微积分前期史
开篇： 微积分，或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它外于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具。遗憾的是，微积分的数学方法有时流于机械，不能体现出这门学科乃是撼人心灵的智力奋斗的结晶；这种奋斗已经经历了两千五百多年之久，它深深根扎于人类活动的许多领域，并且，只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止，这种奋斗就将继续不已。 R.柯朗 2
开篇： 课本的字斟句酌的叙述，未能表现出创造过程中的斗争、挫折，以及在建立一个可观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路。学生一旦认识到这一点，他将不仅获得真知灼见，还将获得顽强地追究他所攻问题的勇气，并且不会因为他自己的工作并非完美无缺而感到沮丧。实在说，叙述数学家如何跌交，如何在迷雾中摸索前进，并且如何零零碎碎地得到他们的成果，应能使搞研究工作的任一新手鼓起勇气。 M.克莱因 3
开篇： 4 学习微积分概念的发展将使我们受益良多。 17世纪是由中世纪向新时代过渡的时期。资本主义开始发展，科学技术出现创新，天文学、光学、造船、机器制作、建筑以及军事问题，促进了力学的发展，从而也对数学提出了新的要求。 运动和变量是研究的关键，无穷是核心问题。微分和积分是分相互独立地发展起来的，最后由牛顿和莱布尼兹建立了它们之间的联系，完成了微积分的创立。 4
开篇： 微积分的创立是为了解决以下四类问题： 运动问题 切线问题 极值问题 求积问题 5
§ 12.1积分学的早期史： 12.1.1欧多克索斯的穷竭法 古希腊巧辩家安提丰(约公元前500年)提出圆面积由内接多边形逼近。 欧多克索斯(Eudoxus公元前400-公元前350年)假定量是无限可分的，并以下述命题为基础：
12.1.1欧多克索斯的穷竭法： 命题1 如果从任一量中减去不小于它的一半的部分，从余量中再减去不小于它的一半的另一部分，如此继续下去，则最后留下一个小于任何给定的同类量的量。 命题2 圆的内接相似正多边形面积之比等于圆的直径的平方之比。 命题3 圆与圆的面积之比等于其直径平方之比。
12.1.1欧多克索斯的穷竭法： 欧多克索斯还证明了棱锥体积是同底同高的棱柱体积的三分之一,以及圆锥体积是同底同高的圆柱体积的三分之一。但他没有明确的极限思想。
12.1.2阿基米德的平衡法： 阿基米德(Archimedes，约公元前287～212) 古希腊物理学家、数学家，静力学和流体静力学的奠基人。 除了牛顿和爱因斯坦，再没有一个人象阿基米德那样为人类的进步做出过这样大的贡献。即使牛顿和爱因斯坦也都曾从他身上汲取过智慧和灵感。他是“理论天才与实验天才合于一人的理想化身”，文艺复兴时期的达芬奇和伽利略等人都拿他来做自己的楷模。
12.1.2阿基米德的平衡法： 在阿基米德《论球和柱体》一书中，第一次出现了球和球冠的表面积，球和球缺的体积的正确公式。 命题１ 圆面积是圆周长与其半径之积的一半． 命题２ 半径为r的球的体积是
T N S A B 图12-2
命题2的证明
命题2的证明
12.1.3不可分素方法： 第一个推广阿基米德方法的是德国的天文学家和数学家刻卜勒（Johann Kepler1571-1630)他在1615年写了《酒桶的新立体几何》，书中包含了用无穷小元素法求面积和求体积的许多问题，其中有87种新的旋转体的体积。刻卜勒工作的直接继承者是卡瓦列里（B.Cavalieri1598-1647),他在1635年发表了专著《不可分素几何学》
12.1.3不可分素方法： 卡瓦列里说：“要决定平面图形的大小可以用一系列平行线；我们设想在这些图形上画了无穷多的平行线”。他用同样的方式处理了立体图形，用的不是一系列平行线，而是一系列平行平面。这些直线和平面就是不可分素。 卡瓦列里用不可分素的方法解决了整数幂的积分问题。也即，他算出了下面的积分：
12.1.3不可分素方法： 例 求椭圆的体积。
12.1.3不可分素方法： 例 求半径为r的球的体积。
12.1.4刘徽的贡献： 刘徽（约225-295），中国数学史上伟大的数学家，活动于魏晋年间。中国古典数学理论的奠基者之一。他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最可宝贵的数学遗产。
