Yii≠0 自导纳 互导纳 节点i: 加单位电压 其余节点j: 全部接地 由地流向节点j的电流 稀疏性：当yij=0 时Yij=0

第一节 电力网的数学模型 3、导纳矩阵的修改 yij yij 增加一节点 节点导纳矩阵增加一阶 Yii = yij Yjj = yij Yij = Yji = - yij 增加一条支路 导纳矩阵的阶数不变 Yii = Yjj = yij  Yij =  Yji = - yij i j yij

第一节 电力网的数学模型 - yij -yij yij ' 切除一条支路 相当于增加一导纳为（ -yij ）的支路 导纳矩阵的阶数不变 Yii = Yjj = - yij  Yij =  Yji = yij i j - yij 修改一条支路的导纳值（ yij 改变为yij '） 导纳矩阵的阶数不变 Yii = Yjj = yij ' - yij  Yij =  Yji = yij - yij ' i j -yij yij '

第一节 电力网的数学模型 yT / k* yT(k*-1) / k* yT(1- k*) / k*2 i j yT / k* yT(k*-1) / k* yT(1- k*) / k*2 Yii = 0  Yij =  Yji =-(1/ k*' - 1/ k*) yT Yjj =(1/ k*'2 - 1/ k*2 ) yT

第二节 功率方程、节点分类及约束条件 一、功率方程 . U Y = I

第二节 功率方程、节点分类及约束条件 二、节点分类 一个电力系统有n个节点，每个节点可能有4个变量Pi,Qi ,ei, fi或Pi,Qi ,Ui, i,，则共有4n个变量，而上述功率方程只有2n个，所以需要事先给定2n个变量的值。根据各个节点的已知量的不同，将节点分成三类：PQ节点、PV 节点、平衡节点。 1、PQ节点(Load Buses) 已知Pi,Qi ，求,ei, fi（ Ui, i, ），负荷节点（或发固定功率的发电机节点），数量最多。 2、PU节点(Voltage Control Buses) 已知Pi, Ui ，求, Qi, i, ，对电压有严格要求的节点，如电压中枢点。

第二节 功率方程、节点分类及约束条件 二、节点分类 3、平衡节点 （Slack Bus or Voltage Reference bus） 已知Ui ， i,，求, Pi, Qi, ，只设一个。 设置平衡节点的目的 在结果未出来之前，网损是未知的，至少需要一个节点的功率不能给定，用来平衡全网功率。 电压计算需要参考节点。

第二节 功率方程、节点分类及约束条件 三、约束条件 实际电力系统运行要求： 电能质量约束条件：Uimin  Ui Uimax 电压相角约束条件 |ij|=| i - j |  ijmax, 稳定运行的一个重要条件。 有功、无功约束条件 Pimin  Pi Pimax Qimin  Qi Qimax

第三节 高斯—塞德尔迭代法潮流计算 一、功率方程的非线性 直角坐标形式： 极坐标形式： 非线性方程组，不能用常规代数求解方程方法求解 。

第三节 高斯—塞德尔迭代法潮流计算 两种常见的求解非线性方程的方法： 高斯-塞德尔迭代法 牛顿-拉夫逊迭代法

第三节 高斯—塞德尔迭代法潮流计算 二、高斯-塞德尔迭代法原理及求解步骤 [例6-1] 已知方程组 用高斯-塞德尔求解（ε<0.01）。 解：（1）将方程组 改写成迭代公式： （2）设初值 ；代入上述迭代公式 直到|x(k+1)-x(k)|< ε

第三节 高斯—塞德尔迭代法潮流计算 二、高斯-塞德尔迭代法原理及求解步骤 设有非线性方程组的一般形式： 将其改写成下述便于迭代的形式：

第三节 高斯—塞德尔迭代法潮流计算 二、高斯-塞德尔迭代法原理及求解步骤 假设变量（x1, x2, ….,xn）的一组初值（ ） 将初值代入迭代格式（6-18），完成第一次迭代 将第一次迭代的结果作为初值，代入迭代公式，进行第二次迭代 检查是否满足收敛条件：

