3.2.1几类不同增长 的函数模型（二）

复 习 引 入 归纳总结中学数学建模的主要步骤 (1) 理解问题：阅读理解，读懂文字叙述， 认真审题，理解实际背景. 弄清楚问题的 实际背景和意义，设法用数学语言来描述 问题. (2) 简化假设：理解所给的实际问题之后， 领悟背景中反映的实质，需要对问题作必 要的简化，有时要给出一些恰当的假设， 精选问题中关键或主要的变量.

复 习 引 入 归纳总结中学数学建模的主要步骤 (3) 数学建模：把握新信息，勇于探索， 善于联想，灵活化归，根据题意建立变 量或参数间的数学关系，实现实际问题 数学化，引进数学符号，构建数学模型， 常用的数学模型有方程、不等式、函数. (4) 求解模型：以所学的数学性质为工具 对建立的数学模型进行求解.

复 习 引 入 归纳总结中学数学建模的主要步骤 (5) 检验模型：将所求的结果代回模型之 中检验，对模拟的结果与实际情形比较， 以确定模型的有效性，如果不满意，要 考虑重新建模. (6) 评价与应用：如果模型与实际情形比 较吻合，要对计算的结果作出解释并给 出其实际意义，后对所建立的模型给出 运用范围.如果模型与实际问题有较大出 入，则要对模型改进并重复上述步骤.

归纳总结中学数学建模的主要步骤 理解问题 (2) 简化假设 (3) 数学建模 (4) 求解模型 (5) 检验模型 (6) 评价与应用

讲 授 新 课 观察函数 与 在[0,＋∞)上 的图象，说明在不同区间内，函数增长 的快慢情况.

讲 授 新 课 观察函数 与 在[0,＋∞)上 的图象，说明在不同区间内，函数增长 的快慢情况. y 6 4 2 O x 16

讲 授 新 课 观察函数 与 在[0,＋∞)上 的图象，说明在不同区间内，函数增长 的快慢情况. y 6 4 2 O x 16

比较函数 的增长快慢.

比较函数 y 的增长快慢. 8 你能分别求出使 6 4 成立的x的取值 范围吗？ 2 x O 2 4 6 8 -2

y 放大后 的图象 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 x O 5 10

规律总结 ① 一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和 幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0, ＋∞)上， 无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范 围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于 xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0 时，就会有ax＞xn.

规律总结 ②对于对数函数y＝logax (a＞1)和幂函数 y＝xn(n＞0)在区间(0, ＋∞)上，随着x的 增大，logax增长得越来越慢.在x的一定 变化范围内，logax可能会大于xn，但由 于logax的增长慢于xn的增长，因此总存 在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.

规律总结 ③在区间(0, ＋∞)上，尽管函数y＝ax (a＞1)，y＝logax(a＞1)和y = xn(n＞0) 都是增函数，但它们的增长速度不同， 而且不在同一个“档次”上.随着x的增 长，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快， 会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长 速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则 会越来越慢.因此，总会存在一个x0， 当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax.

例1 同一坐标系中，函数 y y＝x2＋7和y＝2x的图象 如图.试比较x2＋7与2x的 大小. y＝x2＋7 y＝2x x O 50 40 30 y＝2x 20 10 O x 5 10

例2 已知函数y＝x2和y＝log2(x＋1)的图象 如图，试比较x2与log2(x＋1)的大小. 4 y＝x2 3 2 y＝log2(x＋1) 1 x O 2 4 -1

练习 1. 下列说法不正确的是 ( ) A. 函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数 B. 函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数 C. 存在x0，当x＞x0时，x2＞2x恒成立 D. 存在x0，当x＞x0时，2x＞x2恒成立

练习 1. 下列说法不正确的是 ( C ) A. 函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数 B. 函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数 C. 存在x0，当x＞x0时，x2＞2x恒成立 D. 存在x0，当x＞x0时，2x＞x2恒成立

练习 2.比较函数y＝xn(n＞0)和y＝ax(a＞0)， 下列说法正确的是 ( ) A. 函数y＝xn比y＝ax的增长速度快 B. 函数y＝xn比y＝ax的增长速度慢 C. 因a, n没有大小确定, 故无法比较函数 y＝xn与y＝ax的增长速度 D. 以上都不正确

练习 2.比较函数y＝xn(n＞0)和y＝ax(a＞0)， 下列说法正确的是 ( B ) A. 函数y＝xn比y＝ax的增长速度快 B. 函数y＝xn比y＝ax的增长速度慢 C. 因a, n没有大小确定, 故无法比较函数 y＝xn与y＝ax的增长速度 D. 以上都不正确

练习 3. 函数y＝logax(a＞1)、y＝bx(b＞1)和 y＝xc(c＞0)中增长速度最快的是( B ) A. y＝logax(a＞1) B. y＝bx(b＞1) C. y＝xc(c＞0) D. 无法确定

练习 3. 函数y＝logax(a＞1)、y＝bx(b＞1)和 y＝xc(c＞0)中增长速度最快的是( B ) A. y＝logax(a＞1) B. y＝bx(b＞1) C. y＝xc(c＞0) D. 无法确定

练习 4．已知幂函数y＝x1.4、指数y＝2x和对数 函数y＝lnx的图象. 如图，则A表示函数 的图象， y B表示函数 . 的图象，C表示函 数 的图象. y 5 4 A 3 B 2 1 C x O 2 4

课 堂 小 结 1. 幂函数、指数函数、对数函数增长 快慢的差异；

课 堂 小 结 1. 幂函数、指数函数、对数函数增长 快慢的差异； 2. 直线上升、指数爆炸、对数增长 等不同函数类型增长的含义.

课 后 作 业 1. 阅读教材P.98~ P.101. 2. 《习案》作业二十八.