12.1.4刘徽的贡献： 刘徽对积分学的贡献主要有两点： 1）他创造性地运用极限思想证明了求圆面积公式和给出了计算圆周率的方法。 他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。” 他得到的圆周率为3927/1250=3.1416。他提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位。
12.1.4刘徽的贡献： 2）关于解决体积问题的设想。 他指出了《九章算术》内求球体积公式的错误。他在正方体内作了两个相互垂直的圆柱，并称两圆柱公共部分为“牟合方盖”，他虽未完成球体积的推导，但他正确的指出，“牟合方盖”与其内切球体积之比为4： ，在算法理论和数学思想方面都给后人以很大的启发。
12.1.5祖暅原理： 祖暅，字景烁，南北朝时南朝著名数学家和天文学家。著名数学家祖冲之之子。《缀术》就是他们父子共同完成的数学杰作。 在推导“牟合方盖”体积的过程中，祖暅提出了“幂势既同，则积不容异”的原理，后来被称为“祖暅原理”。 用现代语言来说即“若两立体在等高处具有相同的截面面积，则这两立方体的体积相等”。
12.1.5祖暅原理： “祖暅原理”也即卡瓦列里原理，但比卡瓦列里早了一千年。根据“祖暅原理”可将“牟合方盖”的体积化成一个正方体和一个四棱锥的体积之差。由此求出“牟合方盖”的体积等于 。并由此得到求的球的 体积 。
§ 12.2微分学的早期史： 积分学的历史比较长，相对来讲微分学要短一些。 在17世纪，数学家伽利略和刻卜勒的一系列发现，导致数学从古典数学向现代数学的转折。 伽利略发现了许多有关物体在地球引力场中运动的基本事实。 刻卜勒在1691年前后归纳出著名的行星运动三定律。 微分学主要来源于两个问题的研究：一个是作曲线切线问题，一个是求函数的最大最小值问题。
12.2.1费马以前的工作 从一般意义上讨论曲线的切线问题由法国数学罗贝瓦尔（G.P.de Roberval 1602-1675）和意大利物理学家和数学家托里拆利(Torricelli 1608-1647)。 他们认为，曲线是由运动的点生成，点的运动又可以分解成两个已知的运动。两个已知的运动的速度向量给出曲线的切线。如：抛物线的切线。（离开准线和离开焦点运动的和力）
12.2.2费马求极大极小值的方法 属于微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作是1629年费马给出的，他的方法如下： 设f(x)在x处有极大值或极小值，并设e是一个很小的量，那么f(x+e)的值几乎等于f(x)的值。因此我们可以先假定它们相等f(x+e)=f(x)，然后让e等于0，等式仍相等，消去e，得一方程，这个方程的根就是使f(x)取极大值或极小值的x. 例：将一个常量M分成两部分，使其乘积最大。
12.2.3费马求切线的方法 费马还创造了求切线的方法，他的方法是先求该点的次切线，次切线指的是x轴上两点间的一个线段PA。 图12-10
12.2.3费马求切线的方法 K/e=y/t k+y=y(1+e/t) C点坐标为（x+e, y(1+e/t) )费马暂时认为这一点也在曲线上，于是有：f （x+e, y(1+e/t) )=0。然后解此方程，另e=0,就可解出t。 图12-10
12.2.4费马在积分学方面的贡献 费马给出了卡瓦列里法则的几种证明。在1644年前，他也发现了关于分数幂的“抛物线” 的求面积，体积及其重心的方法。 在费马求面积过程中，看到了定积分概念与运算的大部分的主要内容。他把曲线的面积分割为小的面积元素，利用矩形和曲线的解析方程，求出这些和的近似值，以及在元素个数无限增加，每个元素面积无限小时，将表达式表示为和式极限的方式。 费马的贡献在于他第一次采用了相当于今天的定积分的方法，但是费马没有发现微分学和定积分的联系。
12.2.5巴罗的贡献 巴罗的方法 巴罗（1630-1677），1630年生于伦敦，毕业于剑桥大学。他在物理、数学、天文和神学方面都有造诣。1673年被任命为剑桥三一学院院长。主要著作是《光学和几何学讲义》，1677年逝世于剑桥。 R
12.2.5巴罗的贡献 求f(x,y)=0在点P(x,y)处的切线，只要确定T的位置。作三角形PQR,当e很小时，三角形PQR相似于三角形PTM。从而 TM/PM=e/a TM=e*y/a OT=OM-TM=OM-PM*QR/RP=x-e*y/a R
12.2.5巴罗的贡献
12.2.5巴罗的贡献 巴罗求切线的方法非常接近我们在微积分中所用的方法，字母e和a相当于我们的符号dx和dy，而费马只用了一个无穷小量e。而且，巴罗的方法非常适合隐函数。 但是，巴罗的方法没有极限的概念，逻辑上也不够严密。巴罗在微分和积分上都取得了进展，应该说，他已经走到了微积分基本定理的大门口。