第三节 高斯—塞德尔迭代法潮流计算 二、高斯-塞德尔迭代法原理及求解步骤 迭代公式：

第三节 高斯—塞德尔迭代法潮流计算 二、高斯-塞德尔迭代法原理及求解步骤 更一般的形式： 简化形式：

第三节 高斯—塞德尔迭代法潮流计算 二、高斯-塞德尔迭代法原理及求解步骤 迭代收敛条件： 定理 如果 则迭代格式 同一道题可能存在多种迭代格式，有的迭代格式收敛，有的迭代式不收敛。下面讨论收敛条件： 当迭代格式为 定理 如果 则迭代格式 对任意给定的初值都收敛。

第三节 高斯—塞德尔迭代法潮流计算 三、高斯-塞德尔迭代法潮流计算 1. 方程表示： 用高斯-塞德尔法计算电力系统潮流首先要将功率方程改写成能收敛的迭代形式 Q : 设系统有n个节点，其中 m个是PQ节点，n-(m+1)个是PV节点，一个平衡节点，且假设节点1为平衡节点（电压参考节点） 功率方程改写成：

第三节 高斯—塞德尔迭代法潮流计算 三、高斯-塞德尔迭代法潮流计算 或更具体的形式为：

第三节 高斯—塞德尔迭代法潮流计算 三、高斯-塞德尔迭代法潮流计算 2. 求解的步骤： 上述迭代公式假设n 个节点全部为PQ节点。 式中等号右边采用第k次迭代结果，当j<i时,采用经（k+1）次迭代后的值；当j>i时，采用第k次迭代结果。 用G-S迭代法求解的步骤： 第一步：形成节点导纳距阵； 第二步：设除平衡节点外的其它节点的初值，一般都设 ； 第三步：迭代求解，判断收敛与否？若满足收敛条件， 则迭代停止

第三节 高斯—塞德尔迭代法潮流计算 三、高斯-塞德尔迭代法潮流计算 3. PV节点的处理： 由于该类节点的V已知，Q未知，故在给定初值时，对该类节点增加初值 ； 增加计算无功的迭代公式： 对于PV节点的计算步骤： 除了完成（6-24）的迭代计算外，还要执行（6-25）的迭代计算 对（6-25）得到的结果要进行下列三种情况的校核：

第三节 高斯—塞德尔迭代法潮流计算 三、高斯-塞德尔迭代法潮流计算 (a) 这种情况由于计算得到的结果比允许的最小值还小，所以不允许以计算得到的结果再代入进行迭代，以 作为PV节点的无功功率，此时，PV节点就转化为PQ节点 (b) 这种情况由于计算得到的结果比允许的最大值还大，所以不允许以计算得到的结果再代入进行迭代，而是以 作为PV节点的无功功率，此时，PV节点就转化为PQ节点。 (c) 因求出的无功功率满足要求，所以迭代得到的结果继续代入公式（6-25）进行计算

第三节 高斯—塞德尔迭代法潮流计算 三、高斯-塞德尔迭代法潮流计算 对于PV节点，由于它的U值是给定的，每次用公式（6-24）得到的结果 中的 一般不等于给定的值，这种情况要用给定的U代替计算得到的幅值，用 组成新的电压初值。如果通过迭代得到的与限值比较已经越限，则转化为PQ节点后，就不必做电压幅值的更换了。

第三节 高斯—塞德尔迭代法潮流计算 三、高斯-塞德尔迭代法潮流计算 4. 潮流计算： 平衡节点的功率： 支路功率： 支路功率损耗：

第三节 高斯—塞德尔迭代法潮流计算 四、高斯-塞德尔迭代法潮流计算流程图 见书上P155

第三节 高斯—塞德尔迭代法潮流计算 四、例题：用G-S计算潮流分布 ~ 1 2 3 1.17-j4.71 y13 5.88-j23.5 平衡节点 U1=1.0<0° PQ节点 S2=-0.8-j0.6 PU节点 P3=0.4, U3=1.1 解：网络的节点导纳距阵为：

第三节 高斯—塞德尔迭代法潮流计算 设 ，代入式（6-24）求

第三节 高斯—塞德尔迭代法潮流计算 修正U3为 ，再用式（6-25）计算： 然后开始第二次迭代：

第三节 高斯—塞德尔迭代法潮流计算 再计算 再修正U3为： 因此，第二次迭代结束时节点2的电压为 节点3的电压相位角为δ3=2.940º,与之对应的节点3的无功功率为Q3=0.0596.

