数系的发展

开篇： 整数是全部数学的基础。 H．闵可夫斯基 如果不知道远溯古希腊各代所建立和发展的概念、方法和结果，我们就不可能理解近五十年来数学的目标，也不可能理解它的成就。 H．魏尔

开篇： 数学是研究空间形式和数量关系的科学。 数与形是数学中最基本最原始的概念。 从数的概念出发：算术、代数以及庞大的分析系统。 从形的概念出发：欧氏几何、非欧几何、流形理论 数和形相互影响、交互作用

开篇： 数系的三个部分： 无理数的诞生 无限的比较 复数

数系： 自然数 O 整数 负整数 有理数 分数 实数 无理数 数 复数

2.1无理数的诞生： 2.1.1自然数 上帝创造了自然数，其余的都是人的工作。 克罗内尔 　　克罗内尔 自然数为稳固的数学结构提供了基础，数学的一切研究从此开始。

2.1.1自然数 记数法与进位制 记数法与十进制的产生是自然数发展史上的一次飞跃。 十进制--中国人的发明 记数法与十进制的产生是自然数发展史上的一次飞跃。 毕达哥拉斯(公元前572-500,希腊哲学家和数学家,毕达哥拉斯教团创始人)与自然数: 数字不仅用来计数，而且还是神圣、完善、友好、幸运及邪恶的符号。

2.1.1自然数 例: 奇数—男性 偶数—女性 5=2+3象征结婚与结合 完全数：等于它的真因数之和的数。 如6=1+2+3=1*2*3 例: 奇数—男性 偶数—女性 5=2+3象征结婚与结合 完全数：等于它的真因数之和的数。 如6=1+2+3=1*2*3 28的因子为1，2，4，7和14 而28=1+2+4+7+14 称6和28为完全数。

2.1.1自然数 亲和数：两个数是亲和的，如果每一个数是另一个 数的之因数之和。如284、220 亲和数：两个数是亲和的，如果每一个数是另一个 数的之因数之和。如284、220 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 220=1+2+4+71+142 7和36的特殊意义 36=1 + 2 *2*2+ 3*3*3 =1+2+3+4+5+6+7+8 这种数在魔术 , 占星学,占卦上都起过重要作用。

2.1.1自然数 形数的研究：三角形数、正方形数、五边形数等 这些数被看着是某些几何图形中点的数量。例如三角形数： 1 3 6 10 1 3 6 10 图2-1-a

2.1.1自然数 定理1 任何一个正方形数都是由两个相继的三角形数之和。 定理2 第n个五边形数等于第n-1个三角形数的三倍加上n。 定理1 任何一个正方形数都是由两个相继的三角形数之和。 定理2 第n个五边形数等于第n-1个三角形数的三倍加上n。 定理3 从1开始，任何个相继的奇数之和是完全平方。 证明略

2.1.1自然数 三根弦 3：4：6时可以发出和声的谐音。 立方体面数、顶点数、棱数之比6：8：12 三根弦 3：4：6时可以发出和声的谐音。 立方体面数、顶点数、棱数之比6：8：12 环绕在平面上一个点可以紧密地放6个正三角形，4个正方形或是3个正立边形。 3：4：6是宇宙的和谐。

2.1.1自然数 毕达哥拉斯学派研究目的 七艺:算术,几何,天文,音乐,文法,修辞和逻辑 数学成为哲学的基础(也是一切的基础) 毕达哥拉斯学派研究的正反两面影响： 1）毕达哥拉斯创立了数学，并把它变成一门高尚的艺术（欧德缪斯语） 2）数学占卜的开始

2.1.2代数结构的出现 自然数的运算：加法和乘法 C=a+b d=ab 算术基本规律 1)a+b=b+a 2)ab=ba 3)a+(b+c)=(a+b)+c 4)(ab)c=a(bc) 5)a(b+c)=ab+ac

2.1.3逆运算的作用： 逆运算在数的扩充中起着重要作用 -a 1/a 有理数,负数,零 2.1.4有理数的稠密性 定义：一个数集在数轴上是稠密的，是指在数轴上，每一个不管处于什么位置，也不论是多么小的区间（a,b）中都存在着这个数集中的点。 定理4 有理点在数轴上是稠密的。

