高等数学 第三十四讲 函数的微分 主讲教师：陈殿友 总课时： 128
第二章 §5函数的微分 一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分运算法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其 边长由 变到 问此薄片面积改变了多少? 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其 边长由 变到 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 当边长 取 得增量 时, 面积的增量为 关于△x 的线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义: 若函数 在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 在点 可微, 而 称为 的微分, 记作 即 定理: 函数 在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 在点 可微, 而 称为 的微分, 记作 即 定理: 函数 在点 可微的充要条件是 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理 : 函数 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 故 在点 的可导, 且 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 故 在点 的可导, 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理 : 函数 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 “充分性” 已知 在点 的可导, 则 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明: 当 时 , 所以 时 与 是等价无穷小, 故当 很小时, 有近似公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、微分的几何意义 切线纵坐标的增量 当 很小时, 记 自变量的微分, 记作 则有 导数也叫作微商 从而 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如, 基本初等函数的微分公式 导数公式 微分公式 (xμ)′= μx μ-1 d(xμ)= μx μ-1dx (sinx)′=cosx d(sinx)=cosxdx (cosx)′=-sinx d(cosx)=-sinxdx (tanx)′=sec2x d(tanx)=sec2xdx (cotx)′=-csc2x d(cotx)=-csc2xdx d(secx)=secx tanxdx (secx)′=secx tanx 机动 目录 上页 下页 返回 结束
导数公式 微分公式 (cscx)′=-cscxcotx d(cscx)=-cscxcotxdx (ax)′= axlna d(ax)= axlnadx (ex)′= ex d(ex)= exdx
三、 微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 5. 复合函数的微分 分别可微 , 则复合函数 的微分为 微分形式不变 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立: 例2. 设 求 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有 例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立: 运行时,点击“注意----” 或 “注意”按钮,可显示反问题的例, 运行完后自动返回 说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性. 注意 目录 上页 下页 返回 结束
数学中的反问题往往出现多值性 , 例如 注意 目录 上页 下页 返回 结束
作业 P38 1 ; 练习2.1 习题课 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 1. 已知 求 解：因为 所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 已知 求 解： 方程两边求微分, 得 习题课 目录 上页 下页 返回 结束