STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS 第二章 压力容器应力分析 CHAPTER Ⅲ STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS 第三节 厚壁圆筒应力分析

●2.3 厚壁圆筒应力分析 2.3.1 弹性应力 2.3.2 弹塑性应力 2.3.3 屈服压力和爆破压力 2.3.4 提高屈服承载能力的措施

厚壁容器： 在某些实际工程中，由于承受高温高压，有些设备器壁厚度较大，如，合成氨、合成尿素、合成甲醇、油类加氢及压水反应堆等工程使用的容器 属于厚壁容器。 应力特征： a. 应考虑径向应力，是三向应力状态； b. 应力沿壁厚不均匀分布； c.若内外壁间的温差大，应考虑器壁中的热应力。 分析方法： 静不定问题，需平衡、几何、物理等方程 联立求解。 厚壁圆筒分单层式和组合式两种，本书将只分析单层厚壁圆筒的弹性应力、弹塑性应力、屈服应力和爆破压力。

2.3.1 弹性应力 一、压力载荷引起的弹性应力 二、温度变化引起的弹性热应力 有一两端封闭的厚壁圆筒（图2-15），受到内压和外压的作用，圆筒的内半径和外半径分别为Ri、Ro，任意点的半径为r。以轴线为z轴建立圆柱坐标。求解远离两端处筒壁中的三向应力。 一、压力载荷引起的弹性应力 二、温度变化引起的弹性热应力

p0 图2-15 厚壁圆筒中的应力

对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以，假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得： 一、压力载荷引起的弹性应力 1、轴向（经向）应力 对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以，假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得： ＝ A （2-25）

应 力 由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。 a. 微元体 b. 平衡方程 2、周向应力与径向应力 由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。 a. 微元体 b. 平衡方程 ( ～ ) c. 几何方程 (位移－应变，用位移法求解） d. 物理方程（应变－应力） e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程 （求解微分方程，积分，边界条件定常数） 应 力

如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、m1n1 和纵截面mm1、nn1组成，微元在轴线方向的长度 为1单位。 a. 微元体 如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、m1n1 和纵截面mm1、nn1组成，微元在轴线方向的长度 为1单位。 b. 平衡方程（半径r方向上的力平衡） 略去高价微量 （2-26） 薄壁微元平衡方程。拉普拉斯方程 厚壁微元体平衡方程

c. 几何方程 (位移－应变） m' n' 1 m n dr w+dw w r d q 图2-16 厚壁圆筒中微元体的位移

表明微元的应变不是任意的，而是互相联系，满足变形协调方程 m' n' 1 m n dr w+dw w r d q 径向应变 径向应变 周向应变 周向应变 （2-27）微元体几何方程 对第二式求导变换可得变形协调方程： （2-28） 表明微元的应变不是任意的，而是互相联系，满足变形协调方程

d. 物理方程 在弹性范围内，按广义胡克定律，应力与应变满足下列关系 （2-29）

e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程 将式（2-28）中的应变换成应力，并整理得到： 解该微分方程，可得 的通解。将 再代入式（2-26）得 。 （2-32）

边界条件为：当 时， ； 当 时， 。 由此得积分常数A和B为： （2-33）

周向应力 径向应力 （2-34） 轴向应力 称Lamè（拉美）公式

当仅有内压或外压作用时，拉美公式可以简化，此时，厚壁圆筒应力值和应力分布分别如表2-1和图2-17。表中采用了径比 ，k值可表示厚壁圆筒的厚度特征。 表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值

(a)仅受内压 (b)仅受外压 图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布

①周向应力 及轴向应力 均为拉应力（正值）， 径向应力 为压应力（负值）。 结论: 从图2-17中可见， 仅在 作用下，筒壁中的应力分布规律： 内压 ①周向应力 及轴向应力 均为拉应力（正值）， 径向应力 为压应力（负值）。

②在数值上有如下规律： 内壁周向应力 有最大值，其值为： 外壁处减至最小，其值为： 内外壁 之差为 ； 径向应力内壁处为 ，随着 增加， 径向应力绝对值 逐渐减小，在外壁处 =0； 轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力 和的一半，即

