此文件可在网址 http://math.shekou.com 下载 数学物理方程 与特殊函数 第4讲 此文件可在网址 http://math.shekou.com 下载

例1 求下列定解问题: 的形式解, 其中A,B均为常数.

解 这个定解问题的特点是: 方程及边界条件都是非齐次的. 根据上述原则, 首先应将边界条件化成齐次的, 由于方程(2 解 这个定解问题的特点是: 方程及边界条件都是非齐次的. 根据上述原则, 首先应将边界条件化成齐次的, 由于方程(2.63)的自由项及边界条件都与t无关, 所以我们有可能通过一次代换将方程与边界条件都变成齐次的, 具体做法如下: 令 u(x,t)=V(x,t)+W(x), 代入方程(2.63)得

为了使这个方程及边界条件同时化成齐次的, 选W(x)满足 (2.66)是一个二阶常系数线性非齐次方程的边值问题, 它的解可以通过两次积分得

再由(2.65)可知函数V(x,t)为下列定解问题: 的解. 采用分离变量法, 可得(2.67)满足齐次边界条件(2.68)的解为

利用(2.69)中第二个条件可得Dn=0. 于是定解问题(2.67),(2.68),(2.69)的解表示为 代入(2.69)中第一个条件得 即

由傅里叶级数的系数公式得

因此, 原定解问题的解为 其中Cn由(2.71)确定.

§2.6 关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论

从前三节可以看出, 不论对三种类型偏微分方程中的哪一类, 也不论在何种坐标系中, 采用分离变量法求解定解问题时, 总不可避免地要遇到一个常微分方程在某种齐次边界条件下的特征值问题(以后将要看到, 有些特征值问题中还包括有自然边界条件, 所谓自然边界条件是指形如|y(x0)|<+的条件.), 例如, §2.1中特征值问题(2.5),(2.6); §2.2中特征值问题(2.16)'', (2.17); §2.3中的特征值问题(2.30)等. 用分离变量法所得到的定解问题的解, 其实就是将所求的解按照特征函数进行傅里叶展开.

于是会产生这样一个问题, 这种将解按特征函数系进行展开的依据是什么呢 于是会产生这样一个问题, 这种将解按特征函数系进行展开的依据是什么呢?当特征函数系就是普通的三角函数系时, 这种展开的合理性已为我们所熟知, 当特征函数系不是普通的三角函数系时(如§2.2中的特征函数系{sin bnx})情况会怎样? 本节我们就来讨论这个问题. 我们将要说明, 在一定条件下, 求解一个二阶常微分方程的特征值问题所得的特征函数系是一个正交完全(备)系, 所以按照这个函数系进行傅里叶展开是可能的.

为了能使所得的结论更具有一般性, 考虑如下方程: (2.90) 不难看出, 方程(2.5)(包括(2.16)''及(2.30)中的方程)正是它的特例. 例如, 若取k(x)=1, q(x)=0, r(x)=1, 则(2.90)即为(2.5)(只是未知函数的符号有所不同. 方程(2.90)通常称为施图姆-刘维尔(Sturm-liouville)型方程(任一个二阶线性常微分方程乘以适当函数后总可以化为这种形式).

对方程(2. 90)中的函数k(x), q(x), r(x)作一些假定 对方程(2.90)中的函数k(x), q(x), r(x)作一些假定. 设k(x)及其一阶导数在[a,b]上连续, 当a<x<b时, k(x)>0; q(x)或者在[a,b]上连续, 或者在(a,b)上连续而在区间的端点处有一阶极点, 且q(x)0; r(x)在[a,b]上连续且r(x)>0. 在这些条件下, 方程(2.90)的特征值问题就是在一些齐次边界条件或自然边界条件下, 求它的非零解. 边界条件的提法与k(x)在区间端点x=a及x=b处是否为零以及哪个端点是k(x)的零点有关, 例如, 若k(a)k(b)0, 则在x=a及x=b处不需要加自然边界条件,

这时在这两个端点所加的边界条件或者就是§1. 2中所述的三种类型的齐次边界条件中的一种, 或者如同(2 这时在这两个端点所加的边界条件或者就是§1.2中所述的三种类型的齐次边界条件中的一种, 或者如同(2.30)中的周期性条件; 若k(a)=0, k(b)0(其它情况类似), 则在x=a处要加自然边界条件, 在x=b处不加自然边界条件, 此时边界条件的形式为 [sy(x)+hy'(x)]|x=b=0 (2.91) |y(a)|<+, (2.92) 这里的常数s,h中可能有一个为零, 即条件(2.91)包括了三种类型的边界条件.