第四节 牛顿—拉夫逊法潮流计算 一、N-R原理 1. 非线性方程的求解： 设：x(0)为的初始近似解，x(0)为与真实解的偏差 f(x)=0 设：x(0)为的初始近似解，x(0)为与真实解的偏差 则：x= x(0) —x(0) f(x(0) —x(0))=0 按Taylor’s展开 f(x(0) —x(0))= f(x(0))- f'(x(0))x(0)+…..+(-1)n fn(x(0)) (x(0))n/n!+….=0

第四节 牛顿—拉夫逊法潮流计算 f(x(0) —x(0))= f(x(0))- f'(x(0))x(0) =0 x(1) = x(0) - x(0) = x(0) - f(x(0))/ f'(x(0)) k次迭代时修正方程为： f(x(k))- f'(x(k))x(k) =0 x(k) = f(x(k))/ f'(x(k)) x(k+1) = x(k) - f(x(k))/ f'(x(k))

第四节 牛顿—拉夫逊法潮流计算 结束迭代的条件（收敛）：|f(x(k))|<ε1 或 |x(k)|<ε2 物理意义 初值不当不收敛

第四节 牛顿—拉夫逊法潮流计算 2. 非线性方程组的求解： 推广于（6-16）表示的多变量非线性方程组 (4-31)

第四节 牛顿—拉夫逊法潮流计算 (4-32) 式中 为函数 fi(x1,x2,….xn) 对自变量 xj 的偏导在初始值处的值

第四节 牛顿—拉夫逊法潮流计算 用矩阵表示 (4-33) 得到新的近似解：

第四节 牛顿—拉夫逊法潮流计算 更一般的表示 (4-33a) 第k+1次迭代后的解为： (4-33b)

第四节 牛顿—拉夫逊法潮流计算 式(4-33a)可简写为： F(x(k))=J(k) x(k) (4-34) J(k) 为nn阶雅可比矩阵,其元素 为函数 fi(x1,x2,….xn) 对自变量 xj 的偏导在点（ x(k) ）的值 式(4-33b)可简写为： x(k+1)= x(k) —x(k) (4-34b) 第k次迭代后用下面的公式检查是否收敛 (4-35a) (4-35b)

二、潮流计算时的修正方程式（直角座标法） 第四节 牛顿—拉夫逊法潮流计算 二、潮流计算时的修正方程式（直角座标法） 1. 直角座标法： PQ节点 (4-38a) PU节点 (4-38b)

第四节 牛顿—拉夫逊法潮流计算 直角坐标的缩写形式：

第四节 牛顿—拉夫逊法潮流计算 直角座标法矩阵表示 (4-37)

第四节 牛顿—拉夫逊法潮流计算 雅可比矩阵元素值 对角元素(i=j) 非对角元素(i≠j) (4-41a) (4-41b)

第四节 牛顿—拉夫逊法潮流计算 矩阵的特点及计算步骤 雅可比矩阵的特点： 各元素是各节点电压的函数 不是对称矩阵 ∵ Yij=0，∴ Hij= Nij= Jij= Lij= 0，另Rij= Sij= 0，故稀疏 牛顿—拉夫逊法潮流计算的基本步骤： 1. 输入原始数据和信息：y、C、Pis、Qis、Uis、约束条件 2. 形成节点导纳矩阵YB=CTyC 设置各节点电压初值ei(0), fi(0) 4. 将初始值代入(4-38)求不平衡量Pi(0), Qi(0), Ui2(0)

