第五节 函数的微分 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运算 法则 四、微分在近似计算中的应用 返回
一、微分的定义 问题的提出 一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长 由 变到 （如图），问此薄片的面积 改变了多少？
一般地,如果函数y=f(x)满足一定条件,则函数的增量 可表示为 其中A是不依赖于 的常数,因此 是 的线性函数,且它与 之差 是比 高阶的无穷小,所以,当 ,且 很小时,我们就可 以近似地用 来代替
定义: 设函数y=f(x)在某区间内有定义， 及 在这区间内，如果函数的增量 可表示为 其中A是不依赖于 的常数，而 是比 高阶的无穷小，那么称y=f(x)在点 是可微的， 而 叫做函数y=f(x)在点 相应于自变量增 量 的微分，记作dy，即
由定义知:
定理：y=f(x)在 可微的充分必要条件是f(x)在 处 证明: (1) 必要性
(2) 充分性
例1: 解 例2: 解
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二、微分的几何意义 T 几何意义:(如图) N P M ） 返回
三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 函数的微分的表达式 求法: 计算函数的导数,乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式
2. 函数和、差、积、商的微分法则
3. 复合函数的微分法则 与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则 可推导如下: 设 及 都可导, 则复合函数 的 微分为 上式说明无论是u自变量还是中间变量其微分形式不变, 这一 性质称为微分形式不变性. 例3: 解
例4: 解 例5: 解 应用积的微分法则,得
例6: 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使等式成立. 解 (1)我们知道 可见 即 (C为任意常数) 一般地,有
(2) 即 (C为任意常数) 返回
四、微分在近似计算中的应用 1. 函数的近似计算 这个式子也可以写为 (4) 或 (5) (6)
例7 : 有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,要镀上一层铜,厚度定为0.01cm.估计一下每只球需用铜多少(铜的密度是 )? 解 先求出镀层的体积,再乘上密度就得到每只球需用 铜的质量.
由(4)得 于是镀每只球需用的铜约为 例8: 解
下面我们来推导一些常用的近似公式 (7) 应用(7)式可以推得一下几个在工程上常用的 近似公式 :
证明: 其它几个近似公式可用类似方法证明,这里从略了
例9 : 解 这里x=0.05,其值较小,利用近似公式,便得: 如果直接开方,可得 将两个结果比较一下,可以看出,用1.025作为 的 近似值,其误差不超过0.001,这样的误差在一般应用上 已经够精确了.
2. 误差估计 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差. 定义： 问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得? 办法:将误差确定在某一个范围内.
例10: 设测得圆钢截面的直径D=60.03,测量D的绝对误差限 ,利用公式 计算圆钢的截面积时,试估计面积的误差 解 我们把测量D时所产生的误差当作自变量D的增量 那么,利用公式 来计算A时所产生的误差就是
函数A的对应增量 当 很小时,可以利用微分dA近似地代替增量 即 而 因此得出A的绝对误差限约为 A的相对误差限约为
一般地,根据直接测量的x值按公式y=f(x)计算y值时,如果已知 那么,当 即y的绝对误差限约为 y的相对误差限约为 以后常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与 相对误差 返回