函数及其图象 大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究这些运动变化并寻找规律呢? 数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.

华东师大版八年级（下册） 第17章 函数及其图象 17.1 变量与函数(第1课时)

先看什么叫变量? (1) 你坐过摩天轮吗？你坐在摩天轮上时,随着时间t的变化,你离开地面的高度h是如何变化的？

h（米） 3 t（分） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

h（米） 11 3 t（分） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

h（米） 37 11 3 t（分） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

h（米） 45 37 11 3 t（分） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

h（米） 45 37 11 3 t（分） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

h（米） 45 37 11 3 t（分） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

h（米） 45 37 11 3 t（分） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

下图反映了旋转时间t（分）与摩天轮上一点的高度h（米）之间的关系。 根据上图填表 t/分 1 2 3 4 5 ······ h/米 3 11 37 45 37 11

汽车行驶的路程会随着行驶时间的变化而变化 (3) 一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行使的路程S(千米)与行驶的时间t(时)之间有怎样的关系? t（时间） 1 2 3 4 5 6 … s（路程） … 60 120 180 240 300 360 S = 60t

刻画摩天轮转动过程的量是时间t和高度h,高度h随着时间t的变化而变化,它们都会取不同的数值． 刻画汽车运动变化的量是路程S和时间t,路程S随着时间t的变化而变化,它们都会取不同的数值． 以上各个问题中都出现了可以取不同数值的量. 像这样在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量.

问题1 下图是某地一天的气温变化图,看图回答： 什么叫函数呢? 问题1 下图是某地一天的气温变化图,看图回答： ①这天的2时30分、9时和14时的气温分别为少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温． ②这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ ③这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？ 这张图告诉我们哪些信息? 时间t(时) 8 10 2 4 6 12 14 16 18 20 22 24 温度T(C) -2 -4 这张图是怎样来展示这天各时刻的温度和刻画这天的气温变化规律的? 在以上变化过程中存在着两个变量t和T,对于时间t每取一个值,温度T都有唯一的值与之对应. 我们就说t是自变量,T是因变量.也称T是t的函数.

问题2 银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,下表是2013年8月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率： 存期x 三月 六月 一年 二年 三年 五年 利率y() 1.80 2.25 2.52 3.06 3.69 4.14 观察上表,说说随着存期x的增长,相应的年利率y是如何变化的． 在以上变化过程中存在着两个变量x和y,对于x每取一个值, y都有唯一的值与之对应. 我们就说x是自变量, y是因变量.也称y是x的函数.

问题3 收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的． 下面是一些对应的数： 波长(m) 300 500 600 1000 1500 频率f(kHz) 200 细心的同学可能会发现： 与 f 的乘积是一个定值，即  f＝300 000， 或者说 f ＝ 300000  在以上变化过程中存在着两个变量和f,对于每取一个值,f都有唯一的值与之对应. 我们就说是自变量,f是因变量. 也称f是的函数.

问题4 圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系： 利用这个关系式,试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积,并将结果填入下表:(≈3.14)  r² 半径l(cm) 1 1.5 2 2.6 3.2 … 圆面积 S(cm²) … 3.14 7.07 12.57 21.24 32.17 在以上变化过程中存在着两个变量r和S,对于r每取一个值, S都有唯一的值与之对应. 我们就说r是自变量, S是因变量.也称S是r的函数.

概 括 因变量与自变量的对应关系又叫函数关系. 在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量. 上面各个问题中,都出现了两个变量,它们互相依赖,密切相关. 一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量,例如x和y, 对于x的每一个值, y都有唯一的值与之对应,我们就说x是自变量, y是因变量, 此时也称y是x的函数. 的函数的本质就是唯一确定的对应关系. 研究事物的运动变化,实际是从研究因变量与自变量的对应关系入手的. 因变量与自变量的对应关系又叫函数关系.

表示函数关系的方法通常有三种： (3) 图象法,如问题1中的气温曲线. 300000  (1) 解析法，如问题3中的f ＝ ,问题4中的S＝πr²,这些表达式称为函数的关系式． (2) 列表法,如问题2中的利率表,问题3中的波长与频率关系表． (3) 图象法,如问题1中的气温曲线. 在问题的研究过程中,还有一种量,它的取值始终保持不变,我们称之为常量.如问题3中的300 000,问题4中的π等 .

小结：函数的三种表示法及其优缺点 1.解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。解析法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的函数关系，不一定能用关系式表达出来。

2.列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。如平方根表等。列表法一目了然，表格中已有的自变量的每一个值，不需要计算就可以直接查出与它对应的函数值，使用起来很方便，但列表法有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律。

3.图象法 用图象表示函数关系的方法叫做图象法。图象法形象直观，通过函数的图象，可以直接、形象地把函数关系表示出来，能够直观地研究函数的一些性质，例如函数有没有最大值（或最小值），最大（小）值是多少？函数值是随自变量增大而增大，还是随自变量的增大而减小等等，函数图象是研究函数性质的有力工具。但是，由函数图象观察只能得到近似的数量关系。 在解决问题时，我们常常综合地运用这三种表示法，来深入地研究函数的性质。

练 习 1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子. 2.下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高. 年龄组(岁) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 男生平均身高 (cm) 115.4 118.3 122.2 126.5 129.6 135.5 140.4 146.1 154.8 162.9 168.2 (1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗? (2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加? (3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量? 2.解: (1) 14岁的男学生的平均身高是146.1cm．　　　　　　 (2)约从11岁开始身高迅速增加. (3) 反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系,其中年龄是自变量,平均身高是因变量.

3.解: (1)C=2r, 2、 是常量，r和C是变量. (2) s=90t, 90是常量，t和s是变量. S=(n－2) ×180, 3.写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量: (1)圆的周长C与半径r的关系式; (2)火车以90千米/时的速度行驶,它驶过的路程s(千米)和所用时间t(时)的关系式; (3)n边形的内角和S与边数n的关系式. 3.解: (1)C=2r, 2、 是常量，r和C是变量. (2) s=90t, 90是常量，t和s是变量. S=(n－2) ×180, 2和180是常量， n和S是变量.

思考: (1)购买单价为每本10元的书籍,付款总金额 y(元),购买本数x(本).问: 变量是______ ,常量是______,_______是自变量, ______是因变量,______是_____的函数．函数关系式为_____________． (2)半径为R的球, 体积为V,则V与R的函数关系式为 ,自变量是_____, ____是_____的函数,常量是______.  R³ V＝ 3 4