第三节 协方差及相关系数 协方差 相关系数 课堂练习 小结 布置作业
前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的 协方差和相关系数
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} ⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数 一、协方差 量E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}称为随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y) ，即 1.定义 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} 2.简单性质 ⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X) ⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数 ⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) 3. 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若X 与 Y 独立， Cov(X,Y)= 0 .
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y) 特别地 4. 随机变量和的方差与协方差的关系 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如： Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 .
定义: 设D(X)>0, D(Y)>0, 二、相关系数 定义: 设D(X)>0, D(Y)>0, 称 为随机变量 X 和 Y 的相关系数 . 在不致引起混淆时，记 为 .
0≤D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y ) 相关系数的性质： 证: 由方差的性质和协方差的定义知, 对任意实数 b, 有 由于方差D(Y)是正的,故必有 1- ≥ 0,所以 | |≤1。 0≤D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y ) 令 ，则上式为 D(Y- bX)=
2. X和Y独立时， =0，但其逆不真. 由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0. = 0 故 但由 并不一定能推出X和Y 独立. 请看下例.
例1 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布 , 而Y=cos X, ， Cov(X,Y)=0， 不难求得 事实上，X的密度函数
因而 =0， 即X和Y不相关 . 但Y与X有严格的函数关系， 即X和Y不独立 . 存在常数 a,b(b≠0）， 使 P{Y= a + b X}=1， 即 X 和 Y 以概率 1 线性相关.
相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度. 考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y， 以均方误差 e =E{[Y-(a+bX)]2} 来衡量以 a +b X 近似表示Y 的好坏程度 : e 值越小表示 a +b X 与 Y 的近似程度越好. 用微积分中求极值的方法，求出使e 达到最小时的 a,b
e =E{[Y-(a+bX)]2 } L(X)=a0+b0X =E(Y2)+b2E(X2)+a2- 2bE(XY)+2abE(X) - 2aE(Y) 这样求出的 最佳逼近为 L(X)=a0+b0X 解得
| | 的值越接近于1, Y 与 X 的线性相关程度越高; | | 的值越接近于0, Y与X的线性相关程度越弱. 这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X 这一逼近的剩余是 E[(Y-L(X))2]= D(Y)(1- ) Y与X有严格线性关系; 若 可见, 若 =0， Y 与 X 无线性关系; 若0<| |<1, | | 的值越接近于1, Y 与 X 的线性相关程度越高; | | 的值越接近于0, Y与X的线性相关程度越弱.
但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立. 前面，我们已经看到： 若 X 与 Y 独立，则X与Y不相关， 但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立. 但对下述情形，独立与不相关等价 若(X,Y)服从二维正态分布，则 X与Y独立 X与Y不相关
三、课堂练习 1、 2、
1、解 2、解
四、小结 X 与 Y 独立 X 与 Y 不相关 这一节我们介绍了协方差、相关系数、 相关系数是刻划两个变量间线性相关程度的一个重要的数字特征. 注意独立与不相关并不是等价的. 当(X,Y) 服从二维正态分布时，有 X 与 Y 独立 X 与 Y 不相关
五、 布置作业 《概率论与数理统计》作业（四） 三、解答题 第6小题