12.2.6微积分前期史小结 巴罗在这两类问题中间搭成了一座桥梁。 在前人一系列工作的基础上，在积分学和微分学中都得到了大量的结果。如在积分学中关于求面积、体积、弧长、曲面面积及质心定位的结果；在微分学中，费马给出了一个统一的无穷小方法，用以解决求最大、最小值问题和作曲线的切线问题。 巴罗在这两类问题中间搭成了一座桥梁。
12.2.6微积分前期史小结 莱布尼茨说：在这样的科学成就之后，所缺少的只是引出问题的迷宫的一条线，即依照代数样式的解析计算法。 创建微积分还需要多少事情要做呢？ 1）需要以一般形式建立新计算法的基本概念及其相互联系，创立一套一般的符号体系，建立计算的正规程序和算法。 2）为这门学科建立逻辑上一致的、严格的基础。
§ 12.3牛顿和莱布尼茨 17世纪后期出现了一个崭新的数学分支—数学分析或微积分，它在数学领域中占据着主导地位。这种新数学成功的运用了无限过程的运算，其中微分和积分这两个过程则构成了微分学和积分学的核心。 如果把数学看做一棵大树，那么初等数学就是它的根，而微积分是它的树干，它的树杈则是众多的分支。 微积分的系统发展通常归功于两位伟大的科学先驱牛顿——莱布尼茨。
12.3牛顿和莱布尼茨 伊萨克.牛顿(Isac Newton 1643-1727),1643年1月4日生于英格兰的乌兰索普镇，1660年进入剑桥大学学习，1665年毕业于该校并获得学士学位，1668年获得硕士学位，1669年继承了巴罗的职位。
12.3牛顿和莱布尼茨 1687年，牛顿的主要著作《自然哲学的数学原理》出版，在原理中第一次有了地球和天体主要运动现象的完整的动力学体系和完整的数学公式。 1665-1666年写出了《曲线求积论》。1670年写出了《流数术和无穷级数方法及其对几何曲线的应用》。 牛顿在这两部著作中和在牛顿同时代人莱布尼茨的著作中，建立和完成无穷小量的经典分析，也就是建立和完成了微积分学。
12.3牛顿和莱布尼茨 牛顿是人类历史上最伟大的数学家之一。 像莱布尼茨这样作出了杰出贡献的人也评价道：“在从世界开始到牛顿生活的年代的全部数学中，牛顿的工作超过一半”。 拉格朗日称他是历史上最有才能的人，也是最幸运的人，因为宇宙体系只能被发现一次。 英国著名诗人波普这样来描述这位伟大的数学家“自然和自然的规律,沉浸在一片混沌之中，上帝说，生出牛顿，一切都变得明朗。”
12.3牛顿和莱布尼茨 牛顿本人却很谦逊,他说： 我不知道在别人看来，我是什么样的人；但在我自己看来，我不过就象是一个在海滨玩耍的小孩，为不时发现比寻常更为光滑的一块卵石或比寻常更为美丽的一片贝壳而沾沾自喜，而对于展现在我面前的浩瀚的真理的海洋，却全然没有发现。 ——牛顿
12.3牛顿和莱布尼茨 戈特弗里德٠威廉٠莱布尼茨(Gottfriend Wilhelm Leibniz)，（１６４６－１７１６）1646年6月21日出生于德国莱比锡，父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，莱布尼茨15岁进入莱比锡大学学习法律，在答辩了逻辑的论文之后得到哲学学位。1966年写了论文《论组合的艺术》完成了他在阿尔特道夫大学的博士论文。1670-1671年写了第一篇力学论文，1672年出差到巴黎接触到数学和自然科学家激起了他对数学的兴趣。
12.3牛顿和莱布尼茨 莱布尼茨在研究了巴罗的著作后意识到微分和积分的互逆关系。 莱布尼茨从1684年起发表微积分论文，在1684年的《博学学报》上发表了一篇题为《一种求极大值与极小值和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙的计算》。这是历史上最早公开发表的关于微分学的文献。 1675年，莱布尼茨引入了现代的积分符号，用拉丁字summa( 求和 )的第一个字母s拉长了表示积分，他是数学史上最伟大的符号学者。 莱布尼茨还是一位中西文化交流的倡导者。
12.3牛顿和莱布尼茨 综上所述，二人研究微积分学的基础都达到了同一目的，但各自的方法不同。牛顿主要是从力学的概念出发，而莱布尼茨作为哲学家和几何学家对方法本身感兴趣。牛顿接近最后的结论比莱布尼茨早一些，而莱布尼茨发表自己的结论早于牛顿。
§ 12.4光辉的诞生 微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点。 关于微积分的地位，恩格斯这样评价：“在一切理论成就中，未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩那正是在这里。”