对于特征值问题(2. 90),(2. 91),(2. 92), 有以下几点结论: 1 对于特征值问题(2.90),(2.91),(2.92), 有以下几点结论: 1. 存在无穷多个实的特征值, 适当调换这些特征值的顺序, 可使它们构成一个非递减序列: l1l2lnln+1, 对应于这些特征值有无穷多个特征函数 y1(x),y2(x),,yn(x),. 2.所有特征值均不为负, 即 ln0, n=1,2,.

3. 设lmln是任意两个不同的特征值, 对应于这两个特征值的特征函数记作ym(x),yn(x), 则 即对应于不同的特征值的特征函数在[a,b]上带权函数r(x)互相正交. 4. 特征函数系{yn(x)}(n=1,2,)在区间[a,b]上构成一个完全(备)系, 即任意一个在[a,b]上具有一阶连续导数及分段连续的二阶导数的函数f(x), 只要它也满足特征函数中每个函数yn(x)(n=1,2,)所满足的边界条件(例如, 满足(2.91)与(2.92)),

则一定可以将f(x)按特征函数系展成绝对且一致收敛的级数 其中 (证明从略.)

第三章 行波法与积分变换法 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式

对于一维波动方程 作如下代换:

同理有

将(3.3)及(3.4)代入(3.1)得 将(3.5)式对h积分得 f(x)是x的任意可微函数 再将此式对x积分得 其中f1,f2为任意二次连续可微函数. 这是通解

讨论无限长弦的自由横振动. 设弦的初始状态为已知, 即已知定解条件 将(3.6)中的函数代入(3.7)中, 得 对(3.9)两端对x积分一次, 得

由(3.8)与(3.10)解出f1(x),f2(x)得 把这里确定出来的f1(x)与f2(x)代回到(3.6)中, 即得方程(3.1)在条件(3.7)下的解为 此式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔公式.

现在讨论解的意义, 在公式. u(x,t)=f1(x+at)+f2(x-at). (3 现在讨论解的意义, 在公式 u(x,t)=f1(x+at)+f2(x-at) (3.6) 中, 先考虑函数u2=f2(x-at), 在t=0时, u2(x,0)=f2(x), 对应于初始时刻的振动状态, 而经过时刻t0后, u2(x,t0)=f2(x-at0), 在(x,u)平面上, 它相当于原来的图形u2=f2(x)向右平移了一段距离, 如图所示: u u2=f2(x-at0) (t=t0) u2=f2(x) (t=0) x1 x1+at0 x2 x2+at0 x

所以, u2=f2(x-at)表示一个速度a沿x正轴方向传播的行波, 称为右行波 所以, u2=f2(x-at)表示一个速度a沿x正轴方向传播的行波, 称为右行波. 同样道理, u1=f1(x+at)就表示一个速度a沿x轴负方向传播的行波, 称为左行波. 达朗贝尔公式表明, 弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去, 其传播速度正好是弦振动方程中的常数a. 基于上述原因, 所以本节所用的方法就称为行波法

从达朗贝尔公式(3.11)还可以看出, 解在(x,t)点的数值仅依赖于x轴上区间[x-at,x+at]内的初始条件, 而与其他点上的初始条件无关. 区间[x-at, x+at]称为点(x,t)的依赖区间. 它是由过(x,t)点的两条斜率分别为1/a的直线在x轴所截得的区间. t (x,t) 依赖区间 x-at x+at x O