③除 外，其它应力沿壁厚的 与径比K值有关。 以 为例，外壁与内壁处的 周向应力 之比为: K值愈大不均匀程度愈严重， 当内壁材料开始出现屈服时， 外壁材料则没有达到屈服， 因此筒体材料强度不能得到充分的利用。 不均匀程度

当k 值趋于1时，为薄壁容器。应力沿厚度接近均布，k=1.1时，内外壁应力只相差10％，而当k＝1.3时，内外壁应力差达到35％。

二、温度变化引起的弹性热应力 1、热应力概念 2、厚壁圆筒的热应力 3、内压与温差同时作用引起的弹性应力 4、热应力的特点 5、不计热应力的条件 6、减小热应力的措施

1、热应力概念 因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体内所引起的应力，称为热应力。 （a）自由膨胀 图2-18热应变

单向约束： （2-35） α材料的线膨胀系数 （b）单向约束 图2-18热应变

（2-36） 双向约束： （c）双向约束 图2-18热应变

同理，可求得三向约束时的热应力： （2-37） 三向约束： 在一维、二维、三维约束时，根据式（2-35）—式（2-37），图2-19给出了碳素钢在不同初始温度下，温度增加10C 时的热应力值： 刚性约束下，热应力比值（μ=0.3）： 三维：二维： 一维= 2.50 ： 1.43 ： 1.00

图2-19 碳素钢的热应力值 三维：二维： 一维= 2.50 ： 1.43 ： 1.00

2、厚壁圆筒的热应力 分析方法： 由平衡方程、几何方程和物理方程，结合边界条件求解。 当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时，稳态传热状态下，三向热应力的表达式为：

（2-38） （详细推导见文献[11]附录）

筒体内外壁的温差， 厚壁圆筒各处的热应力见表2-2， 表中 厚壁圆筒中热应力分布如图2-20所示。

表2-2 厚壁圆筒中的热应力

图2-20 厚壁圆筒中的热应力分布 （a）内加热 (b)外加热

结论: 厚壁圆筒中热应力及其分布的规律为： ① 热应力大小与内外壁温差成正比 Δt决于壁厚，径比K值愈大Δt值也愈大，表2-2中的值 Pt也愈大。 ② 热应力沿壁厚方向是变化的

③ 内、外壁 ④ 轴向应力为周向应力与径向应力之和 （区别： ）

⑤ 内、外加热的热应力公式相同，只是符号相反 内加热： 内壁为压应力 外加热： 外壁为压应力

3、内压与温差同时作用引起的弹性应力 （2-39） 具体计算公式见表2-3，分布情况见图2-21。

表2-3 厚壁圆筒在内压与温差作用下的总应力

图2-21 厚壁筒内的综合应力 （a）内加热情况；(b)外加热情况

结论: 由图可见 内加热——内壁应力叠加后得到改善， 外壁应力有所恶化。 外加热——则相反，内壁应力恶化， 外壁应力得到很大改善。

开 车：仅 作用 (未升温) 注意工况: 正常操作： 同时作用 突然泄压：仅 作用 (未降温)

b. 热应力与零外载相平衡，是自平衡应力，在温度高处发生收缩，温度低处发生拉伸变形。 4、热应力的特点 a. 热应力随约束程度的增大而增大 b. 热应力与零外载相平衡，是自平衡应力，在温度高处发生收缩，温度低处发生拉伸变形。 c. 热应力具有自限性，屈服流动或高温蠕变可使热应力降低 d. 热应力在构件内是变化的

5、不计热应力的条件: a. 有良好保温层 b. 已蠕变的高温容器 6、减少热应力的措施: 除严格控制设备的加热、冷却速度外 a. 避免外部对热变形的约束 b. 设置膨胀节(或柔性元件) c. 采用良好保温层

2.3.2 弹塑性应力 一、弹塑性应力 对于受内压的厚壁容器，随着内压的增大，内壁材料开始屈服，内壁面呈塑性状态。内压继续增大，则屈服层向外扩展，从而在近壁处形成塑性区，塑性区外仍为弹性区，两区交界面是与圆壁圆筒同心的圆柱面。

