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第五章 留数 §1 孤立奇点

函数不解析的点为奇点. 如果函数f(z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域0<|z-z0|<d内处处解析, 则z0称为f(z)的孤立奇点.

将函数f(z)在它的孤立奇点z0的去心邻域内展开成洛朗级数. 根据展开式的不同情况对孤立奇点作分类.

1. 可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项, 则孤立奇点z0称为f(z)的可去奇点 1. 可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项, 则孤立奇点z0称为f(z)的可去奇点. 这时, f(z)在z0的去心邻域内的洛朗级数实际上就是一个普通的幂级数: c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+.... 因此, 这个幂级数的和函数F(z)是在z0解析的函数, 且当zz0时, F(z)=f(z); 当z=z0时, F(z0)=c0. 由于

所以不论f(z)原来在z0是否有定义, 如果令f(z0)=c0, 则在圆域|z-z0|<d内就有 f(z)=c0+c1(z-z0)+ 所以不论f(z)原来在z0是否有定义, 如果令f(z0)=c0, 则在圆域|z-z0|<d内就有 f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+..., 从而函数f(z)在z0就成为解析的了. 由于这个原因, 所以z0称为可去奇点.

2. 极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项, 且其中关于(z-z0)-1的最高幂为 (z-z0)-m, 即 f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+... (m1, c-m0), 则孤立奇点z0称为函数f(z)的m级极点. 上式也可写成 其中 g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+... 在|z-z0|<d内是解析的函数, 且g(z0)0.

反过来, 当任何一个函数f(z)能表示为(5. 1. 1)的形式, 且g(z0)0时, 则z0是f(z)的m级极点 反过来, 当任何一个函数f(z)能表示为(5.1.1)的形式, 且g(z0)0时, 则z0是f(z)的m级极点. 如果z0为f(z)的极点, 由(5.1.1)式, 就有

3. 本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多个z-z0的负幂项, 则孤立奇点z0称为f(z)的本性奇点.

在本性奇点的邻域内, 函数f(z)有以下的性质(证明从略): 如果z0为函数f(z)的本性奇点, 则对任意给定的复数A, 总可以找到一个趋向于z0的数列, 当z沿这个数列趋向于z0时, f(z)的值趋向于A. 例如, 给定复数A=i, 我们把它写成

综上所述 我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.

4. 函数的零点与极点的关系 不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成. f(z)=(z-z0)mj(z),. (5. 1 4.函数的零点与极点的关系 不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成 f(z)=(z-z0)mj(z), (5.1.2) 其中j(z)在z0解析且j(z0)0, m为某一正整数, 则z0称为f(z)的m级零点. 例如当f(z)=z(z-1)3时, z=0与z=1是它的一级与三级零点, 根据这个定义, 我们可以得到以下结论: 如f(z)在z0解析, 则z0是f(z)的m级零点的充要条件是 f(n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m-1), f(m)(z0)0 (5.1.3)

这是因为, 如果f(z)在z0解析, 就必能在z0的邻域展开为泰勒级数: f(z)=c0+c1(z-z0)+. +cm(z-z0)m+ 这是因为, 如果f(z)在z0解析, 就必能在z0的邻域展开为泰勒级数: f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+... 易证z0是f(z)的m级极点的充要条件是前m项系数c0=c1=...=cm-1=0, cm0, 这等价于 f(n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m-1), f(m)(z0)0 (5.1.3) 例如z=1是f(z)=z3-1的零点, 由于 f '(1)=3z2|z=1=30, 从而知z=1是f(z)的一级零点.

由于(5. 1. 2)中的j(z)在z0解析, 且j(z0)0, 因而它在z0的邻域内不为零 由于(5.1.2)中的j(z)在z0解析, 且j(z0)0, 因而它在z0的邻域内不为零. 这是因为j(z)在z0解析, 必在z0连续, 所以给定 所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心邻域内不为零, 即不恒为零的解析函数的零点是孤立的.

由此, 当zz0时, 得 而y(z)=1/j(z)在z0解析, 并且y(z0)0, 所以z0是f(z)的m级极点. [证毕] 这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.

5. 函数在无穷远点的性态 如果函数f(z)在无穷远点z=的去心邻域R<|z|<内解析, 称点为f(z)的孤立奇点.

规定, 如果t=0是j(t)的可去奇点, m级极点或本性奇点, 则称点z=是f(z)的可去奇点, m级极点或本性奇点 规定, 如果t=0是j(t)的可去奇点, m级极点或本性奇点, 则称点z=是f(z)的可去奇点, m级极点或本性奇点. 由于f(z)在R<|z|<+内解析, 所以在此圆环域内可以展开成洛朗级数, 根据(4.4.5)与(4.4.8), C为R<|z|<+内绕原点任何一条简单正向闭曲线

如果在级数(5.1.6)中i)不含负幂项, ii)含有有限多的负幂项, 且t-m为最高幂, iii)含有无穷多的负幂项, 则t=0是j(t)的i)可去奇点,ii)m级极点, iii)本性奇点.

因此, 在级数(5.1.5)中, i)不含正幂项; ii)含有限多的正幂项, 且zm为最高幂; iii)含有无穷多的正幂项; 则z=是f(z)的 i)可去奇点; ii)m级极点; iii)本性奇点.

例2 函数 在扩充平面内有些什么类型的奇点? 如果是极点, 指出它的极. [解] 易知, 函数f(z)除使分母为零的点z=0, 1, 2, …外, 在|z|<+内解析. 由于(sinpz)' = pcospz在z=0, 1, 2, …处均不为零, 因此这些点都是sinpz的一级零点, 从而是(sinpz)3的三级零点. 所以这些点中除去1,-1,2外都是f(z)的三级极点.

因z2-1=(z-1)(z+1)以1与-1为一级零点, 所以1与-1是f(z)的2级极点. 至于z=2, 因为

关于z=, 因为

作业 第五章习题 第183页 第1题