压 杆 稳 定 Stability of columns

B A

临界载荷 一。稳定性概念 对细长杆件， 若轴向压力超过一定限度， 压杆可能突然产生显著弯变形， 即产生失稳。 压杆需具备足够的： 维持其原有平衡形式的能力——稳定性。 P P P值不超过某极限值时， 压杆处于稳定平衡， 即不会产生失稳。 P值超过某极限值时， 压杆处于不稳定平衡， 即有产生失稳的可能性。 使得压杆直线形式的平衡开始由稳定转变为不稳定的轴向压力值— 临界载荷 磨床液压装置的活塞杆 内燃机配气机构中的挺杆

二。计算临界载荷的欧拉公式 y P v x l 解决压杆稳定问题的关键是确定其临界压力。 1 两端铰支压杆的临界压力 1 两端铰支压杆的临界压力 x l v P y 轴向压力达临界载荷时，压杆在微弯状态下保持平衡 挠曲线的近似微分方程： 代入挠曲线的近似微分方程，得： （应力不超过σP） 压杆距支座x处截面上的弯矩是

令： 则有: 以上微分方程的通解是 式中A、B常数，可由边界条件来确定。根据简支梁的边界条件: x=0和x=l时， v=0 则由此求得 故得：

①一端固定一端自由的细长压杆，它相当于两端铰支长为2l的压杆的挠曲线的一半； 取n=1，得到具有实际意义的、最小的临界压力为 欧拉公式 2 其他约束条件下的压杆的临界压力 ①一端固定一端自由的细长压杆，它相当于两端铰支长为2l的压杆的挠曲线的一半； P l 因此，其临界压力公式为

②二端固定的细长压杆，其中间部分(0.5l) 相当于两端铰支长为0.5l的压杆； 因此，其临界压力公式为 P 0.5l ③一端固定一端铰支的细长压杆，其中的一部分(0.7l) 相当于两端铰支长为0.7l的压杆； P 0.7l 临界压力公式是：

细长压杆临界压力的公式写成统一式为： 欧拉公式的普遍形式 μ称为长度系数，(μl)称为相当长度 3 临界应力、柔度、欧拉公式的适用范围 σcr称为临界应力

令： 柔度或长细比 则： 欧拉公式的临界压力的推导是由挠曲线的近似微分方程得出，则杆内的应力不能超过 材料的比例极限，即为 只有当压杆的柔度λ大于或等于极限值时，欧拉公式才可使用。 以λ1代表这一极值，即

λ1与材料的性能有关，材料不同， λ1的数值也就不同。满足λ≥λ1条件的杆件称为 细长杆或大柔度杆。 欧拉公式的适用范围： λ1与材料的性能有关，材料不同， λ1的数值也就不同。满足λ≥λ1条件的杆件称为 细长杆或大柔度杆。 钢质细长杆，两端球铰支，长l=1.5m，横截面是矩形截面，h=50 mm，b=30 mm， 材料是A3钢，弹性模量E=200GPa；求临界力和临界应力。 解：(a) 判断发生弯曲的方向。由于杆截面是矩形， 杆在不同方向弯曲的难易程度不同，如图： b h z y F l x 因为 所以在各个方向上发生弯曲时约束条件相同的情况下，压杆最易在xz平面内发生弯曲

(b) 判断欧拉公式的适用范围。因为是细长杆 h z y F l x (b) 判断欧拉公式的适用范围。因为是细长杆 所以可用欧拉公式 (c) 计算临界压力。由欧拉公式 (d) 计算临界应力。

三。中、小柔度杆的临界应力 σcr=σs σcr=a-bλ σcr=π2E/λ2 σ σs σp x O λ2 λ1 临界应力总图 ① 大柔度杆 欧拉公式 σcr=a-bλ σs ② 中柔度杆 经验公式 σp σcr=π2E/λ2 其中，a，b是由杆件材料决定的常数 ③ 小柔度杆 λ2 λ1 此时压杆属强度问题，临界应力就是 屈服极限或强度极限. 可见：短杆的临界应力与柔度λ无关，而中、长杆的临界应力则随柔度λ的增加而减小。