2.1.5有理数域 全体有理数——整数和分数，仍然满足结合律，交换律和分配律，而且方程： 总有解。 换言之：在有理数的范围内，所有有理运算——加、减、乘、除——可以无限制地进行，而决不会超出这个范围，这样一个数的集合叫做一个域。

2.1.5有理数域 数域的性质 1)对于任意两个数,它们的和唯一确定. 2)对于任意两个数,它们的积唯一确定. 3)存在数0:对于任意数a,均有a+0=a. 4)对于每一个数a,存在一个数 x,满足a+x=0. 5)满足加法交换率. 6)满足加法结合率. 7)满足乘法交换率. 8)满足乘法结合率. 9)乘法对加法适合结合率. 10)对每一数a及b(不为0),存在唯一x,满足bx=a

2.1.5有理数域 数学造型:从0和1出发，通过有理运算可以造出全部有理数。 有理数域克服了自然数系的缺陷，相对来说是比较完美的：对四则运算是封闭的，而且具有稠密性。 数域是抽象代数的一个基本概念,有理数域只是数域的一种(最小的数域).

500BC OR 600BC 2.1.6第一次数学危机 一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的 「万物皆数」 毕达哥拉斯(Pyth)学派 希帕索斯(Hippasus)

何谓危机？ 危机是一种激化的、 非解决不可的矛盾！

毕达哥拉斯学派有个叫希帕索斯的学生在研究1和2的比例中项时发现，没有任何有理数与数轴上的这样一点相对应（如图所示）： 第一次数学危机的产生 毕达哥拉斯学派有个叫希帕索斯的学生在研究1和2的比例中项时发现，没有任何有理数与数轴上的这样一点相对应（如图所示）： 距离OP的长度，它等于边行为1的正方形的对角线长。后来又发现数轴上还有许多点也不对应于任何有理数，所以把它们称为无理数。 1 ? P 无理数诞生啦！！！

一、危机由来 数学中有大大小小的矛盾： 比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数…… 深刻的矛盾：有穷与无穷，连续与离散，具体对象与抽象对象，概念与计算……

一、危机由来 在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。

二、危机后的新天地 但是矛盾的消除和危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革 。 无理数的发现─第一次数学危机

三、危机产生的背景 1）有理数是完备的数集? 当时的人认为有理数是完备的数集。因为任何两个有理数之间，必定有另一个有理数存在，所以令人很容易以为有理数可以完全填满整条数轴，有理数就是等于一切数，是一个完备的数集。他们一直坚持着自己的观点，直到毕达哥拉斯发现了勾股定理。

三、危机产生的背景 2）勾股定理——怪胎方程 毕达哥拉斯发现了著名的勾股定理，但同时他发现了一件不可思议的事：腰长为１的等腰直角三角形的斜边长度，竟是一个无法写成有理数的数（不可通约性），亦即是说有理数并非一切数，存在有理数以外的数，有理数不可以完全填满整条数线。

三、危机产生的背景 3）致命一击 这个发现对于全部依靠整数的希腊数学，这是一次致命的打击。因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。

定理5 是无理数。 定理6 任何素数的平方根都是无理数。 定理7 如果在自然数A的素因数分解中，至少有一个素数出现奇数次，那么 是无理数。 定理8 如果在自然数A的素因数分解中，每一个素数都出现偶数次，那么 是有理数。

无理数的发现，对以整数为基础的毕氏哲学，是一次致命的打击，以至于有一段时间，他们费了很大的精力，将此事保密，不准外传，并且将希帕索斯本人也扔到大海中淹死了。 但是，人们很快发现了更多的无理数，随着时间的推移，无理数的存在已成为人所共知的事实。 　无理数的发现，是毕氏学派最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。

四、危机的解决 1）危机的传出——解决的开端 “逻辑上的矛盾”是如此之大，以致于他们费了很大的精力保密此事，不准外传。然而希帕索斯泄露了这个秘密。他因此被希腊宗教的人投入大海。我们应该感谢他，感谢他将这个秘密“泄露”出来，我们才得以知道，了解和解决它。才有了无理数，继而是虚数，以及以后的微积分……