对初始轴t=0上的一个区间[x1,x2], 过x1点作斜率为1/a的直线x=x1+at, 过x2点作斜率为-1/a的直线x=x2-at, 它们和区间[x1,x2]一起构成一个三角形区域, 解在其中的数值完全由[x1,x2]上的初始条件决定, 称为[x1,x2]的决定区域. t x=x1+at x=x2-at 决定区域 x1 x2 x O

若过点x1,x2分别作直线x=x1-at, x=x2+at, 则经过时间t后受到区间[x1,x2]上的初始扰动影响的区域为 若过点x1,x2分别作直线x=x1-at, x=x2+at, 则经过时间t后受到区间[x1,x2]上的初始扰动影响的区域为 x1-atxx2+at (t>0). 在此区域之外的波动则不受[x1,x2]上初始扰动的影响, 称此区域为[x1,x2]的影响区域. t 影响区域 x=x1-at x=x2+at x1 x2 x O

从上面的讨论中可以看到在x-t平面上斜率为1/a的两族直线xat=常数, 对一维波动方程(3 从上面的讨论中可以看到在x-t平面上斜率为1/a的两族直线xat=常数, 对一维波动方程(3.1)的研究起着重要的作用, 称这两族直线为一维波动方程的特征线. 因为在特征线x-at=C2上, 右行波u2=f2(x-at)的振幅取常数值f2(C2), 在x+at=C1上左行波f1(x+at)=f(C1), t x2+at=C1 x-at=C2 x O

且这两个数值随特征线的移动(即常数Ci(i=1,2)的改变)而改变, 所以, 波动实际上是沿特征线传播的. 变换(3 且这两个数值随特征线的移动(即常数Ci(i=1,2)的改变)而改变, 所以, 波动实际上是沿特征线传播的. 变换(3.2)常称为特征变换, 行波法又称为特征线法. 注 容易看出, 一维波动方程(3.1)的两族特征线xat=常数, 正好是常微分方程 (dx)2-a2(dt)2=0 的积分曲线, 这个常微分方程称为(3.1)的特征方程. 对于更一般的二阶线性偏微分方程

它的特征方程为. A(dy)2-2Bdxdy+C(dx)2=0. (3. 13) 这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程(3

它的特征方程为. A(dy)2-2Bdxdy+C(dx)2=0. (3. 13) 并不是任意一个二阶线性偏微分方程(3 它的特征方程为 A(dy)2-2Bdxdy+C(dx)2=0 (3.13) 并不是任意一个二阶线性偏微分方程(3.12)都有两族实的特征线. 例如, 若在某一区域内B2-AC<0, 则过此域内每一点都不存在实的特征线; 若在某域内, B2-AC=0, 则过此域内每一点仅有一条实的特征线; 只有在B2-AC>0的域内, 过其中每一点才有两条相异实的特征线.

它的特征方程为. A(dy)2-2Bdxdy+C(dx)2=0. (3. 13) 若在某域内B2-AC<0, 则在此域内称(3 它的特征方程为 A(dy)2-2Bdxdy+C(dx)2=0 (3.13) 若在某域内B2-AC<0, 则在此域内称(3.12)为椭圆型方程, 拉普拉斯方程及泊松方程均属于椭圆型; 若在某域内B2-AC=0, 则在此域内称(3.12)为抛物型方程, 热传导方程属于抛物型; 若在某域内B2-AC>0, 则在此域内称(3.12)为双曲线方程, 波动方程属于双曲线型.

例 求下列柯西问题: 的解. 解 先确定所给方程的特征线. 为此, 写出它的特征方程 (dy)2-2dxdy-3(dx)2=0

(dy)2-2dxdy-3(dx)2=0 它的两族积分曲线为 3x-y=C1 x+y=C2 作特征变换 容易验证, 经过变换原方程化成 它的通解为u=f1(x)+f2(h),

其中f1,f2是两个任意二次连续可微的函数. 原方程(3. 14)的通解为. u(x,y)=f1(3x-y)+f2(x+y). (3 从(3.19)得 从(3.18)与(3.20)可得

即 代入(3.17)得到所求的解为

作业 习题三 第81页开始, 第1题