四。压杆的稳定计算与合理设计 1 稳定性条件: 压杆的实际工作压力不能超过许用压力 稳定条件为: nst为压杆的稳定安全系数 1 稳定性条件: 压杆的实际工作压力不能超过许用压力 稳定条件为: nst为压杆的稳定安全系数 定义工件安全系数为 稳定条件又可表示为 2 压杆的合理设计 压杆的稳定设计计算包括： 稳定性校核、压杆截面的设计和压杆的许可载荷设计。

某厂自制简易起重机如图所示。压杆BD为20号槽钢，材料为Q235钢， 1=100，2=62。起重机的最大起重量P=40kN。若规定nst=5，试校 核BD杆的稳定性。 （ 1）受力分析   以梁AC为研究对象，由静力平衡方程可求得                                                              （3）计算临界压力                 （2）BD压杆的柔度 查型钢表，20号槽钢： （4）稳定性校核 满足稳定要求。

木柱长l=7 m，横截面是矩形，h=200 mm，b=120 mm；当它在xz平面(最小刚度平面)内弯曲时，两端视为固定；当它在xy平面(最大刚度平面)内弯曲时，两端视为铰支；木材的弹性模量E=10Gpa，λ1=59；求临界力和临界应力。 b h y z y x z 解：(a) 求在xz平面内弯曲时的柔度。

(d) 依据柔度，选取计算临界载荷的公式。 (b) 求在xy平面内弯曲时的柔度。 y x z (c) 判断杆件易在哪个平面内弯曲。 所以易在xy平面内弯曲。 (d) 依据柔度，选取计算临界载荷的公式。 为大柔度杆 可用欧拉公式求临界力和临界应力。

两端铰支的压杆，长l=1.5 m，横截面直径d=50 mm，材料是Q235钢，弹性模量E=200GPa，σp=190 MPa；求压杆的临界力；如果：(1):l1=0.75l；(2) l2=0.5l，材料选用优质碳钢；压杆的临界力变为多大? 解：(a) 计算压杆的柔度。 (b) 判别压杆的类型。 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力。

(c) 计算临界应力。 (d) 当l1=0.75l时，计算压杆的柔度，判别压杆的类型。 压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力

(e) 当l2=0.5l时，计算压杆的柔度,判别压杆的类型。 压杆是小柔度杆，临界应力就是屈服应力

解：(a) 受力分析。以梁AC为研究对象，由静力 平衡方程可求得 图示钢结构，承受载荷F作用，试校核斜撑杆的稳定性。已知载荷F＝12kN，其外径D＝45mm，内径d=36 mm，稳定安全系数nst=2.5。斜撑杆材料是Q235钢，弹性模量E=210 GPa， σp=200 MPa， σs=235 MPa， G F C A B 1m 450 解：(a) 受力分析。以梁AC为研究对象，由静力 平衡方程可求得 450 F C A B FAX FAY FGB

(b) 计算压杆的柔度。 (c) 判别压杆的类型。由已知求得 查表得a＝304MPa，b＝1.12 MPa。求得 压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力。

(d) 计算临界应力。 (e) 稳定性校核。 满足稳定要求

3 提高压杆稳定性的措施 1).减小压杆的支承长度；因为临界应力与杆长平方成反比，因此可以显著地提高压杆承载能力。 3 提高压杆稳定性的措施 1).减小压杆的支承长度；因为临界应力与杆长平方成反比，因此可以显著地提高压杆承载能力。 2). 改变压杆两端的约束；使长度系数减小，相应地减小柔度，从而增大临界应力。 3). 选择合理的截面形状；可以在不增加截面面积的情况下，增加横截面的惯性矩I， 从而减小压杆柔度，起到提高压杆稳定性的作用。 4).压杆在各纵向平面内相当长度相同时,要使得在两个主惯性平面内的柔度接近相等。从而有接近相等的稳定性。 5). 合理选择材料；选用弹性模量较大材料可以提高压杆的稳定性。但须注意，由于一般钢材的弹性模量E一般大致相同，故选用高强度钢不能起 到提高细长压杆稳定性的作用。 对于小柔度杆或中柔度杆压杆，其临界压力与材料的比例极限和屈服强度有关，这时选用高强度材料会使临界压力提高。

两 端 铰 支

固定—铰支

两 端 固 定

固定—自由