粘性流体力学 阎超 北京航空航天大学

第三章 粘性流体力学基本方程组 连续介质假设 第三章 粘性流体力学基本方程组 连续介质假设 流体力学是研究流体的宏观运动，但研究的对象不直接是这些物质粒子本身如分子，而是抽象出来的一种模型—连续介质。 连续介质模型认为(假设)物质连续地无间隙地分布于物质所占有的整个空间，流体宏观物理量是空间点及时间的连续函数。 通常所说的流体力学，就是指建立在连续介质假设基础上的流体力学。 大量事实证明，连续介质力学在相当广泛的领域内给出了和实际吻合的结果。

第三章 粘性流体力学基本方程组 连续介质假设 第三章 粘性流体力学基本方程组 连续介质假设 研究对象是流体的宏观运动，即大量分子的平均行为，而不是单个分子的个别行为，因而可以不去考虑物质的分子结构和单个分子的运动细节。 物质的分子结构和分子的热运动只对宏观运动存在间接的影响，即只能通过影响物质的热力学特性来影响物体的运动。 因此，当研究物体的变形、流动等宏观运动特性时，就可以将物体作为一种连续体对待，而无须计及它的微观分子结构。 分子动力论是用质点力学和统计学相结合的方法来研究物质宏观力学和热力学性质的科学。这一理论取得了很大成就，但它目前也只能应用于某些简单的气体，远不能解决范围十分宽广的流体力学的大量问题。

第三章 粘性流体力学基本方程组 连续介质假设 第三章 粘性流体力学基本方程组 连续介质假设

第三章 粘性流体力学基本方程组 流体运动所遵循的规律是由物理学三大守恒定律规定的，即质量守恒定律，动量守恒定律和能量守恒定律。这三大定律对流体运动的数学描写就是流体动力学基本方程组。. 现在还求不出这个方程组的解析解，但研究这个方程组具有极其重要的意义，因为千变万化的流动现象都是由这个方程组所规定的。 本课程的全部内容，实质上就是在各种具体条件下、用各种不同的方法、以不同的近似程度求解这个方程组，研究解的性质，及其流动表现。

第三章 粘性流体力学基本方程组 1、质量守恒定律：连续方程（质量方程） 第三章 粘性流体力学基本方程组 1、质量守恒定律：连续方程（质量方程） 对于任一流体微元，根据质量守恒定律可得连续方程（也称质量方程）： 此即三维可压缩流的连续方程，它表示：

第三章 粘性流体力学基本方程组 1、质量守恒定律：连续方程（质量方程） 第三章 粘性流体力学基本方程组 1、质量守恒定律：连续方程（质量方程） 按取和约定，上式可表示为 对于定常流，此式成为 对于不可压流，上式成为

第三章 粘性流体力学基本方程组 2、粘性流体的运动方程一动量守恒定律 为建立流体方程，须分析流体微团受力。 微元体受到两种力：一为彻体力，它是作用于微元体内所有质量上的力，如重力、惯性力、电磁力等；另一类为表面力，它是作用在微团界面上的力，如压力、摩擦力等。 本节只研究表面力，用P表示作用于单位容积的表面力。 在垂直于X轴的两个外表面上，分别作用有合应力 :

下标X表示应力向量作用在与x轴垂直的微元面上。 同样可得作用在垂直于y轴和Z轴的微元面上的表面力的合力分别为

于是可得作用于单位容积的表面力的合力为 (3.1) 式中Px、Py、Pz都是向量，可以把它们沿三个坐标方向分解，即分解成正应力和平行于各微元面的切应力 。 (3.2) 下标规定如下：正应力 的下标代表应力的方向，切应力 的第一个下标代表切应力所在平面的外法线方向，第二个下标代表切应力的方向.

可见要完全描述微元体上的应力，则需要九个分量。这九个分量就组成了应力张量，表示为 (3.3) 容易证明该应力张量是二阶对称张量。 取沿作用面外法线方向的 为正； 当作用面的外法线沿坐标轴的正方向时，取沿坐标轴正方向的为正，当作用面的外法线沿坐标轴的负方向时，取沿坐标轴负方向的为正.