图2-22 处于弹塑性状态的厚壁圆筒

描述弹塑性厚壁圆筒的几何与载荷参数： 本小节的目的：求弹性区和塑性区里的应力 假设材料是理想的弹塑性，其应力－应变关系如图2-23所示 ——材料的屈服点

1. 塑性区应力 平衡方程： Mises屈服 失效判据： （2-26） （2-40） 带入(2-40) （2-42） （2-43） 由于 得： （2-44） （2-45） 弹塑性两区交界面上的压力

2. 弹性区应力(弹性区相当于承受pc内压的弹性厚壁圆筒) 弹性区内壁处于屈服状态: （2-46） 表2-1拉美公式 导出弹性区与塑性区交界面的Rc与pi的关系 与2-45联立 （2-47） （2-34） 若按特雷斯卡（H. Tresca）屈服失效判据，也可导出类似的上述各表达式。各种应力表达式列于表2-4中

二、残余应力 当厚壁圆筒进入弹塑性状态后，卸除内压力pi 残余应力 卸载定理: 卸载时应力改变量 和应变的改变量 之间存在着弹性关系

将表2-4中基于Mises屈服失效判据的塑性区中的应力减去内压引起的弹性应力，得塑性区（Ri≤r≤Rc）中残余应力为 (2-49)

将表2-4中基于Mises屈服失效判据的弹性区中的应力减去内压引起的弹性应力，得弹性区（Rc ≤r≤Ro）中残余应力为 （2-50）

从图2-25中可以看出，在内压作用下，弹塑性区的应力和卸除内压后所产生的残余应力在分布上有明显的不同。 不难发现，残余应力与以下因素有关： a.应力应变关系简化模型 b.屈服失效判据 c.弹塑性交界面的半径

2.3.3屈服压力和爆破压力 （1）爆破过程 弹性阶段 弹塑性阶段 应变硬化阶段 爆破阶段 OA：弹性变形阶段 AC：弹塑性变形阶段（壁厚减薄（承压能力下降）+材料强化（承压能力提高）），但材料强化作用大于厚度减小作用。 C: 塑性垮塌压力——容器所能承受的最大压力 D: 爆破压力

（2）屈服压力 a.初始屈服压力 令pi=ps，得基于mises屈服失效判据的圆筒初始屈服压力ps。 b.全屈服压力 当筒壁达到整体屈服状态时所承受的压力，称为圆筒全屈服压力或极限压力（Limit pressure），用ps0表示。 基于mises屈服失效判据令，Rc=Ro，得 不要把全屈服压力和塑性垮塌压力等同起来。前者假设材料为理想弹塑性，后者利用材料的实际应力应变关系。

（3）爆破压力 厚壁圆筒爆破压力的计算公式较多，但真正在工程设计中应用的并不多，最有代表性的是福贝尔（Faupel）公式。 爆破压力的上限值： 爆破压力的下限值： 且爆破压力随材料的屈强比 呈线性变化规律。 于是，福贝尔将爆破压力pb归纳为(Faupel经验爆破压力计算式)：

2.3.4 提高屈服承载能力的措施 适当增加壁厚：径比大到一定程度后效果不明显 对圆筒施加外压：如采用多层圆筒结构 自增强：通过超工作压力处理，由筒壁自身外层材料的弹性收缩引起残余应力。工程上常用。

厚壁圆筒的自增强 自增强处理是指筒体在使用之前进行加压处理，其压力超过内壁发生屈服的压力（初始屈服压力），使筒体内壁附近沿一定厚度产生塑性变形，形成内层塑性区，而筒体外壁附近仍处于弹性状态，形成外层弹性区。 当压力卸除后，筒体内层塑性区将有残余变形存在，而外层弹性区受到内层塑性区残余变形的阻挡而不能完全恢复，结果使内层塑性区受到外层弹性区的压缩而产生残余压应力，而外层弹性区由于收缩受到阻挡而产生残余拉应力。