四、危机的解决 2）危机的解决——无理数的引入 为了解决不可通约性 ，为了充满整个数轴，人们经过寻找，探索，实践…… 胜利的曙光： 在大约公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克索斯以及柏拉图和毕达哥拉斯的学生阿契塔给出两个比相等的定义，从而巧妙解决了，他们给出的定义与所涉及的定量是否可公度无关。

2.1.7第一次数学危机的意义 第一次数学危机表明： 数学已经由经验科学变为演绎科学 把证明引入数学 演绎的思考首先出现在几何学中，而不是代数学中，使几何具有更加重要的地位，这种状态一直保持到笛卡尔解析几何的诞生。 经过这次危机，希腊走上了完全不同的道路，形成了欧几里德的《几何原本》与亚里士多德的逻辑体系，而成为现代科学的始祖！

2.1.8反证法（归谬法） 例：有教科书、外文书、文艺书共10本 证明：在这三种书籍中，至少有一本书籍至少有四本。 ？

2.1.8反证法（归谬法） 反证法一般步骤： 1）假定命题的结论不成立 2）进行一系列的推理 3）在推理过程中出现了下列情况中的一种： 与已知条件矛盾 与公理矛盾 与已知定理矛盾 4）由于上述矛盾的出现，可以断言原来的假定“结论不成立”，是错误的。 5）肯定原来的命题的结论是正确的。

2.2无限的比较 无限大是什么，无限大有没有区别，一直是迷惑数学家的问题。 康托尔(1845-1918）考虑了这一问题，他从一一对应的概念出发，从1874年开始发表了一系列重要文章,应用这一概念来计数无穷集合,从而产生了关于超越数的重要理论。 但是无限大的问题伽利略更早就考虑过。

书里的著名对话说明远在康托尔的集合论创始之前，伽利略对无限已经有了很好的理解。 2.2.1一段富有启发性的历史对话 伽利略（Galileo Galilei ,1564-1642）两部专论： 《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》 （The Two Chief Systems,1632） 《关于两种新科学的对话》 （The Two New Sciences,1638） 书里的著名对话说明远在康托尔的集合论创始之前，伽利略对无限已经有了很好的理解。

2.2.1一段富有启发性的历史对话 精彩对话总结： 任何线段都包含了无限个点。 线段[0,2]包含线段[0，1]，因而线段[0,2]比线段[0，1]含更多的点。 自然数和它的平方数可以建立一一对应： 等于、小于、大于、等属性不能使用于无限的数量，因而不能以有限的智力来讨论无限 找不出[0，1]区间的点与全体整数的一一对应。 1 2 3 … n … … … 1 4 9 … n2 …

2.2.2对谈话的分析和解答 定义：设A与B为二集，具有下面的性质 ：集A的任一元素a，有集B的唯一元素b与之对应，并且集B的任一元素b，也有集A的唯一元素a与之对应；此时称 建立了A与B的一对一的对应。 定义：若集A与集B间能建立一对一的对应，则称A与B是“对等”的，或者称它们的势是相同的，此事记作：A ∽B

几个对等集的例子： A B A B A B

2.2.3有理数集是可数的 定义 凡与集N对等的集A都叫做可数集,或称集 A是可数的。 定理1 正有理数的集合是可数的。 定理1 正有理数的集合是可数的。 定理2 一个有限集和一个可数集如无公共元素，那么它们的和集是可数的。 定理3 两两不相交的有限个可数集的和集是可数的。 系1 全体整数的集合是可数的。 系2 全体有理数的集合是可数的。 定理4 两两不相交的可数个有限集的和集是可数的。 定理5 两两不相交的可数个可数集的和集是可数的。

2.2.4实数集是不可数的 定理6 实数集是不可数的。 证明：1）构造法 2）区间套法 定理7 存在着无理的实数。

2.2.5代数数 n次方程的一般形式： 代数基本定理 n次方程（1）在复数域中有n个根。 定义 一个实数或复数叫做代数数，如果它是某一个整系数方程的根。 定义 任何不是代数数的实数叫做超越数。 定理8 代数数的集合是可数的。 定理9 存在超越数。