将式（3.2)(3.3)带入（3.1）可得出单位容积的表面力公式： (3.4)

定义一个反映流体运动与变形的对称张量，称为应变变化率张量 展开写为： 它是由性质不同的两组分量组成：主对角线上的分量描写线应变变化率i= ui/xi ，反映拉压；其余分量，描写角变形率，反映剪切。

第三章 粘性流体力学基本方程组 物体的应力与运动学参数之间存在着一定的关系，在弹性力学中这种关系是由胡克定律表示的，即弹性固体中应力与应变成正比。 不同的流体有不同的性质，这种关系有不同的类型。对于大多数流体, 应力与应变变化率成正比，或者说，应力与应变变化率之间存在着线性关系，服从这种关系的流体称为牛顿流体 牛顿根据实验最早提出了切应力与层间速度梯度成正比： (3.5)

在这种层状运动中v/x=0.所以此式右端的速度梯度实为应变变化率张量的分量Syx的二倍, 即有： (3.6) 式(3.5)(3.6)称为牛顿粘性应力公式， 斯托克斯将牛顿的这个公式推广到粘性流体的任意流动情形中去，其假设为1．流体是牛顿流体，并是连续的；2．流体是各向同性的，即其性质与方向无关；3．所建立的关系应适合运动和静止的情况。 考虑（3.3）式，假设更一般关系式： ij= 2sij 该式对于切应力的表示是符合牛顿粘性应力公式的. 但静止时，sij ＝0，按上式， ij 也应为零，但流体静压p0 总是存在，所以上式需要修改

应在上式中再加一项，此项应只影响主对角线上的元素（因为静压是ij对角线上正应力），由此，假设： (3.7) 其中b为待定标量，其选定方式有很多种。 根据流体各向同性假设，所寻求的关系应与坐标选择无关，而由张量理论可知，二阶张量中主对角线上三个分量之和是不变量，即不随坐标旋转而变化，所以假设： 其中b1,b2,b3为待定标量 将此式代入（3.7），取等式两边主对角线上三个分量之和，整理后可得: （3.8）

（） 在静止状态下 于是上式成为 标量b1和b3有两种选择方法,这里取一般化情况： b1＝0， b3＝－ p0 定义：

如果将p。理解为热力学参数的压力，则看出，一般情况下，运动时的平均压力并不等于热力学压力。 系数与有相同的量纲，且与体积膨胀率div u有关，故称为体积粘性系数或第二粘性系数。 为了消除 的情况，斯托克斯假设: （3.9） 现代实验表明，大多数流体 为正值。但一般div u 不是很大（不可压缩流体为0），  值影响很小。 取 ，并将上述所有结果带回（3.7）,有: (3.10) 将（3.9）带入（3.10）,有

（3.11） (3.10)(3.11)就是著名的广义牛顿粘性应力公式。此式的适用范围很宽。

粘性流体的运动方程是动量守恒定律的数学表述。 对于流体运动应考虑彻体力和表面力两类外力：若F表示作用在单位质量上的彻体力，P表示作用在单位容积上的表面力，由牛顿第二定律，则运动方程可写为如下向量形式： （3.12） 其中 称为物质导数或随体导数，代表微团的某性质对时间的变化率。 将(3.3)（3.4)(3.11）带入(3.12)有:

（3.13） 这就是粘性流体的运动方程——著名的纳维一斯托克斯（Navier-Stokes）方程，简称NS方程。 一般可认与空间位置无关，整理上式，如第一式（x方向）,可得： (3.14)

或写为矢量式： 对于不可压流体，也可写为： 由上诸式可见：尽管流体都有粘性，但只在速度梯度变化剧烈的地方粘性应力才起重要作用。这一点很重要。

粘性流体和理想流体的差别，以图为例：对于理想流体，通过界面F，微元体A只对微元体B作用了压力p；而对于粘性流体，除正应力y 外,微元体A还对微元体B作用了粘性切应力 yx ,而且正应力y 的大小也不等于压力p.

航空粘性流体力学问题示例

航空粘性流体力学问题示例

航天粘性流体力学问题示例

航天粘性流体力学问题示例

第三章 粘性流体力学基本方程组 3、粘性流体的能量方程一能量守恒定律 能量方程反映了粘性流体在流动过程中满足的能量守恒定律。 当流体流动时，能量守恒定律可叙述为：封闭系统内流体能量随时间的变化率等于单位时间内作用在该系统上所有外力所作的功和由边界传入的热量，相应的数学表达式为 其中左边项中分别表示系统内流体的动能和内能，W1是单位时间内边界上应力对流体所作的功，W2是单位时间内体积力所作的功，Q是单位时间内从边界面传入流体团的热量。

第三章 粘性流体力学基本方程组 4.粘性流体动力学方程组的封闭性问题 封闭性:方程组所具有的方程数目是否等于所出现的未知函数的数目。只有当这两者相等时，对于正确规定的定解条件，方程组的解才可能既存在又唯一 . 未知函数有, U, F, p ,，h(或e)、Q和q共八个（这里把矢量作为一个量）,而方程数目仅三个. 通常假设彻体力F和外热Q是已知。 目前还未找到联系各热力学参数之间的普遍适用关系式。对于空气等气体，常采用完全气体假设，即满足：