第四节 牛顿—拉夫逊法潮流计算 5. 计算雅可比矩阵各元素（Hij、Lij、Nij、Jij、Rij、Sij） 6. 解修正方程(4-37) ，求 ei(k),  fi(k) 7. 求节点电压新值ei(k+1) =ei(k) - ei(k), fi(k+1) = fi(k) - fi(k) 8. 判断是否收敛：Max|  fi(k) |≤ε, Max|  ei(k) |≤ε 9. 重复迭代第4、5、6、7步，直到满足第8步的条件 求平衡节点的功率和PV节点的Qi及各支路的功率

潮流计算时的修正方程式（框图） 见书上P165

第四节 牛顿—拉夫逊法潮流计算 2. 极座标法：

第四节 牛顿—拉夫逊法潮流计算 极座标法矩阵表示 (4-44)

第四节 牛顿—拉夫逊法潮流计算 极座标法系数推导 (4-45a) 展开式 (4-45b) 计及 (4-48)

第四节 牛顿—拉夫逊法潮流计算 极座标法系数推导 当i≠j ，对特定的j，只有特定节点的δj，从而δij= δi- δj 是变量 (4-49a) 对特定的j，只有该特定节点的Uj是变量 (4-49b)

第四节 牛顿—拉夫逊法潮流计算 极座标法系数推导 当i=j ，由于δi是变量，从而所有δij= δi- δj 都是变量，可得 (4-49c) 相似地，由于Ui是变量，可得 (4-49d)

第四节 牛顿—拉夫逊法潮流计算 极座标法潮流计算的基本步骤： 1. 输入原始数据和信息：y、C、Pis、Qis、Uis、约束条件 2. 形成节点导纳矩阵YB=CTyC 设置各节点电压初值Ui(0), δi(0) 将初始值代入(4-45) 求不平衡量Pi(0), Qi(0) 5. 计算雅可比矩阵各元素（Hij、Lij、Nij、Jij） 6. 解修正方程(4-44) ，求 Ui(k),  δi(k) 7. 求节点电压新值Ui(k+1) = Ui(k) - Ui(k), δi(k+1) = δi(k) - δi(k)

第四节 牛顿—拉夫逊法潮流计算 极座标法潮流计算的基本步骤： 8. 判断是否收敛：Max|  Ui(k) |≤ε, Max|  δi(k) |≤ε 9. 重复迭代第4、5、6、7步，直到满足第8步的条件 求平衡节点的功率和PV节点的Qi及各支路的功率

第五节 P-Q分解法潮流计算 一、P-Q分解法原理 所谓P-Q分解法就是利用牛顿-拉夫逊法修正方程的极标形 式，考虑了电力系统的一些特性（如网络参数Xij>>Rij， Bij>>Gij，δij≈0。P∝ δ，Q ∝U），得出的一种简化形式。 图形解释

第五节 P-Q分解法潮流计算 二、P-Q分解法的修正方程式 重写极座标方程 (4-53)

第五节 P-Q分解法潮流计算 (4-54) 简写为 (4-55) 进一步 计及cosδij≈1, Gij sinδij<< Bij

第五节 P-Q分解法潮流计算 (4-49a) (4-49b) (4-56a) (4-49c) (4-49d) (4-43b) (4-56b)

第五节 P-Q分解法潮流计算 (4-57)

第五节 P-Q分解法潮流计算 (4-58a) (6-75) (4-58b)

ΔP/U=B’UΔδ 简写为： ΔQ/U=B’’ ΔU ΔP1/U1 B11 B12 B1n U1Δδ1 ΔP2/U2 B21 B22 (4-59a) ΔPn/Un Bn1 Bn2 Bnn UnΔδn ΔQ1/U1 B11 B12 B1m Δ U1 ΔQ2/U2 B21 B22 B2m Δ U2 (4-59b) ΔQm/Um Bm1 Bm2 Bmm Δ Um ΔP/U=B’UΔδ (4-60a) 简写为： ΔQ/U=B’’ ΔU (4-60b)