2.2.6无限的算术 至今为止，我们只发现了很少的超越数，如E，派等，都是一些非常独特的数，每一超越数的发现都是一次轰动。但从理论上非超越数只有可数个，所以这众多的数是什么样的，我们还一无所知，整数的研究还有很多事情可做。

2.2.6无限的算术 与自然数一一对应的集合，也就是可数的集合，称为有“阿列夫”个数，自然数集合，整数集合，有理数集合，都是“阿列夫”个数的集合。而与全体实数一一对应的集合，称为有“c”个数。一个重要的猜想是可数的集合和实数集合之间没有其它的集合。

2.2.7无限理论小结 一一对应的概论是研究无限集(区别于有限集)的一个最基本的概念，也是高等数学的一个最基本的概念。 有理数是可数的；代数数也是可数的；但实数是不可数的，存在超越数。

2.2.7无限理论小结 在于数学的各个方面,如一元二次方程的求根 公式;而存在性证明只是给出存在的理论结论, 可能找不到所证明的数。 3 .构造性证明和存在性证明,构造性证明存 在于数学的各个方面,如一元二次方程的求根 公式;而存在性证明只是给出存在的理论结论, 可能找不到所证明的数。 4. 康托尔的理论是革命性的。康托尔是 第一个给出无穷分类的数学家,并给出了分类的一 些实际意义。在康托尔以后,无穷作为了一个符 号。

放弃宣布无解 OR 引进新的数，这可不是个简单问题！ 2.3复数 2.3.1复数的引入 无实数解，怎么办？？？ 放弃宣布无解 OR 引进新的数，这可不是个简单问题！

2)复数成为研究实分析的得力工具。“实域中两个真理之间的最短路程是通过复数”。 2.3.1复数的引进 复数引进的重要意义： 使代数方程论成为一个完美的理论 (n个方程有n个根) 。 2)复数成为研究实分析的得力工具。“实域中两个真理之间的最短路程是通过复数”。 3）复数在电学、流体力学、弹性力学等领域都有重要应用。

2.3.1复数的引进 1545,意大利数学家卡丹(Cardauo) ,在叙述二次方程式之解法时,首先产生了负数开平方的思想.他把40看作 与 的乘积。 1637 年，笛卡儿称一个负数的开方为「虚数」(imaginary number)。 1748 年，欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：e ix = cos x + i sin x ，并把它们应用到水力学、地图制图学上。

2.3.2复数的几何表示 大约同时由维赛尔(1745-1818)、阿尔冈(1768-1822)和高斯(1777-1855)给出了复数的几何表示，使复数的运算从直观角度来看更为自然。 数 称为复数，复数的几何解释就是简单地把 用平面上具有直角坐标 ， 的点来表示。 的实部是它的 坐标，虚部是它的 坐标，这样的平面称为复平面。

2.3.3复数的三角表示与指数表示 ： 复数的三角表示： 复数的指数表示：

2.3.4复数域 复数的运算对加法和乘法仍满足交换律、结合律和分配律，也就是满足域的基本性质，因而全体复数构成一个域，复数域包含实数域为其真子域。 有了复数之后，二次方程在任何时候都有两个根。

2.3.5乘方与开方

2.3.5乘方与开方

2.3.5乘方与开方 复数间的一个等式相当于实数间的两个等式。通过复数域的旅行，我们得到了实数域的结果。n越大,这种方法的优越性就越明显。上面的结果是阿达马（1865-1963）的名言“实数域中的两个真理的最短路程是通过复数域。”的一个佐证。

2.3.6单位根

2.3.6单位根

2.3.6单位根

2.3.6单位根

2.3.7复数的确认： 16~17世纪，人们还普遍不认可复数。 18世纪，特别是高斯的工作使人们对复数的疑虑得以消除。 19世纪，复变函数成了一门学科。

练习题 1.试证明 20的开方是无理数。 2.试求4在复数域的立方根。 3.试证明所有边长为正整数的正方形的对角线的长度都是无理数。