热流密度矢量q,以及对热传导系数，粘性系数 可采用公式： 利用以上的假设和关系，就可使可压缩粘性气体动力学方程组封闭

第三章 粘性流体力学基本方程组 5. NS方程的适用性 所引入的假设：完全气体的状态方程、广义牛顿粘性应力公式、连续介质假设。 连续介质的假设：只要最小涡的尺度大大超过分子平均自由行程，这个假设就是可用的。气体分子的平均自由行程为0.0001mm,液体为0.0000001mm。 NS方程是玻耳兹曼（Boltzmann）方程的第一次近似，即分子运动达到近似平衡状态的玻耳兹曼方程。 总之，除了稀薄气体和个别特殊情况（研究激波厚度内的结构等特殊问题），对于水和空气一类的流体，NS方程总是可用的。

第四章 边界层理论 1、概述 粘性很小的流体以大雷诺数运动时，在大部分流场上可以略去粘性作用，但在物面附近的很薄一层的流体内必须考虑粘性的作用。这一个薄层流体，称为边界层。 Prandtl (1904) 首先提出了边界层概念，边界层被称为:Mile stone of the Modern Fluid Mechanics。

边界层概念的历史原因 十九世纪末，流体力学的研究工作有两个互不沟通的方向：一是理论流体力学（亦称水动力学），用数学方法研究流体对固体物的绕流，当时已达到较高的水平。但计算结果往往与实验结果不一致。例如圆柱体绕流，计算结果是没有阻力，但实验表明有阻力。于是，在流体力学史上留下了达朗倍尔疑题(d’Alembert’s Paradox)；二是水力学，主要是用实验方法进行研究，将实验结果归纳成经验公式或半经验公式应用于工程实际，但缺乏理论基础。 理论流体力学的计算结果与实验结果不一致的原因是在运动方程中没有将流体的粘性考虑进去。计及流体粘性而由Navier与Stokes分别于1821及1845年建立起来的Navier-Stokes方程，又因过于复杂而不可能求解。所以，流体力学的发展遇到了困难。一方面是无粘流理论解决不了实际问题，另一方面是粘流理论无法求解（蠕流有解，但没有实用价值）。边界层概念提出来以后，把这两方面的困难都解决了。

边界层概念的历史原因 德国空气动力学家普朗特(Ludwig Prandtl)在汉诺威大学执教时，用水槽对流动现象进行了大量的观察研究。他发现，在大雷诺数前提下，粘性系数很小的流体在大部分流场上的流谱与无粘流的流谱是一致的，差别主要在物面附近。因此，他提出了“边界层”概念，即：将大雷诺数下的流场分或两部分处理。在“边界层”以外，仍用无粘流理论来处理问题，而在边界层之内则考虑流体的粘性。 由于边界层很薄，粘流的运动方程在边界层内可以大大简化，以至于可以得到一些有用的解析解。所以，边界层概念提出来以后，既挽救了无粘流理论，使其在大部分流场上可以应用，也挽救了粘流理论，使其得以求得解答。在工程应用方面，尤其是在航空工程中，小粘性、大雷诺数的流动问题是非常多的，完全可以用边界层理论来解决。这样，边界层概念对流体力学的发展起了很大的作用。当然，现在已经进入了二十一世纪，计算技术与计算机发展得很快，人们已经可以用数值法直接求解N-S方程。但在研究物理现象时，边界层概念仍然是很有用的。

边界层概念的历史原因 边界层概念是Prandtl于1904年在德国海德堡召开的第三届国际数学大会上宣读的论文中正式提出的，论文题目是“论粘性很小的流体运动”（über Flüssigkeits bewegung bei sehr kleiner Reibung）。参加此次大会的Göttingen大学数学系主任克莱因（F.Klein）教授称赞Prandtl的文章是本届大会的最优秀论文，并邀请Prandtl到Göttingen 大学去组建应用力学系。此后，Prandtl就一直在Göttingen工作，直到1953年去世。他研究边界层时用过的水槽原件，现在作为文物陈列在法兰克福的德国国家博物馆内。 在近代流体力学史上，没有一种别的理论能像边界层理论一样产生了因此巨大而深远的影响。

在物体表面上，流动速度为0，离开表面很小的距离，速度就有很快的增长，因此，边界层内速度梯度很大，粘性作用强烈。在边界层外，速度就和自由流速差不多，速度梯度很小，可以忽略粘性作用。 位流区 翼型上的速度分布

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