P-Q分解法的修正方程式的特点： 以一个(n-1)阶和一个(m-1)阶系数矩阵B’、B’’替代原有的(n+m-2)阶系数矩阵J，提高了计算速度，降低了对存储容量的要求。 以迭代过程中不变的系数矩阵B’、B’’替代变化的系数矩阵J，显著地提高了计算速度。 以对称的系数矩阵B’、B’’替代不对称的系数矩阵J，使求逆等运算量和所需的存储容量大为减少。

牛顿－拉夫逊法和P－Q分解法的特性： P－Q分解法 牛顿－拉夫逊法

三、P-Q分解法的潮流计算的基本步骤 形成系数矩阵B’、B’’ ，并求其逆矩阵。 设各节点电压的初值I(0)(i=1,2,,n,is)。UI(0)(i=1,2,,m,is) 按式（4－45a）计算有功不平衡量PI(0)(i=1,2,,n,is)。 解修正方程式，求各节点电压相位的变量 I(0)(i=1,2,,n,is) 求各节点电压相位的新值I(1) = I(0) + I(0)(i=1,2,,n,is) 按式（4－45a）计算无功不平衡量QI(0)(i=1,2,,m,is)。 解修正方程式，求各节点电压幅值的变量 UI(0)(i=1,2,,m,is) 求各节点电压幅值的新值UI(1) = UI(0) + UI(0)(i=1,2,,m,is) 不收敛时，运用各节点电压的新值自第三步开始进入下一次迭代。 计算平衡节点功率和线路功率。

P-Q分解的潮流 计算流程图 见书上P175

第六节 潮流计算中稀疏技术的运用 一、稀疏矩阵的存储 1、按坐标存储的方案 对角元素 顺序号L 1 2 3 4 5 6 DIAG 15 11 10 4 8 11 5 20 7 14 9 12 3 2 22 17 13 16 18 1、按坐标存储的方案 对角元素 顺序号L 1 2 3 4 5 6 DIAG 15 11 20 12 22 18

特点：按坐标位置存储，简单、直观，便于检索，但不便于运算。 非对角元素 顺序号m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 OFFD 14 17 13 16 IROW ICOL 特点：按坐标位置存储，简单、直观，便于检索，但不便于运算。 需n+3N个存储单元（n为对角元数，N为非零非对角元数）。 15 10 8 11 5 4 20 7 14 9 12 3 2 22 17 13 16 18

2、按顺序存储的方案 对角元素存储方案同上。 非对角元素 顺序号L 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 OFFD 14 17 13 16 ICOL 顺序号m 1 2 3 4 5 6 IROW 7 9 11 特点：不如上一方案简单、直观，便于检索，但便于运算，普遍采用。 需2n+2N个存储单元，由于N总大于n，故所需存储单元较少。

3、按链表存储的方案 对角元素存储方案同上。 非对角元素 顺序号L 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 OFFD 13 14 16 17 ICOL NEXT 顺序号m 1 2 3 4 5 6 IROW 8 9 特点：更便于运算，应用正日益广泛。 需2n+3N个存储单元。

二、因子表的形成和应用 三、节点编号顺序的优化 概念：由于J-1、(B’)-1 、 (B’’)-1都是满阵，工程实践中运用的潮流计算程序绝不以求逆、求积运算解修正方程式，而往往代之以因子表法。 实质：线性方程组求解过程中的消元与回代。 以高斯消元法形成因子表 因子表的形成 以三角分解法形成因子表 三、节点编号顺序的优化 与矩阵的稀疏度有关 节点编号顺序 与消元回代的次数有关 静态优化法—按静态联接支路由少到多顺序编号 编号最优顺序法 半动态优化法—按动态联接支路数的多少编号 动态优化法—按动态增加支路数的多少编号

作业 1、某系统的等值电路如图所示，试求： 写出节点导纳距阵。 如果节点2、4之间阻抗为0，即Z24=0，修改导纳距阵。 ① ② ③ ④ 1:1.1 j0.1Ω j0.2Ω j0.25Ω 2、潮流计算中，节点的分类及各自的已知和未知量是什么? 3、试述牛顿—拉夫逊法潮流计算的基本步骤